Теорема за крайните нараствания: ирационална функция

Нека f от х да бъде равно на квадратен корен от 4х – 3, а c да е числото, което удовлетворява Теоремата на Лагранж за крайните нараствания за функцията f, в затворения интервал между [1; 3]. Тоест 1 е по-малко или равно от х, и х е по-малко или равно от 3. На какво е равно числото с? Нека просто да си припомним какво означава, че с удовлетворява Теоремата за крайните нараствания за функцията f. Това означава, че в рамките на този интервал с е точка, т.е. х = с е точката, където наклонът на допирателната в точката х = с... Мога да запиша f' от с, така че наклонът на допирателната, когато х е равно на с, или това е равно на наклонът на секущата, която свързва тези две точки. Следователно това ще бъде равно на наклона на секущата, която свърза точките (3; f от 3) и (1; f от 1). Ще бъде равно на f от 3 минус f от 1, върху 3 минус 1. И ако искаш да разбереш какво означава това визуално, то това ще изглежда като нещо такова. Ако това е нашата ос х, а това е 1, 2... Всъщност, нека да разпределя числата малко по-добре. 1, 2 и 3. И така, имаш (1; f от 1) точно ето тук, така че, точката (1; f от 1). И може да изчислим това, но всъщност това е точката (1; 1). Това ще бъде точката (1; 1). А след това имаш точката (3; f от 3). Нека да видим, ще се получи 4 по 3 е равно на 12, минус 3 е равно на 9. Следователно точката ще бъде (3; 3). (3; 3) Може би (3; 3) се намира някъде ето тук, а кривата би могла да изглежда като нещо такова. Може би изглежда като нещо такова. И си представяш наклона на правата, която свързва тези две точки, т.е. тази права свързва тези две точки. Всичко, което Теоремата за крайните нараствания... О, ще направя това в различен цвят! Всичко, което Теоремата за крайните нараствания ни казва, е, че съществува точка между 1 и 3, в която наклонът на допирателната има абсолютно същия наклон. Ако трябваше да я преценя на око, щеше да се намира някъде около това място. Но всъщност ще решим уравнението за нея. Това е някаква точка, в която наклонът на допирателната в равен на наклона на секущата, която свързва тези две крайни точки, т.е. съответните им функционални стойности. Това е числото с, което ще се намира точно ето тук. Действително просто следва да решим това уравнение. Нека просто да намерим на какво е равно f' от х, и тогава може да заместим числото с в уравнението, и така може да изчислим израза от дясната страна. Ще го запиша отново като f от х, f от х е равно на...Ще го запиша като 4х минус 3 на степен 1/2. Така е очевидно, че може да приложим правилото за намиране производна на степен и верижното правило. f' от х ще бъде равно на производната от 4 минус х на степен 1/2 спрямо 4х минус 3. Тогава това ще бъде равно на 1/2 по 4х минус 3 на степен минус 1/2. След това ще умножим този израз по производната от 4х – 3 спрямо х. Производната на 4х спрямо х е просто равна на 4, а производната на –3 спрямо х просто е равна на 0. Производната от х – 3 спрямо х е равна на 4. Тоест по 4. Така че f' от х е равно на 4 по 1/2, което е равно на 2, върху квадратен корен от 4х – 3. 4х – 3 на степен 1/2 ще бъде равно просто на квадратен корен от 4х – 3, но е на степен минус 1/2, така че ще го поставим в знаменателя ето тук. Следователно f' от с, можем да запишем по следния начин. 2 върху квадратен корен от 4с – 3, а на какво ще бъде равно това? Ще бъде равно на...Нека да видим. f от 3 вече изчислихме, че е равно на 3, f от 1 изчислихме, че е равно на 1, така че ще получим 3 –1 върху 3 –1. Тоест ще бъде равно на 2 върху 2, което е равно на 1. Съществува точка между 1 и 3, където производната в тази точка, т.е. наклонът на допирателната, е равен на 1. Да видим дали може да решим това уравнение ето тук. Може да умножим двете му страни по 4с... т.е. по същия квадратен корен от 4с минус 3, и тогава ще получим 2 е равно на квадратен корен от 4с минус 3. Това, което направих, бе да умножа двете страни на това уравнение по квадратен корен от 4с – 3, за да се отърва от квадратния корен в знаменателя. Нека да видим. Отървахме се от радикала. Може да повдигнем двете страни на квадрат. Всъщност, нека да покажа, че... Сега може да повдигнем двете страни на квадрат, така че ще получим 4 = 4с – 3. Прибавяме 3 от двете страни на уравнението. Получаваме 7 е равно на 4с. Тогава разделяме двете страни на уравнението на 4. Ще го запиша ето тук. Получава се с е равно на 7/4. с е равно на 7/4, което е равно на 1 и 3/4. Може да го разглеждаме като 1,75. Действително стойността с се намира малко по-близо. Направих чертежа на ръка: по-близо е някъде до това място на чертежа; всъщност това изглежда доста близо. Изглежда много добре. Начертах тази крива на ръка, така че определено не е точна. Както и да е. Надявам се, че това ти дава представа за това, което се случва. Казваме си просто: Хей, Теоремата за крайните нараствания определя число с, където наклонът на допирателната е равен на наклона на линията, която свърза точките (1; f от 1) и (3; f от 3).