Комбинации от линейни трансформации 1

Да видим можем ли да наградим донякъде това, което научихме дотук за линейните трансформации. Дадени са две линейни трансформации. Трансформацията S е изобразяване, или функция, от множеството Х в множеството Y. Да уточним, че множеството Х е подмножество на Rn. Y е подмножество на Rm. Знаем, че S е линейна трансформация. Тя може да се представи като произведение на матрица с вектор. Можем да запишем S(х). Ще използвам същия цвят като преди. Можем да запишем, че трансформацията S на произволен вектор х е равна на някаква матрица А по вектор х. Матрицата А, това ще е х, какъвто и х да въведем във функцията, по която изобразяваме, той ще бъде в това множество, ето тук, ще принадлежи на Rn. Това ще е ето тук. Ще го направя ето така. х ще принадлежи на Rn. Всъщност ще принадлежи на множеството Х, което е подмножество на Rn. Просто се опитвам да определя размерите на матрицата А. Тя ще има n компонента ето тук. Матрицата А трябва да има n стълба. Матрицата А ще бъде матрица n по m. Добре. И нека е дадена друга линейна трансформация. Всъщност ще начертая това, което направих досега. Имаме някакво множество Х, ето тук, това е множеството Х. То е подмножество на Rn. Rn, ще го направя ето тук. Имаме това изобразяване S, или тази линейна трансформация, от множеството Х в множеството Y. Отива в ново множество, множеството Y ето тук, Y принадлежи на Rm, значи изобразяваме х ето тук. Взимаш някакъв елемент тук и прилагаш трансформацията S. Казах ти, че това е линейна трансформация. Ще получиш някаква стойност в множеството Y, което е в Rm. Казах, че можем да представим тази линейна трансформация като матрица m по n. Започваме с нещо, което има n елемента, или вектор, който принадлежи на Rn. И искаме да получим вектор в Rm. Добре. Да кажем, че имаме още една линейна трансформация Т. Тя изобразява от множеството Y в множеството Z. Ще го начертая. Имам друго множество, това е множеството Z. Мога да изобразя елементи от Y в елементи от Z с помощта на линейната трансформация Т. Като това, което направих преди. Знаем, че множеството Y принадлежи на Rm. Знаем, че това е подмножество, не че принадлежи, по-скоро е подмножество на Rm. Това са просто произволни букви. Може да е 100, може да е 5 или нещо друго. Но искам да остане абстрактно. Z принадлежи – свършват ми буквите – Z принадлежи на Rl. Как можем да представим трансформацията Т като матрица? Знаем, че това е линейна трансформация. Казах вече това. Знаем, че може да се представи в този вид. Можем да кажем, че Т(х), където х принадлежи на Rm, ще бъде равно на някаква матрица В по х. Какви ще бъдат размерите на матрицата В? х ще принадлежи на Rm, значи В трябва да има m на брой стълбове. И това се изобразява в множество, което принадлежи на Rl. Имаме изобразяване от елементите на Rm в елементи на Rl. Това ще бъде матрица l по m. Когато видиш това, е естествено да се запиташ: Можем ли да конструираме изобразяване, което е директно от множеството Х до множеството Т? Може би можем да наречем това комбинация... искам да кажа, че създаваме изобразяване, като използваме комбинация от S и Т. Ще измисля някакъв термин. Нека да наречем Т, с това малко кръгче S, просто да кажем, че това е изобразяване от х директно в z. Наричаме това комбинация на Т със S. На практика просто комбинираме двете функции, за да получим изобразяване, което ни отвежда от Т, от множеството Х, чак в множеството Z. Но още не сме дефинирали това. Сега можем да конструираме това. Напълно естествено е първо да приложим трансформацията S. Да кажем, че това е нашето х, с което работим ето тук. Може би ще поискаме първо да приложим S, което ни дава S(х). Така ще получим тази стойност, ето това тук, което е в множеството Y. А ако после вземем тази стойност и приложим трансформацията Т към нея? Взимаме тази стойност и прилагаме трансформацията Т към нея, което евентуално дава тази стойност. Това е линейната трансформация Т, приложена към тази стойност, към този член на множеството Y, което принадлежи на Rm. Просто ще приложим тази трансформация към това, ето тук, което е трансформацията S, приложена към Х. Това може да изглежда засукано, но всъщност е само – спомни си, че е само вектор, ето тук, в множеството Y, което е подмножество на Rm. Това е вектор, който принадлежи на Х. Когато приложим трансформацията, получаваме друг вектор, който е в множеството Y. Прилагаме линейната трансформация Т към това, после получаваме друг вектор, който е в множеството Z. Да дефинираме комбинацията на Т и S. Това ще бъде определение. Да дефинираме комбинацията на трансформацията Т със S – първо ще приложим S към някакъв вектор в множеството Х. Прилагането на трансформацията S към някакъв вектор в Х ни води ето тук. След това прилагаме Т към този вектор и се озоваваме в множеството Z. Оказваме се в... значи прилагаме Т към това нещо ето тук. Първият въпрос може да бъде дали това въобще е линейна трансформация? Дали комбинацията от две линейни трансформации изобщо е линейна трансформация? За да бъде линейна трансформация има две изисквания. Линейната трансформация на сумата от два вектора трябва да е равна на сумата от линейните трансформации на двата вектора поотделно. Знам, че просто като го изговарям, това вероятно не изглежда много смислено. Нека се опитаме да приложим комбинацията на трансформацията Т със S към сумата на два вектора в Х. Взимам вектор х и вектор у. По определение на какво е равно това? Това е равносилно да приложим линейната трансформация Т към линейната трансформация S, приложена на нашите два вектора, х + у. На какво е равно това? В началото на видеото казах, че S е линейна трансформация, Значи от определението за линейна трансформация едното от изискванията – знаем, че S(х + у) е равно на S(х) плюс S(у), защото S е линейна трансформация. Знаем, че това е вярно. Знаем, че можем да заместим това нещо тук с това нещо ето тук. Знаем още, че Т също е линейна трансформация. Което означава, че трансформацията, приложена към сумата на два вектора е равна на сумата от трансформациите на двата вектора поотделно. Трансформацията на S(х), или трансформацията, приложена към трансформацията S, приложена на х – знам, че терминологията е малко объркваща – плюс Т от S(у). Можем да направим това, защото знаем, че Т е линейна трансформация. Но какво е това тук? Всички тези твърдения тук са равнозначни на комбинацията на Т и S, приложена към х, плюс комбинацията от Т и S, приложена към у. При положение, че и Т, и S са линейни трансформации, получаваме, че това отговаря на първото изискване. Това, че комбинацията, приложена към сумата на два вектора, е равна на сумата от комбинацията, приложена към всеки един векторите. Това беше първото изискване за линейна трансформация. Второто изискване е, че трябва да приложим това към произведението на число по вектор от множеството Х. Значи T(S), или ще го кажа по следния начин – комбинацията от Т и S, приложена на произведението на число по произволен вектор х, това е в нашето множество Х. Това е вектор х, това е множеството Х. Това трябва да е главно Х. На какво е равно това? Добре, по определението за линейна... за комбинация, това е равно на трансформацията Т, приложена към трансформацията S, приложена към с по нашия вектор х. На какво е равно това? Знаем, че това е линейна трансформация. Щом това е линейна трансформация, щом S е линейна трансформация, тогава знаем, че това може да се представи като Т по с по S, приложени към вектор х. Това малко заместване, което направих, с S приложено на с по х, това е същото като с по линейната трансформация, приложена към вектор х. Това следва просто от факта, че S е линейна трансформация. Правили сме го много пъти. Сега имаме Т, приложена към някакъв скалар, който е умножен по някакъв вектор. Можем да направим същото нещо. Знаем, че Т е линейна трансформация. Знаем, че това е равно на – ще го напиша тук долу, това е равно на с по Т, приложено на S, приложено на някакъв вектор х, което е ето тук. На какво е равно това? Това е равно на скалара с по комбинацията на Т и S, приложена на вектор х ето тук. С това е изпълнено второто изискване за линейна трансформация. Комбинацията, както я дефинирах, определено е линейна трансформация. Това означава, че комбинацията на Т с S може да бъде представена като матрица – ще го запиша по този начин – комбинацията на Т с S, приложена към, или трансформацията на, която е комбинация от T и S, приложена към някакъв вектор х, може да бъде представена като някаква матрица по нашия вектор х. Какви ще бъдат размерите на тази матрица? Изходното пространство има n измерения, така че ще има n стълба, и отиваме в пространство с l измерения, Значи ще има l реда. Това ще бъде матрица l по n. Ще спра дотук. Знам, че правя твърде много клипове по 20 минути и повече. В следващото видео, след като вече знаем, че това е линейна трансформация, която можем да представим като произведение на матрица с вектор, всъщност ще видим как можем да представим тази матрица, особено по отношение на двете матрици, които дефинират трансформациите S и Т.