Проекции върху подпространства

Преди доста уроци представих идеята за проекция. Тогава разгледахме предимно проекции върху прави, които минават през началото на координатната система. Ако имаме една права, нека да е правата L, и да кажем, че L е равна на линейната обвивка на някакъв вектор v. Или да кажем, че, алтернативно, правата L е равна на множеството от всички мащабирани версии на вектор v, такива, че скаларните множители са произволни реални числа. Това са два начина за представяне на прави, които минават през началото на координатната система. Дефинирахме какво е проекция на произволен вектор върху тази права. Сега искам набързо да го начертая. Ще направя координатните оси. Това е – искам да е малко по-права от това – това е вертикалната ос и това е хоризонталната ос. Да кажем, че имаме някаква права, която минава през началото на координатната система. Или да кажем, че не минава през началото – да кажем, че тази права тук минава през началото. Значи това е L. Знаем визуално, че една проекция на някакъв вектор х върху правата L – да кажем, че това е вектор х. Ако трябва да я начертаем – ако имаме някакъв светлинен лъч, който идва право надолу, това ще бъде сянката на х върху L. Значи това ето тук е проекцията на вектор х върху правата L. И ние го дефинирахме по формално. Един вид спускаме перпендикуляр. Казахме, че х минус проекцията на х върху L е перпендикулярно на правата L, или е перпендикулярно на всичко... ортогонално на всичко... от правата L. Поне аз така го чертая. Това е един вид сянката, която пада върху правата L. Това беше специален случай, по принцип, на проекциите. Може би ти направи впечатление, че правата L е валидно подпространство. Можеш да го докажеш самостоятелно. Тя съдържа нулевия вектор. Тя преминава през началото на координатната система. Тя е затворена по отношение на събирането – всеки неин член плюс всеки друг неин член дава друг неин член. Затворена е по отношение на умножението със скалар (число) – можеш да вземеш произволен неин член и да го мащабираш, и отново ще получиш правата L. Значи това е подпространство, когато дефинираме това. И само да си припомним какво беше това, ние можахме да определим какво представлява тази проекция за някаква права L. Имаме някакъв базисен вектор, проекцията на вектор х върху правата L, която минава през началото, ние установихме, че е скаларното произведение на този вектор х и базисния вектор за тази права, значи това е вектор х, умножен скаларно по вектор v, върху v . v, което е просто дължината на v на квадрат. Това цялото е едно число, и искаме то да е в същата посока като правата. Това ще бъде друг вектор върху тази права. Значи ще бъде по вектор v. Това ще бъде просто мащабирана версия на базисния вектор. Може би базисният вектор изглежда ето така. И на практика всеки вектор от тази права може да е базисен вектор. Всеки друг вектор, освен нулевия вектор. Значи това беше проекция върху права, която е частен случай на подпространство. Сега ще разширим дефиницията за проекция за всяко подпространство. Вече знаем, че ако... ще начертая една разделителна черта, за да покажа, че ще правим нещо малко по-различно – ако V е подпространство на Rn, тогава ортогоналното допълнение на V също е подпространство на Rn. Значи ортогоналното допълнение на V също е подпространство. Да кажем, че имаме някакви членове... или ще го напиша по следния начин. Ако имаме тези две подпространства – имаме подпространство и неговото ортогонално допълнение – вече учихме, че ако имаме произволен член на Rn – да кажем, че вектор х принадлежи на Rn – тогава вектор х може да бъде представен като сбор от член на V и член на ортогоналното допълнение на V. Ще запиша това – вектор v принадлежи на подпространството V и вектор w принадлежи на ортогоналното допълнение на подпространството V. Ето така. Видяхме това преди няколко урока. Доказахме, че това е вярно за всички членове на Rn. Като знаем това, можем да дефинираме проекцията на вектор х върху подпространството V, която е равна на – просто частта от х – можеш да ги разглеждаш като две ортогонални части на вектор х – дефинираме проекцията върху V като частта от вектор х, която идва от V. Това е равно само на вектор v. Алтернативно можем да кажем, че проекцията на вектор х върху ортогоналното допълнение на – извинявам се, записах транспониран – върху ортогоналното допълнение на V ще бъде равно на вектор w. Значи тази част ето тук е проекцията върху подпространството V. Тази част тук е проекцията върху ортогоналното допълнение на подпространството V. В това видео искам да покажа, че тези две определения – че това определение ето тук, което е свързано с това тук – това е еквивалентно на това, което учихме тук, ако подпространството V, с което работим, е права, защото правата е валидно подпространство, но не всички подпространства са прави. За да покажем това, можем да разгледаме отново един пример, който видяхме преди няколко урока. Преди няколко урока имахме матрицата А. Тя беше с размери 2 х 2. После имахме този друг вектор b, който принадлежеше на векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-стълбовете. Тогава решихме тази задача, за да покажем, че най-късият вектор, който е решение на това, е уникален член на векторното пространство на А, определено чрез вектор-редовете. Надявам се, че вече ти припомних тази задача, когато я решихме за пръв път. Сега ще я начертая и ще ти покажа, че можехме да решим задачата също толкова лесно, ако бяхме намерили проекцията в едно подпространство. Ще начертая всичко, свързано с тази задача. Може би чертежът ще ти припомни задачата. Ще начертая координатните оси. Първото нещо, което научихме – разбира се, можеш да решиш това, но ние вече го направихме в онова видео. Мисля, че беше преди 2 или 3 урока – нулевото пространство на матрицата А, или всички х, които удовлетворяват уравнението А по х е равно на 0 е линейната обвивка на вектор [2;3]. 1, 2. После 3 нагоре. 1, 2, 3. Линейната обвивка на този вектор са просто всички точки – този вектор определя тази точка, но ако мащабираме този вектор, тогава ще дефинираме всички точки от тази права. Ще го начертая по този начин. Това е добре. Не трябва да се криви така в края. Ще я направя по-права. Значи това е нулевото пространство. Това е нулевото пространство на тази матрица ето тук. После имаме векторното пространство, определено чрез редовете, което е линейната обвивка на вектор [3;–2]. Виждаш това ето тук. 3, –2 е първият ред. Това ето тук е мащабирана версия на това. Ето затова това тук не принадлежи на линейната обвивка. Ако искаме да начертаем вектор [3; –2], се придвижваме с 3, а после надолу с 1, 2. Това е линейната обвивка на този вектор ето тук. Ще го начертая ето така. Сега взимаме всички мащабирани версии на този вектор и поставяме тези вектори в стандартна позиция. Те ще определят, или техните върхове ще бъдат върху точки по протежение на тази права ето тук. По протежение на тази права. Опитвам се да го начертая ортогонално. Значи това тук е векторното пространство, определено чрез вектор-редовете. Това тук е векторното пространство, на матрицата А, определено чрез вектор-редовете, което е равно на векторното пространство, на матрицата А транспонирана, определено чрез вектор-стълбовете. Знаем, че тези тук са ортогонални допълнение едно на друго. Знаем, виждали сме го в много видеа, че нулевото пространство на матрицата А, е ортогонално допълнение на векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете. Знаем също, че ортогоналното допълнение на нулевото пространство е равно на векторното пространство, на матрицата А, определено чрез вектор-редовете. Всичко ето тук е ортогонално на всичко ето тук. Всичко ето тук е ортогонално на всичко ето тук. Можеш да го видиш и на чертежа. Тези две пространства, които са представени чрез тези прави, които минават през началото, са ортогонални. И това е логично, че... казах още в началото на видеото – че всичко в R2 в този случай може да се представи като някаква сума от уникални членове на векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете, и уникален член на ортогоналното му допълнение. Да кажем, че имаме тази точка ето тук. Как мога да я представя като сума от член на това и член на това? Ако дойда по тази права, имам този вектор ето тук. Имам този вектор тук по протежение на тази права. И после имам този вектор ето тук. Ако го преместя – това е начертано в стандартно положение, но мога да начертая вектор където си поискам. Тези прави са просто всички вектори, начертани в стандартна позиция, като започват от началото на координатната система. Но ние учихме, на практика, мисля, че беше в първия или втория урок за вектори, че можем да ги начертаем където си искаме. Така че ако събера този вектор и този вектор, мога да преместя този вектор и тогава този вектор ще се окаже ето тук. И готово. Взех една произволна точка в R2, и я представих като сбор на член на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете, и член на ортогоналното му допълнение, или на нулевото пространство. И само да преговорим, това, което първоначално направихме в тази задача, беше да разгледаме множеството от решенията на това уравнение. Казахме, че множеството от решенията на това уравнение изглежда ето така. Имаме конкретно решение плюс членовете на нулевото пространство, плюс хомогенните решения. Видяхме това преди няколко урока. Значи [3;0] – това изглежда ето така – пляс членовете на нулевото пространство. Значи множеството от решенията ще бъде успоредно на тази права, но изместено надясно с 3. То изглежда – ще го начертая по-старателно от това – ще го начертая ето така. После отива надолу, ето така, втората част не я чертая – ето това е. Но и това не ми харесва. Може би съм много капризен. Добре, това е множеството на решенията. И ако си спомняш, в онова видео казахме, че има някакъв член на това множество на решенията, който е член и на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете, който е решението с най-малка дължина. Видяхме това. Можеш да го видиш на чертежа. Нали? Този вектор ето тук. Той е във векторното пространство, определено чрез вектор-редовете. Той принадлежи на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете. Но той също така определя точка от множеството на решенията. И можеш да видиш на чертежа, че това е решението, векторът с най-малка дължина. Един начин да разглеждаме това е, че това е проекцията... всяко решение... ще избера хубав, различен, нов цвят – всяко решение в множеството на решенията – да видим тук – да кажем, че това е някакво произволно решение от множеството на решенията. Нали? Това ще бъде точка в R2, и всяка точка в R2 може да се представи като сума от някакъв вектор във векторното пространство, определено чрез вектор-редовете и някакъв вектор от нулевото пространство. Така че, ако имам този вектор ето тук, как мога да направя това? Мога да го представя като сбор на този вектор тук и после този вектор ето тук. Този вектор тук. И този вектор тук очевидно принадлежи на нулевото пространство. Просто го преместих. Тази права се получава само, когато ги чертая в стандартно положение. Този вектор тук – показвам го само край към начало – ако събера този член на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете, и този член на нулевото пространство, ще получа произволно решение от множеството на решенията. И ако помислиш върху това, проекцията на това произволно решение във векторното пространство, определено чрез вектор-редовете, ще бъде този вектор тук. Това следва от... има два начина да разглеждаме това – можем да кажем, че това е решение ето тук. Можем да кажем, че нашето решение ето тук е равно на някакъв член на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете, плюс някакъв член на нулевото пространство. Това е векторното пространство, определено чрез вектор-редовете. Това е нулевото пространство. От определението за проекция в подпространство, което току-що ти дадох, знаем, че проекцията на това решение във... ще го напиша малко по... във векторното пространство, определено чрез вектор-редовете, е равно просто на това първото нещо. Това е равно на компонента на този вектор, който е във векторното пространство. Другият компонент можем да наречем ортогонален компонент на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете. Или на нулевото пространство. Значи това просто ще бъде равно на вектор r. Сега искам да ти покажа, че това на практика е равносилно на дефиницията, която дадох по-рано. Че това е напълно идентично на дефиницията на проекция върху права, защото в този случай подпространството е права. Да намерим множеството от решенията. Най-лесното решение, което можем да намерим, е ако приемем, че с е равно на 0. Знаем, че х равно на [3;0] е едно от решенията. Значи х = [3;0] изглежда ето така. Знаем, че х = [3;0] е решение. Това, което искаме да направим, е да намерим решението с най-малка дължина. Или искаме да намерим проекцията на вектор х във векторното пространство, определено чрез вектор-редовете. Или, ако искаме, можем да го разглеждаме като проекцията на вектор х върху тази права. Правата е равна на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете. Да го направим. Правя го, за да ти покажа, че това определение за проекция в подпространство, което току-що ти дадох в това видео, е напълно идентично с определението, не е идентично, но съответства на определението за проекция върху права. Въпреки че това е по-общо, защото подпространството не е задължително да бъде права. Но в този случай е права. Да го направим. Значи проекцията на вектора [3;0] във векторното пространство, определено чрез вектор-редовете, което е права, така че можем да използваме тази формула, то е равно на скаларното произведение на вектор [3;0] по базисния вектор на нашето векторно пространство, определено чрез вектор-редовете, нали? Умножено скаларно по базисния вектор на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете. Той е [3; –2]. Има много базисни вектори за векторното пространство, определено чрез вектор-редовете. Ние избираме този. Значи скаларното произведение на вектор [3;–2] и така нататък до скаларното произведение на базисния вектор по себе си. [3; –2] . [3; –2]. Това ще бъде просто едно число, и после ще умножим това – или на практика ще мащабираме – действителния базисен вектор по това. Това е проекцията на това решение във векторното пространство, определено чрез вектор-редовете, което ще ни даде този вектор ето тук. Понеже ние просто взимаме проекцията върху една права, защото векторното пространство, определено чрез вектор-редовете, в това подпространство е права. Така използвахме проекциите върху права, с които първо се запознахме, мисля, когато за пръв път започнахме да разглеждаме линейни трансформации. Сега да умножим, това е 3 по 3, плюс 0 по –2. Това тук е 9. Това е 3 по 3, плюс –2 по –2. Това е 9 плюс 4. Това е 13. Значи 9/13 по този вектор ето тук. Значи това ще е равно на 9/13 по вектор [3;–2]. Което е равно на вектор с елементи 27/13 и после минус 18/13, което е този вектор ето тук. Получихме съвсем същия отговор, както първия път, въпреки че използвахме проекция върху права. Но сега виждаме, че това съответства напълно на това, което направихме преди. Просто използвахме проекция върху права. Видяхме, че това съответства на нашата нова, по-обща дефиниция за проекция. Тук успяхме да го направим, защото беше върху права. Но тук го нарекохме проекция в някакво подпространство. Знаехме как да го направим, когато имаме права, но бяхме дефинирали някакво произволно подпространство. Не бях показал хубав математически начин, за определяне какво ще бъде това, ако това не е права. Всъщност, даже не бях ти показал, когато това е общ случай, въпреки че това определено е линейна трансформация. Знаем, че когато имаме проекция върху права, това е линейна трансформация. Но не ти показах, че когато имаме проекция в произволно подпространство, това е линейна проекция. Ще го направя в следващото видео.