Пример за намиране на трансформационната матрица за проекция в дадено подпространство

Да кажем, че е дадено някакво подпространство V, което е любимият ми символ за подпространство, и то е равно на линейната обвивка на два вектора в R4. Нека първият вектор да е [1;0;0;1]. Вторият вектор е [0;1;0;1]. Това е подпространството V. Можеш да видиш, че тези вектори са базисни. Те са линейно независими. Двата вектора са линейно независими – или всяко множество от вектори, които са линейно независими и чиято линейна обвивка е някакво подпространство, са базисни вектори за това подпространство. Можеш да видиш, че те са линейно независими. Този вектор има 1 тук. Няма начин да се направи някаква комбинация с този вектор, за да се получи тук 1. Този вектор има 1 тук. Но няма начин да се състави някаква линейна комбинация, от тези нули, за да получим 1 ето тук, затова те са линейно независими. Можем да ги наречем базис на подпространството V. Като знаем това, да видим можем ли да намерим трансформационната матрица за проекцията на произволен вектор в това подпространство. Да кажем, че вектор х – тук сме в R4, нали? Нека вектор х да принадлежи на R4, и искаме да намерим трансформационната матрица за проекцията на вектор х в подпространството V. В предходното видео ние намерихме общ начин за определяне на това. Казахме, че ако матрицата А е трансформационна матрица... извинявам се. Ако матрицата А има стълбове, които са базис за подпространството, да кажем, че матрицата А е равна на [1;0;0;1;0;1;0;1]. Значи матрицата А има стълбове, които са базис на нашето подпространство, тогава проекцията на вектор х във V ще бъде равна на... това е малко трудно. Първият път, когато го видиш, получаваш главоболие, но има някаква симетрия в него, или един начин... можем да кажем, че матрицата А по – тук има нещо в средата, после имаме А транспонирана по нашия вектор х. Начинът, по който аз го помня, е, че в средата имаме тези две матрици с разменени места. Значи имаме А транспонирана по А, и след това взимаме обратната матрица на тази матрица. Може би няма да използваш това в ежедневието си след 5 или 10 години, така че няма проблем да не го учиш наизуст, но временно можеш да го сложиш в средносрочната си памет, защото е добре да се знае, когато решаваш задачи с проекции. За да намерим общата матрица за тази трансформация, ние просто определяме на какво е равна тази матрица, и това са просто поредица от операции с матрици. Значи това е матрицата А. Какво представлява А транспонирана? А транспонирана ще бъде равна на всички тези стълбове, превърнати в редове. Значи първият стълб става първи ред. Той става 1, 0, 0, 1. Вторият стълб става втори ред – 0, 1, 0, 1. Това е матрицата А транспонирана. А коя е матрицата А транспонирана по А? За да я намерим, искам да видим какво е произведението на А транспонирана по А. Ще умножа А транспонирана по А. Ще препиша отново А. [1;0;0;1;0;1;0;1]. Това е едно добро упражнение за умножение на матрица с матрица. На какво ще е равно това? Първо, това е матрица 2 х 4, която умножаваме по матрица 4 х 2, значи ще получим матрица 2 х 2. Първият елемент е практически скаларното произведение на този ред с този стълб. Значи това е 1 по 1, плюс 0 по 0, плюс 0 по 0, плюс 1 по 1. Това ще бъде просто 2 като първи елемент ето тук. После имаме скаларното произведение на този ред и този стълб. . Това е 1 по 0, което е 0, плюс 0 по 1, което е 0, плюс 0 по 0, което е 0, плюс 1 по 1, което е 1. Сега да намерим скаларното произведение на този ред по този стълб. 0 по 1 е 0, плюс 1 по 0 е 0, плюс 0 по 0 е 0, плюс 1 по 1 е 1. И накрая остана скаларното произведение на този ред и този втори стълб. Втори ред по втори стълб. 0 по 0 е 0, 1 по 1 е 1, 0 по 0 е 0, 1 по 1 е 1. Значи имаме (1 по 1) плюс (1 по 1). Това ще бъде 2. Това тук е произведението на А транспонирана по А. Но това не е достатъчно. Трябва да намерим обратната на получената матрица А транспонирана по А. Това е А транспонирана по А. Сега трябва да намерим нейната обратна матрица. Каква е обратната матрица на тази? Ще я запиша ето тук. Обратната матрица на матрицата, равна на А транспонирана по А, ще бъде равна на какво? Тя е 1 върху детерминантата на тази матрица по… Каква е детерминантата? Ще бъде 1 върху детерминантата на това тук. Детерминантата е 2 по 2, което е 4, минус 1 по 1. Значи 4 минус 1, което е 3. Значи 1 върху детерминантата по това, където, ако разменя тези двете, ако разменя единиците – извинявам се, ако разменя двойките. Значи това 2 идва тук, а после оранжевото 2 идва ето тук. После поставям тук знак минус на тези единици. Това става –1 и това става –1. Учихме, че това е общото решение на обратната матрица на матрица 2 х 2. Мисля, че беше преди 10 или 11 урока, вероятно си го учил/а и в часовете по алгебра, така че ето го. Имаме обратната матрица на А транспонирана по А. Получихме това тук. Това цялото тук е просто тази матрица. Можем да умножим 1/3 по нея, но все още няма да го правя. Сега да разгледаме цялата матрица. Цялата матрица А по това нещо, по обратната на А транспонирана по А, по А транспонирана. Ще го запиша по следния начин. Проекцията на вектор х в подпространството V ще е равно на матрицата А. 1, 0, 0, 1 – ще го напиша малко по-едро, ето така. Значи [1;0;0;1;0;1;0;1] по обратната матрица на (А транспонирана по А), нали? А по обратната матрица на (А транспонирана по А), което е ето това тук. Сега ще изнеса 1/3 отпред, защото това е просто число. . Поставям 1/3 пред този израз. Тази обратна матрица на (А транспонирана по А) е 1/3 по [2; –1; –1; 2]. Това ще умножим по А транспонирана. И всичко това по нашия вектор х. А транспонирана е ето тази тук. Тя е [1;0;0;1;0;1;0;1]. Цялото това умножено по нашия вектор х. Това отново е едно хубаво произведение на матрица с матрица. Да видим можем ли да го решим. Първо да умножим тези двете. Не мисля, че има лесен начин да се направи това. Това е матрица 2 х 2, а това е матрица 2 х 4, така че ги умножавам и ще получим матрица 2 х 4. Ще запиша матрица 2 х 4 ето тук. После ще запиша това ето тук. [1;0;0;1;0;1;0;1]. После имаме 1/3, което дойде от обратната на А транспонирана по А, но поставям мащабиращия множител ето тук. Всичко това е равно на проекцията на х във V. Да сметнем това произведение. Този първи елемент ще бъде 2 по 1, плюс –1 по 0, което дава просто 2. После имаме 2 по 0, плюс –1 по 1. Това е –1. После имаме 2 по 0, плюс –1 по 0. Това е просто 0. После имаме 2 по 1, плюс –1 по 1. Това е 2 минус 1. Това е 1, нали? 2 по 1, плюс –1 по 1. Добре. Сега да умножим втория ред. –1 по 1, плюс 2 по 0, това е –1. –1 по 0, плюс 2 по 1. Това е 2. –1 по 0, плюс 2 по 0. Това е 0. –1 по 1, плюс 2 по 1. Добре, това е –1 плюс 2, това е 1. Почти сме готови, остава да умножим по вектор х накрая. Това е трансформацията. Това тук е нашата трансформационна матрица. Остана още едно умножение. Надявам се, че не съм допуснал грешки от невнимание, и че няма да допусна, докато правя това последно умножение. Това ще бъде малко по-сложно, защото имаме 4 х 2 по 2 х 4. Накрая ще получим матрица 4 х 4. Ще си направя достатъчно място тук, защото ще получим матрица 4 х 4. Какво ще получим? Първият елемент ще бъде това 1 по 2, плюс 0 по –1. Значи просто е 2. Следващият елемент: 1 по... този ред по този стълб тук, това ще бъде първият елемент на този стълб, защото той е нулиран. Значи 1 по 2, плюс 0 по –1, това е просто 2. 1 по –1, плюс 0 по 2, това е просто –1. 1 по 0, плюс 0 по 1, това е 0. 1 по 1, плюс 0 по 1, е 1. Взимаме този ред и го умножаваме по тези стълбове, така буквално получаваме този първи ред ето тук. Сега да умножим този ред по тези стълбове. Сега тук имаме 0, значи ще имаме 0 по първия елемент на всички тези, и 1 по втория елемент. Значи 0 по 2, плюс 1 по –1, това е –1. 0 по –1, плюс 1 по 2, е 2. Получихме втория ред. 2, 0, 1. Това е логично, защото просто взимаме първата част на матрицата, която е единична матрица 2 х 2. Това е малка подсказка защо това изглежда еднакво с това, но ние всъщност умножаваме по тази матрица. Сега умножаваме това... ще използвам друг цвят. Умножаваме този ред по всеки от тези стълбове. Скаларното произведение на този ред и този стълб е 0, защото имаме нулев вектор-ред, така че тук ще получим само нули. И накрая този последен ред, това е 1 по първия елемент плюс 1 по втория елемент. Това става 2 плюс –1, което е 1. –1 плюс 2, това е 1. 0 плюс 0, което е 0. После 1 плюс 1, което е 2. Всичко това по х. Готови сме! Това беше вълнуващо. Проекцията на вектор х в подпространството V е равно на тази матрица по вектор х. Това ето тук, мога да го умножа по 1/3, но не е нужно да го правим. Това само ще усложни нещата. Това нещо тук е трансформационната матрица. Както виждаш, тъй като ние трансформираме – спомни си, тази проекция в V, това е линейна трансформация от R4 в R4. Даваш ми някакъв член на R4, и аз ще тим друг член на R4, който е в нашето подпространство, в което е проекцията. Получаваме матрица 4 х 4, както виждаш тук. Надявам се, че намираш това за полезно, за да се получат наистина понятни резултати. R4 е нещо много абстрактно, така че това е дори отвъд нашия пример за програмиране в 3D. Тук имаме един по-абстрактен набор от данни, където искаме да намерим една проекция.