Проекцията върху едно подпространство е линейна трансформация

Дефинирахме проекция върху някакво подпространство, но не сме показали още, че това определено е линейна трансформация, нито сме показали, че когато знаем базиса на подпространството, как всъщност можем да намерим проекцията в него? Да видим можем ли да се справим с това. Да кажем, че имаме някакво подпространство. Да кажем, че това е подпространство V в Rn. Да кажем, че имаме и някакви базисни вектори за V. Да кажем, че това са нашите базисни вектори, базисен вектор b1, b2 – имаме k базисни вектора. Не знам каква е размерността на V, но да кажем, че тя е k. Има k базисни вектора, така че това е базисът на подпространството V. Това означава, че всеки вектор – това не е вектор v, това е подпространството V – това означава, че всеки вектор – ще го означа като – не знам, да кажем, че всеки вектор а, който принадлежи на нашето подпространство V, всеки вектор може да се представи като линейна комбинация на тези вектори. Ще направя нашата линейна комбинация. Нека да е... не знам, нека да е у1 по b1, плюс у2 по b2, и така нататък до плюс уk по bk. Това е дефиницията за базис. Линейната обвивка на тези вектори е подпространството V, така че всеки член на V може да се представи като линейна комбинация от базисните вектори. Да конструираме една матрица – нека да е матрица n x k, чиито вектор-стълбове са практически базисните вектори на нашето подпространство. Значи матрицата А изглежда ето така, първият стълб е първият базисен вектор. Вторият стълб е вторият базисен вектор и така нататък, до k-ия стълб, имаме k стълба, който ще бъде k-ия базисен вектор. Ако имаме нашия k-и базисен вектор – ще поставя затваряща скоба в същия цвят като отварящата скоба, ето така – ще има n-реда, защото всеки от базисните вектори принадлежи на Rn. Спомни си, V е подпространство на Rn, така че всеки от тези вектор-стълбове ще има n члена. Значи матрицата ще има n реда. Казвайки, че всеки член на подпространството V може да се представи като линейна комбинация на базисните вектори, е еквивалентно на това да кажем, че всеки член, този вектор а, всеки вектор а на нашето подпространство V може да се представи като произведение на матрицата А по някакъв вектор у, където... е равно на а, за някакъв вектор у, който принадлежи на Rk. Защо това твърдение и това твърдение са еквивалентни? Вероятно се досещаш, че ако трябва просто да умножиш това по някакъв вектор у в Rk, това е [у1, у2...уk], това ще е равно на у1 по b1, плюс у2 по b2, и така нататък до плюс yk по bk, което същото като това ето тук. Така че винаги можем да изберем подходяща линейна комбинация. Винаги можем да изберем подходящия член yk, такъв че да получим подходящата линейна комбинация от базисните вектори, за да получим всеки член на подпространството V. Значи всеки член на подпространството, ето тук, може да се представи като произведение на матрицата А и някакъв вектор в Rk. Ние не знаем много за този вектор в Rk. Проекцията обаче – да кажем, че вектор х е просто някакъв произволен член на Rn – проекцията на вектор х в подпространството V трябва по определение да е член на нашето подпространство. Друг начин да го формулираме, е, че този вектор тук, проекцията на вектор х в подпространството V е равно на матрицата А... ще го направя със синьо – ще е равно на матрицата А по някакъв вектор у в Rk. Ако знаехме какъв е този вектор у, винаги можем да намерим това, можем да изведем "формула", така да се каже, за намиране на проекцията на вектор х в подпространството V. Но ние не знаем това още. Всичко, което казвам, е, че всеки член на V може да се представи като произведение от нашата матрица А, чиито вектор-стълбове са базис на V, и някакъв член на Rk. Това следва от факта, че тези вектори формират базиса на V, че всеки член на V e линейна комбинация на тези вектори. Знаем, че проекцията на вектор х във V е член на подпространството V, трябва да принадлежи на V. Значи той може да се представи по този начин. А какво е определението на нашата проекция? Определението на нашата проекция е... Ще го запиша по следния начин. Знаем, че вектор х може да се представи като сума от проекцията на х във V плюс някакъв член на ортогоналното допълнение на V. Можем да напишем плюс проекцията в ортогоналното допълнение на V. Можем да го напишем по следния начин. Можех даже да напиша това като w, като w принадлежи на ортогоналното допълнение на V. Всъщност ще го напиша по следния начин. Това може да опрости нещата. Не искам да имам твърде много проекции тук – плюс w, където w е уникален член на ортогоналното допълнение на V. Или можем да го кажем по следния начин: ако извадим проекцията на вектор х във V от двете страни, ще получим, че вектор х минус проекцията на х във V е равно на вектор w. Друг начин да го формулираме е, че този вектор ето тук ще принадлежи на ортогоналното допълнение на V, защото това е същото нещо като w. А кое е ортогоналното допълнение на V? Връщаме се пак при тази матрица тук. Имаме тези базисни вектори. Това тук са вектор-стълбовете. Векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-стълбовете, ще е равно на V, нали? Векторното пространство на А, определено чрез вектор-стълбовете е просто линейната обвивка на тези базисни вектори. А по определение това ще е равно на нашето подпространство V. А какво е ортогоналното допълнение на V? Ортогоналното допълнение на V е ортогоналното допълнение на векторното пространство, определено чрез вектор-стълбовете на матрицата. А какво е ортогоналното допълнение на векторното пространство, определено чрез вектор-стълбовете? Това е равно на нулевото пространство на матрицата А транспонирана, или можем също да го наречем лявото нулево пространство на матрицата А. Видяхме това преди доста уроци. Значи можем да кажем, че вектор х минус проекцията на х във V принадлежи на – ще го запиша по следния начин – х минус проекцията на х във V принадлежи на ортогоналното допълнение на векторното пространство на матрицата, определено чрез вектор-стълбовете, което е равно на нулевото пространство на матрицата А транспонирана. Това е ортогоналното допълнение на подпространството V. Какво означава това? Какво означава това ето тук? Това означава, че ако умножим матрицата А транспонирана по този вектор, защото той принадлежи на нулевото пространство на А транспонирана, значи умножаваме по този вектор ето тук – т.е. проекцията на вектор х във V – и получаваме 0. Получаваме нулевия вектор. Това е определението за нулево пространство. Ще запиша това малко по-подробно. Да видим можем ли да го преобразуваме алгебрично. Ако разкрия скобите и умножа по това произведение на матрица с вектор, получаваме А транспонирана по вектор х, минус А транспонирана, по проекцията – всъщност ще го напиша по следния начин. Вместо да продължавам да пиша проекцията на вектор х във V, какво казах по-рано в това видео? Казах, че проекцията на вектор х във V може да се представи като произведение на матрицата А по някакъв вектор у в Rk. Това беше в началото на видеото. Затова ще го напиша така, защото това ще опрости работата ни в известна степен. Значи ще умножа по А транспонирана по вектор х. После А транспонирана, минус А транспонирана, по това нещо. Това нещо мога да напиша като матрицата А по вектор у, и това просто следва от идеята, че проекцията принадлежи на нашето подпространство. Тъй като принадлежи на нашето подпространство, тя ще бъде някаква линейна комбинация на вектор-стълбовете на матрицата А. Видяхме това ето тук, така че това може да бъде представено по този начин. Вместо проекцията на х във V можем да напишем просто А по у. Това нещо и това нещо са еквивалентни, защото този вектор принадлежи на V. После всичко това ще е равно на 0. Ако прибавим това към двете страни на уравнението, ще получим, че А транспонирана по х е равно на А транспонирана по (А по у). Това вече е интересно. Спомни си откъде тръгнахме. Казахме, че проекцията на вектор х във V е равна на А по у за някакъв вектор у, който принадлежи на Rk. Ако знаем кой е този вектор у, ако успеем да намерим у, тогава проекцията на вектор х ще е дефинирана. И ние просто винаги можем да намерим това. Можем ли да намерим вектор у от тук? Ще можем да намерим вектор у, ако вземем обратната матрица на тази матрица. Ако тази важна матрица винаги е обратима, тогава ние винаги можем да намерим вектор у от тук. Защото просто намираме обратната матрица и я умножаваме по лявата страна на двете страни на това равенство. Сега, спомни си, че преди три урока, мисля, че беше преди три урока, аз ти показах, че ако имаме някаква матрица А, чиито стълбове са линейно независими, тогава А транспонирана винаги е обратима. Аз направих онова видео специално заради този момент в това видео. Какво можем да кажем за нашата матрица А? Нашата матрица А има вектор-стълбове, които формират базиса на едно подпространство. По определение базисните вектори са линейно независими. Значи стълбовете на матрицата А са линейно независими. Ако си гледал/а онова видео, и ако вярваш на това, което ти казвам, тогава ще знаеш, че матрицата А транспонирана по А в нашия случай ще бъде обратима. Тя трябва да е обратима. Да намерим обратната матрица на тази и да я умножим по двете страни на уравнението. Ако умножа обратната матрица на (А транспонирана по А) – знаем, че тя съществува, защото А има линейно независими вектор-стълбове – и ако умножа това по тази страна ето тук, А транспонирана по х. После от тази страна получаваме – тук ще направим същото нещо – (А транспонирана по А) обратна, по това нещо тук, А транспонирана по А по у. Когато умножим тези две неща, когато умножаваме обратната на една матрица по самата матрица, тогава получаваме единичната матрица. Значи това просто ще е равно на единичната матрица. Единичната матрица по у дава само у, така че получаваме – у е вектор – ако ги разменим, ще получим, че вектор у е равен на този израз ето тук. (А транспонирана по А) обратна, която винаги съществува, по А транспонирана, по вектор х. Казахме, че проекцията на вектор х във V ще бъде равна на матрицата А по вектор у, за някакъв вектор у. Така намерихме вектор у, като използвахме опредлението за проекция. Така успяхме да намерим у. Сега можем да дефинираме нашата проекция на вектор х във V като произведение на матрица с вектор. Можем да запишем, че проекцията на вектор х във V е равна на матрицата А по у, като вектор у е равен просто на този израз ето тук. Това е матрицата (А по А транспонирана) обратна – която съществува, защото А има линейно независими вектор-стълбове – по матрицата А транспонирана, по вектор х. И това ето тук, това дълго и объркано нещо, това е просто някаква матрица, която съществува винаги за всяко подпространство, което има някакъв базис. Така успяхме да изразим проекцията на вектор х в някакво подпространство като произведение на матрица с вектор. Всичко, което може да се представи като трансформация с произведение на матрица с вектор е линейна трансформация. Ние не само показахме, че това е линейна трансформация, ние показахме, че ако имаме базиса на V, ще приравня тези вектор-стълбове на вектор-стълбовете на някаква матрица А. И ако транспонирам тази матрица А, ако умножа А транспонирана по А, и взема обратната матрица на получената, и ако ги умножа по този начин, аз ще получа трансформационната матрица за проекцията. Това може би изглежда доста сложно, и то често е трудно да се направи на ръка за много, много проекции, но това е много полезно при графичното програмиране в три измерения. Да кажем, че имаме някакъв тримерен обект, и искаме да знаем как изглежда от гледната точка на някакъв наблюдател. Да кажем, че имаме някакъв наблюдател. Гледната точка на наблюдателя ще бъде някакво подпространство. Искаме да видим проекцията на този куб в това подпространство, как ще изглежда на наблюдателя, който го гледа на този плосък екран. Как ще изглежда този куб от тази гледна точка? Ако знаем базиса на това подпространство, можем просто да приложим тази трансформация. Можем да конструираме матрица, чиито стълбове са базисните вектори за гледната точка на този наблюдател. После прилагаме това към всеки вектор от този куб в R3, и ще знаем точно как ще изглежда този куб от гледната точка на този наблюдател. Следователно това е един супер полезен резултат.