Теорема за крайните нараствания: полином

Нека е дадена функция f от х, която е дефинирана да бъде равна на х^2 – 6х + 8 за всяко х. Искам да докажа, че за тази функция може да намерим число с в интервал, където производната в точката c е равна на средната скорост на изменение в рамките на интервала. Нека да изберем интервал ето тук. Нека да кажем, че ни интересува интервалът между [2; 5]. Дадената функция определено е непрекъсната в рамките на този затворен интервал, а също е и дифенцируема. Просто следва да е диференцируема и в рамките на отворения интервал, но действително е диференцируема за всяко х. Нека да докажем, че може да намерим число с, което се намира в рамките на отворения интервал, т.е. част е от отворения интервал, което е от отворения интервал, такова че производната на функцията в точка c е равна на средната скорост на изменение в рамките на интервала. Или може да кажем, че е равна на наклона на секущата между двете крайни точки от интервала. Тоест, да е равна на f от 5 минус f от 2 върху 5 минус 2. Насърчавам те да спреш видеото сега и да се опиташ да намериш числото с, за което това условие е изпълнено. За да направим това, ще изчислим на какво е равен този израз. Ще намерим производната и ще ги приравним, и следва да може да решим уравнението за търсеното число с. Да видим, f от 5 минус f от 2. f от 5, нека да видим, f от 5 е равно на 25 минус 30 плюс 8. Това е минус 5 плюс 8, което е равно на 3. f от 2 е равно на 2 на квадрат минус 12, т.е. равно е на 4 минус 12 плюс 8. Ще бъде равно на 0. Следователно този израз е равен на 3/3, което е равно на 1. Производната f' от с следва да бъде равна на 1. А на какво е равна производната на тази функция? Е, нека да видим. f' от х е равно на 2х минус 6. Сега трябва да определим за коя стойност на х, която се намира в този отворен интервал, производната е равна на 1? Този израз трябва да е равен на 1. Нека да прибавим 6 към двете страни на уравнението. Получаваме 2х е равно на 7. х е равно на 7/2, което е равно на 3 и 1/2. Следователно определено се намира в дадения интервал точно ето тук. Току-що намерихме, че числото с е равно на 7/2. Нека просто да го изобразим на графиката, за да се уверим, че този резултат има смисъл. Това ето тук е нашата ос у. Тогава това ето тук е нашата ос х. Изглежда, че цялото действие се развива в първи и четвърти квадрант. Това е нашата ос х. И нека да видим. Това е 1, 2, 3, 4 и 5. Вече знаем, че 2 е една от нулите за функцията. Знаем, че нашата функция, ако искаме да я начертаем, ще пресича оста х точно ето тук. И може да разложиш този израз на х минус 2 по х минус 4. Другото място, където функцията е равна на 0, е когато х е равно на 4, точно ето тук. Върхът на параболата ще се намира точно в точката х = 3. Когато х = 3, да видим, имаме 9 –18, което е равно на –9 + 8, така че се получава –1. Имаш точките 3 и минус 1 от графиката. Това е достатъчно, за да я начертаем. Знаем също така, че в точката 5, f е равно на 3. И така, 1, 2, 3. Тоест, за х = 5 се намираме ето тук. Така че в рамките на интервала, който ни интересува, графиката изглежда като нещо такова. Графиката изглежда ето така. Това е интервалът, който ни интересува. И казваме, че търсим стойност c, за която наклонът е същият като наклона на секущата, т.е. равен е на наклона на секущата между тези две точки. И ако просто визуално наблюдавам графиката, ще си кажа: о, да, изглежда, че около ето това място – като просто се основавам на чертежа си – наклонът на допирателната изглежда сякаш тя е успоредна на секущата. Изглежда сякаш има същия наклон, т.е. изглежда сякаш допирателната е успоредна на секущата. Изглежда, че това е изпълнено за х равно на 3 и 1/2, или 7/2. Следователно има смисъл. Следователно тази стойност ето тук е търсеното число с, което е равно на 7/2.