Още един пример за проекционна матрица

Да кажем, че имаме подпространство V, което е равно на всички вектори... ще го напиша по следния начин – всички вектори х1, х2, х3, значи всички вектори като тези, които удовлетворяват уравнението х1 + х2 + х3 = 0. Ако помислиш за това, това е просто една равнина в R3, така че това подпространство е равнина в R3. Искам да намеря трансформационната матрица за проекцията на произволен вектор х на R3 в подпространството V. Как можем да я намерим? Можем да постъпим като в предходното видео. Можем да намерим базисът на това подпространство ето тук. Това не е много трудно. Можем да кажем, че х1, ако приемем, че х2 и х3 са един вид свободни променливи, тогава можем да кажем, че х1 е равно на –х2 минус х3. После можем да кажем, както и да го запишем, че един вид нашата параметрична форма, или ако можем да запишем множеството на решенията като комбинация от базовите вектори, можем да кажем, че х2 е равно – да кажем, че е равно на някаква произволна константа С2. После можем да кажем, че х3 е равно на някаква произволна константа С3. После можем да кажем, че V... можем да преработим V, да кажем, че V... ще го направя тук – V е равно на множеството от всички х1, х2 и х3, които са равни на С2 по... значи х1 е равно на минус... ще препиша това с С2 – това е равно на С2. Това е равно на С3. Значи х1 е равно на минус С2 минус С3. Значи х1 е равно на –1 по С2, плюс С3 по какво? Плюс С3 по –1. Сега, на какво е равно х2? х2 е равно на С2. Значи това е 1 по С2, плюс 0 по С3. х3 е равно на С3, значи е 0 по С2, плюс 1 по С3. Това е друг начин да дефинираме подпространството. Всички тези вектори, които съответстват на тази дефиниция ето тук. Това са всички вектори, чиито компоненти удовлетворяват, или които лежат в тази равнина, чиито елементи принадлежат на тази равнина. Това се отнася за всички реални числа ето тук. Друг начин да запишем това е, че V е равно на линейната обвивка на векторите [–1;1;0] и [–1; 0; 1]. Ето така. Знаем, че това на практика представлява базис на V, защото тези вектори са линейно независими. Няма линейна комбинация на този вектор, при която вторият елемент тук да стане 1. По същия начин няма линейна комбинация на този вектор, при която този третият елемент да стане 1. Така че това са базисни вектори на V. Като знаем това и с помощта на начина, който използвахме преди, можем да конструираме някакъв вектор, някаква матрица А, която е равна на –1, 1, 0 и после –1, 0, 1. После можем да определим, че проекцията на всеки вектор х от R3 в подпространството V ще бъде равна на – видяхме това – е равна на матрицата А по обратната матрица на матрицата А транспонирана по А. Всичко това по А транспонирана, и всичко това по вектор х. Можеш да го направиш. Тук имаме матрицата А. Можеш много лесно да намериш матрицата А транспонирана. Можеш да умножиш А транспонирана по матрицата А и после да обърнеш резултата. Това е много подобно на това, което правихме в предишното видео. Тук ще имаме по-малко сметки, защото тази матрица е 3 х 2, а не 4 х 2, както тогава. Но видяхме, че реално това е много трудоемко. Сметките са доста и може да се допуснат грешки от невнимание. Затова да видим можем ли да използваме друг начин, за да намерим тази матрица на трансформацията. Знаем, че ако х принадлежи на R3, тогава х може да се представи като комбинация от някакъв вектор v, който принадлежи на подпространството, плюс някакъв вектор w, който принадлежи на ортогоналното допълнение на подпространството, като v принадлежи на нашето подпространство, а w принадлежи на ортогоналното допълнение на нашето подпространство. По определение това тук е проекцията на вектор х във V, а това е проекцията на вектор х в ортогоналното допълнение на V. Можем да напишем, че вектор х е равен на проекцията на х във V плюс проекцията на х в ортогоналното допълнение на V. По определение всеки член на R3 може да се представи по този начин. Ако искаме да запишем това като произведение на матрица с вектор, аз показах преди два урока, че това са линейни трансформации. Ще го запиша тук. Значи това са линейни трансформации. Те могат да се представят като произведения на матрица с вектор. Виждаш това ето тук. Ще дефинирам тази матрица, не знам, ще я нарека матрицата Т, просто ще я означа като Т. Ще направя нещо друго. Ще сложа друга буква. Тя ще бъде матрицата В. Да кажем, че проекцията на вектор х в ортогоналното допълнение на V, да кажем, че този вектор е равен на някаква друга матрица С по вектор х. Знаем, че това е линейна трансформация, така че може да се представи като някаква матрица С по вектор х. И на какво ще са равни тези произведения? Добре, х... ако искам да го представя като линейна трансформация на вектор х, мога просто да го запиша като единичната матрица 3 х 3, по вектор х, нали? Това е равно на вектор х. Това ще е равно на проекцията на вектор х в подпространството V, което е равно на матрицата В по вектор х. И после плюс проекцията на вектор х в ортогоналното допълнение на V, което е просто матрицата С по вектор х. Плюс С по х. Ако изнесем х извън скоби от тази страна, знаем, че произведенията на матрица с вектор притежават дистрибутивно свойство, така че можем да преработим това като единичната матрица по вектор х, което е равно на (В + С) по вектор х. Друг начин да разглеждаме това уравнение е, че тази матрица трябва да е равна на тези две матрици. Получаваме, че единичната матрица в R3 е равна на матрицата на проекцията на вектор х върху V плюс матрицата на проекцията на вектора върху ортогоналното допълнение на V. Спомни си, че целта на тази задача е да определим това ето тук, да намерим матрицата В. Ние знаем как да го направим. Взимаме А транспонирана, можем да сметнем това цялото нещо, но това ще е много трудоемко. Но може би има по-лесен начин да го намерим. Може би, не знам. Както се оказва във видеото, това ще е лесно. Ако е лесно да намерим това, можем просто да изразим матрицата В. Ако извадим С от двете страни, ще получим, че В е равно на единичната матрица минус трансформационната матрица за трансформацията в ортогоналното допълнение на V. Да видим колко е това. Да видим можем ли да намерим С ето тук. Да се върнем към нашия оригинал. Спомни си... всъщност ще препиша задачата. Спомни си, че V беше равно на, на практика е равно на всички х1, х2, х3, които удовлетворяват уравнението х1 + х2 + х3 = 0. Друг начин да формулираме това е, че всички х1, х2, х3, които удовлетворяват уравнението [1;1;1] по [х1;х2;х3] е равно на нулевия вектор. В този случай това е просто 0. Можем да напишем нулевия вектор ето така. Значи 1 по х1, плюс 1 по х2, плюс 1 по х3, което е равно на нулевия вектор. Това е друг начин да представим V. Сега, всички х, които удовлетворяват това – какво представляват те? Това ни казва, че V е равно на нулевото пространство на тази матрица ето тук. Нулевото пространство на тази матрица са всички вектори, които удовлетворяват уравнението. Значи V е равно на нулевото пространство – ще го напиша по следния начин – нулевото пространство на [1;1;1], ето така. Тук горе ние един вид намерихме V по, така да се каже, по традиционния начин. Намерихме, че V е линейната обвивка на тези вектори, но сега знаем, че това е същото нещо като нулевото пространство на [1;1;1]. Тези две твърдения са еквивалентни. Сега поне имаме представа, че, един вид, досещаш се, че можем да намерим, направо, тази матрица В като пресметнем всички тези А транспонирана и всички тези други операции. Но нашето предчувствие, че може би, ако можем да намерим матрицата на трансформацията за ортогоналното допълнение на V, тогава бихме могли да използваме това, че ще можем да намерим матрицата В, като имаме предвид, че единичната матрица минус това е равно на матрицата В. Да видим можем ли да намерим матрицата на проекцията, ако можем да намерим матрицата на трансформацията за ортогоналната проекция, за х в ортогоналното допълнение на V. Значи това е V. Кое е допълнението на V? Допълнението на V ще бъде ортогоналното допълнение, или Vперп ще е равно на ортогоналното допълнение на нулевото пространство на тази матрица ето тук. Което е равно на какво? Спомни си, нулевото пространство, неговото ортогонално допълнение – ортогоналното допълнение на нулевото пространство е еквивалентно на векторното пространство на една матрица, определено чрез вектор-редовете, или на векторното пространство, определено чрез вектор-стълбовете на транспонираната матрица. Видяхме това много пъти. Можем да кажем, че ортогоналното допълнение на векторното пространство на матрицата, определено чрез вектор-редовете, е нулевото пространство. Виждали сме това много, много пъти досега. Значи ортогоналното допълнение на тази матрица ще бъде векторното пространство, определено чрез вектор-стълбовете, на транспонираната матрица. Значи векторното пространство, определено чрез вектор-стълбовете на транспонираната матрица на това. Значи това е [1;1;1], ето така. Или можем да запишем, че ортогоналното допълнение на V е равно на линейната обвивка на [1;1;1]. Векторното пространство на тази матрица, определено чрез вектор-стълбовете, като ние имаме само един стълб, значи векторното пространство, определено чрез вектор-стълбовете, е равно на линейната обвивка на този единствен вектор-стълб. И само за да онагледя какво правим тук, че оригиналното уравнение за V, което удовлетворява това, това просто е някаква равнина в R3. Това тук е V. И ние току-що установихме какво представлява ортогоналното допълнение на V. Това е права в R3. Това са всички линейни комбинации на този вектор. Значи това е права в R3. Не съм я начертал. Това ще бъде по-наклонено, ето така, но това ще е някаква права. Значи това е ортогоналното допълнение на V. Да видим можем ли да го определим. Запомни, проекцията... ще го направя по следния начин. Значи това е базисът на ортогоналното допълнение на V. Да конструираме една матрица. Да видим, ще използвам буква, която не съм използвал досега. Ще конструирам матрицата D, чиито вектор-стълбове са базисни вектори на ортогоналното допълнение на V. Всъщност тук има само един базисен вектор, така че ще бъде ето това. В последните два урока учихме, че проекцията на произволен вектор на R3 в ортогоналното допълнение на V ще бъде равна на D по обратната матрица на произведението на D транспонирана по D, по D транспонирана, по вектор х. Друг начин да разглеждаме това, е, че това нещо ето тук, това нещо ето тук е трансформационната матрица на тази проекция. Това е трансформационната матрица. Да видим дали е по-лесно да решим това нещо, отколкото всичко това ето тук, където имахме матрица 3 х 2. Това беше главната цел за решаването на тази задача. За да намерим проекционната матрица за подпространството V, трябва да решим тази матрица с размер 3 х 2. Изглежда доста трудно. Вместо това, хайде да намерим проекционната матрица, за да намерим проекцията в ортогоналното допълнение на V, което е ето това. Коя е матрицата D транспонирана? Матрицата D транспонирана е равна на [1;1;1]. Колко е D транспонирана по D? Това е D транспонирана. Това е матрицата D. На какво е равно тяхното произведение? Това е просто скаларното произведение на това и това. 1 по 1, плюс 1 по 1, плюс 1 по 1, това е равно на 3. Значи това е равно просто на матрица [3] с размер 1 х 1. Ще го запиша. Това е равно на D, което е матрицата [1;1;1]... обратната матрица на D транспонирана по D. D транспонирана по D е матрица 1 х 1. Трябва да обърнем тази матрица. Всъщност, аз досега не съм дефинирал обратна матрица на матрица 1 х 1, така че това е интересно до известна степен. По D транспонирана. Значи D транспонирана е [1;1;1]. След това всички тези множители по вектор х. Но това тук е трансформационната матрица. А колко е обратната матрица на матрица 1 х 1? Просто трябва да си спомним, че А обратна по А е равно на единичната матрица. Ако имаме матрица 1 х 1, тогава просто искам да разбера коя матрица по матрицата [3] ще даде единичната матрица 1 х 1. Да кажем, че обратната матрица на [3] по матрицата [3] трябва да е равно на единичната матрица. Единичната матрица с размери 1 х 1. Единствената матрица, която може да даде това... за да получим този елемент просто умножавам този елемент по този елемент, което дава този елемент ето тук. Обратната на тази матрица 1 х 1 трябва да е матрицата 1/3. 1/3 по 3 е равно на 1. Това е почти тривиално, но това всъщност е обратната, това ето тук е обратната матрица на матрицата [3] с размер 1 х 1. Значи това тук е просто [1/3]. И на практика можем просто да изнесем това. Това е матрица 1 х 1, което практически е еквивалентно на скалар (число). Значи това ще е равно... само ще направя една черта тук... това е равно на 1/3... всъщност не искам да те обърквам. . Ще препиша това. Значи получаваме проекцията на произволен вектор в R3 в ортогоналното допълнение на V, което е равно на 1/3, това 1/3, по вектор [1;1;1], по... извинявам се, о, почакай, това е вектор, или матрица 3х1... по транспонираната на тази матрица, [1;1;1]. И после всичко това по вектор х. Както можеш да видиш, това е много по-просто, отколкото ако трябваше да пресметнем целия този израз с тази матрица. Това е по-трудна матрица за работа. Тази матрица [1;1;1] е много по-лесна за работа. На какво ще е равно това? Това ще е равно на 1/3 по... имаме матрица 3 х 1 по матрица 1 х 3, така че ще получим матрица 3 х 3. И какво получаваме? Първият елемент ще е 1 по 1, което е 1. Вторият елемент ще е 1 по 1, което е 1. Третият елемент ще е 1 по 1, което е 1. Мисля, че виждаш закономерността. Втори ред, първи стълб, 1 по 1, което е 1. Значи това ще е матрица 3 х 3, която съдържа единици. И ето така успяхме да получим – това беше много лесно – успяхме да получим проекционната матрица за всеки вектор на R3 в ортогоналното допълнение на подпространството V. Знаем, че това ето тук е оригиналната матрица С, както казахме. Казахме, че единичната матрица – написах го тук горе. Ще се върна към това, което написах тук горе. Казахме, че единичната матрица е равна на трансформационната матрица за проекцията във V, плюс трансформационната матрица за проекцията в ортогоналното допълнение на V. Можем да запишем, че трансформационната матрица за проекцията във V е равна на единичната матрица минус трансформационната матрица за проекцията в ортогоналното допълнение на V. Можем да напишем... значи В е нашата трансформационна матрица Ако кажа, че проекцията на вектор х във V е равна на матрицата В по вектор х, знаем, че матрицата В е равна на единичната матрица 3 х 3, минус матрицата С, ето тази тук. Значи матрицата В е равна на единичната матрица... това е просто [1;0;0;0;1;0;0;0;1], минус С, минус 1/3, по [1;1;1;1;1;1;1;1;1], ето така. И на какво ще е равно това? Това ще е равно на... Да видим, да го умножим наум. Всички тези елементи ще бъдат на практика 1/3, ако извършим това умножение. Значи ако имаме 1 минус 1/3... Мога да го запиша по следния начин. Това е 1/3, 1/3, 1/3. Всички елементи са 1/3. 1/3, 1/3, 1/3, 1/3, 1/3, и това става просто 1 минус... 1 минус 1/3 е равно на 2/3. Всички единици минус 1/3 ще станат 2/3, така че просто слизаме надолу по диагонала. После имаме нули минус 1/3, което ще бъде –1/3. Минус 1/3, минус 1/3, минус 1/3. Имаме минус 1/3, минус 1/3, минус 1/3. Ето така успяхме да намерим нашата проекция, нашата трансформационна матрица, проекцията на вектор х в V, като на практика намерихме първо това, намерихме трансформационната матрица за проекцията на произволен вектор х в ортогоналното допълнение на V. Мисля, че това е много елегантно решение. Можем да препишем това като равно на 1/3 по 2, 2, 2... ще имаме двойки по диагоналите, и после навсякъде –1. Добре, ще се видим в следващото видео.