Примери за произведение на матрици

В последното видео научихме какво представлява произведението на две матрици. Ако имам една матрица А, която е с размери m х n, и ако имаме друга матрица В, която е с размери n х k, дефинирахме произведението на матриците А по В като.... Всъщност преди да дефинирам произведението, ще запиша матрицата В като съвкупност от вектор-стълбове. Знаем, че В може да се представи като вектор-стълб b1, друг вектор-стълб b2, и така нататък имаме k такива, защото има точно k стълба, значи bk. В последното видео дефинирахме произведението на А и В – за да може то да се дефинира броят на стълбовете на матрицата А трябва да е равен на броя на редовете на матрицата В. Ние дефинирахме това произведение да е равно на А по всеки вектор-стълб на матрицата В. Значи това е равно на... ще се върна към този цвят отново – това е равно на А по... ще го направя със същия цвят – А по b1, а после вторият стълб е произведението на А по b2. Третото произведение е равно на А по b3, и така нататък, до А по bk. Ето така. Причината за това, което вероятно вече ти е познато, може би от часовете по алгебра – вероятно не е било дефинирано точно по този начин, но е еквивалентно на това, което ти е познато от часовете по алгебра – хубавото нещо в това определение е, че обяснението на това е комбинацията на две линейни трансформации, чиито трансформационни матрици са матриците А и В. Показах ти това в предишното видео. Като казахме това, сега да пресметнем няколко произведения на матрици, за да можеш да го разбереш. Да кажем, че имаме матрицата А. Нека А да е равна на матрицата [1; –1; 2;0;–2;1]. Искам числата да са малки, за да бъдат по-лесни пресмятанията. Нека да имаме и матрицата В, която е равна на [1;0;1;1;2;0;1;–1;3;1;0;2]. Значи А е матрица 2 х 3, 2 реда и 3 стълба. Матрицата В е 3 х 4. Съгласно определението – колко е произведението А по В? Знаем, че това произведение е дефинирано, защото броят на стълбовете тук е равен на броя на редовете, така че можем да намерим тези произведения на матрица с вектор – ще видиш след малко – така че А по В е равно на матрицата А по вектор-стълба [1; 2; 3]. Това ще бъде първият стълб на новата матрица-произведение. Вторият стълб ще бъде матрицата А по вектор-стълба [0; 0; 1]. Третият стълб ще бъде матрицата А по вектор-стълба [1;1;0]. След това четвъртият стълб в нашето произведение ще бъде матрицата А по вектор- стълба [1; –1;2]. И това, когато го напишем по този начин, изглежда очевидно защо трябва да е така, защо броят на стълбовете на А трябва да е равен на броя на редовете на В, защото вектор-стълбовете на В трябва да имат същия брой елементи, колкото са редовете на В, така че всички вектор-стълбове на В – ако означим тези като b1, b2, b3, b4 и така нататък bi – ще го запиша така – всички bi, където i може да е 1, 2, 3 или 4, всички те принадлежат на R3. Така че имаме дефинирани произведения на матрица с вектор, когато броят на стълбовете в матрицата е еквивалентен на размерността на векторите. Ето защо този брой и този брой трябва да са равни. Добре, ние вече сведохме произведението на матрица с матрица до четири различни задачи за произведение на матрица с вектор, така че можем просто да извършим умножението. Това не е нещо ново, хайде да го направим. На какво е равно това? Значи А по В – ще го препиша – А по В, произведението с вектор, е равно на – този първият стълб е матрицата А по вектор-стълба [1;2;3]. Как дефинирахме това? Спомни си, един начин да го разглеждаме, е, че е равно на... можем да го разглеждаш като... всеки от тези редове умножен скаларно по стълба на В, или даже още по-добре, това е някаква транспонирана матрица, нали? Ще го запиша по следния начин. Ако А е равно на – извинявам се – някакъв транспониран вектор, да кажем, че е равно на вектор-стълба [0; –1; 2], който транспонираме – досега не съм говорил много за транспониране, но мисля, че разбираш идеята. Просто превръщаш всички стълбове в редове – така че транспонираната версия ще бъде [0;–1;2]. Просто вектор-стълбът става вектор-ред. Нарекох това транспониране, тогава, когато умножим матрицата А по този вектор, тогава всъщност ние просто умножаваме скаларно А по ето това, по първия ред и първия стълб. Ще го направя по следния начин, ще използвам следния начин на записване. Значи това ще бъде матрицата – о, извинявам се, векторът [1; –1;2]. Това реално е този ред ето тук, представен като стълб, умножен скаларно по [1;2;3]. Всъщност ще използвам този цвят, за да мога после да премина на един цвят, за да се опростят нещата – но умножен скаларно по [1;2;3]. Значи просто взимаме този ред, или да кажем еквивалентния стълб на този ред и го умножаваме скаларно по това. И аз го написах ето така, защото съм дефинирал само скаларно произведение на вектор-стълбове. Мога да го направя и с вектор-редове, но не е нужно да давам ново определение. Значи това ще бъде първият ни елемент в това произведение на матрица с вектор. Вторият елемент ще бъде вторият ред на А умножен скаларно по този вектор ето тук, така че това ще е равно на [0;–2;1] скаларно умножено по [1;2;3]. И продължаваме по същия начин – и сега ще премина може би към неутрален цвят – значи това А по [0;0;1]. Това ще бъде първият ред на А, изразен като вектор-стълб, така че можем да го напишем ето така: [1; –1; 2] (.) [0;0;1]. И после тук имаме, всъщност после имаме нашето, и после вторият ред на А умножен скаларно по този вектор-стълб, така че имаме [1; –1; 2] (.) [0;0;1]. Остават още два реда. Това може да стане малко досадно и е неизбежно вероятно да допусна грешка по невнимание, но ако разбираш процеса, това е е важното в случая. След това – този ред на А, изразен като вектор-стълб, [1; –1; 2], който ще умножим скаларно по този вектор тук, по [1; 1; 0]. След това този ред на А – мога само да погледна и тук също – [0; –2; 1] умножено скаларно по [1; 1; 0] . И накрая последните два елемента ще бъдат горния ред на А, [1; –1; 2] скаларно умножен по този вектор-стълб [1; –1; 2] – тук има малка точка, не забравяй, че това е скаларно умножение – и накрая този втори ред на А, значи [0; –2; 1] умножаваме скаларно по този вектор-стълб, по [1; –1; 2]. И това е нашата матрица, която е произведението – това изглежда доста сложно в момента, но трябва само да го изчислим, и при скаларните произведения нещата се опростяват – значи нашата матрица – нашето произведение – до какво се опростява? Ще използвам розово. А по В е равно на – ще начертая една матрица. Колко е скаларното произведение на тези двете? Това е 1 по 1. Ще го запиша. Това е 1 по 1, просто записвам 1 по 1 е 1, плюс –1 по 2, значи –2, плюс 2 по 3, т.е. плюс 6. Сега ще сметнем този член ето тук, 0 по 1 е 0, плюс –2 по 2, което е –4, плюс 1 по 3, значи плюс 3. Сега идваме при този член, 1 по 0 е 0, плюс –1 по 0, става плюс 0, плюс 2 по 1 е равно на плюс 2. Този член е 0 по 0 е 0, плюс –2 по 0, ще запиша 0, плюс –2 по 0 е 0, плюс 1 по 1. Значи плюс 1, и тук е 1 по 1 е 1, плюс –1 по 1 е минус 1, плюс 2 по 0 е 0, значи плюс 0. Тук е 0 по 1 е 0, –2 по 1 е –2, и накрая 1 по 0 е плюс 0. Почти сме готови. 1 по 1 е 1, –1 по –1 е 1, 2 по 2 е 4; Накрая 0 по 1 е 0, –2 по –1 е 2. 1 по 2 също е 2. И сме почти на финала, остава само да съберем тези стойности. Значи нашето скаларно произведение на двете матрици е равно на матрица 2 х 4; 1 минус 2 плюс 6. Това е равно на 5. Минус 4 плюс 3 е минус 1. Това е просто 2. Това е просто 1. После имаме 1 минус 1, плюс 0, това е 0, минус 2, нали? Остава само –2 тук; 1 плюс 1 плюс 4 е 6, и после 2 плюс 2 е 4. И сме готови. Произведението на А по В е равно на тази матрица. Ще взема отново моите матрици А и В. Можем да разгледаме още малко какво всъщност представлява това произведение. Ще копирам и ще поставя това. Ще слеза малко надолу. Тук долу и го поставям. Ето така. Значи това бяха нашите матрици А и В. Когато ги умножихме, получихме тази матрица ето тук. Има още няколко неща, които да забележим. Спомни си, че казах, че това произведение е дефинирано само тогава, когато броят на стълбовете на А е равен на броя на редовете на В. В този случай това беше изпълнено. След това обърни внимание, че получихме матрица 2 х 4, което броят на редовете на А по броя на стълбовете на В. Така получаваме матрица 2 х 4. Друг естествен въпрос е дали можем да намерим, произведението В по А и дали те са равни. Ако трябва да умножим В по А. Ако опитаме да приложим определението, тогава на какво е равно това? Това е равно на матрицата В по този първи стълб [1;0], после матрицата В по този стълб [–1; –2]. И след това матрицата В по стълба [2;1]. Можем ли да сметнем това произведение на матрица с вектор? Имаме 3 х 4 – това тук е матрица 3 х 4, а това тук принадлежи на R2. Значи това не е определено. Имаме повече стълбове, отколкото са тези елементи, така че не можем да дефинираме произведение на матрица с вектор по този начин. Така че не само, че това не е равно на това, то дори не е дефинирано. Не е дефинирано да умножим една матрица 3 х 4 по една матрица 2 х 4. Не е дефинирано, защото този брой и този брой не са равни помежду си. И понеже това е дефинирано, а това не е, тогава А по В не винаги е равно на В по А. Всъщност, обикновено не е равно на В по А, и понякога това дори не е дефинирано. Последната точка, която искам да отбележа: вероятно си учил/а да умножаваш матрица по матрица по алгебра, но без никакво обяснение какво и защо правиш, но сега вече имаме обяснение. Защото, когато умножаваме матриците А по В, научихме в последното видео, че ако имаме две трансформации, да кажем, че имаме трансформацията S, която е трансформация от R3 в R2, като S е представена като матрицата... Значи S, дадена е някаква матрица в R3, и ако приложим трансформацията S към нея, това е еквивалентно да умножим това, или ако имаме някакъв вектор в R3, прилагането на трансформацията S е еквивалентно да умножим този вектор по А. Можем да кажем това. Използвах R3 и R2, защото броят на стълбовете в А е 3, така че прилагаме към тримерен вектор. По същия начин, можем да си представим В като матрицата на трансформацията за някаква трансформация Т, която е изобразяване от R4 в R3, където ако имам някакъв вектор х в R4, ще получа – умножаваме това и В, и ще получим някакъв вектор в R3. Сега, ако мислим за комбинацията на двете – да помислим малко – ако имаме тук R4, ще сменя цветовете – имаме R4 тук, тук имаме R3, и после тук имаме R2. Т е трансформация от R4 в R3. Значи Т ще изглежда ето така. Т е трансформация и тя е В по х. Това е на какво е равно Т, значи Т е тази трансформация. После S е трансформация от R3 в R2. Значи S изглежда ето така. S е еквивалентна на А по произволен вектор в R3, значи това е S. Сега знаем как да визуализираме или как да разсъждаваме какво представлява произведението на А по В. Произведението на А по В е по същество – прилагаме първо трансформацията В – значи ще разгледам – комбинацията на S – ще го запиша по следния начин – какво представлява комбинацията на S и Т? Това е равно на... равно е на S(Т(х)). Значи взимаме трансформация от R4 в R3, а после взимаме трансформацията S от R3 в R2, значи това е S(T). S(T) е трансформация от R4 чак до R2. Хубавото за това е, че ако трябва да представиш това като матрица – правихме това в предишното видео – това ще е равно на матрицата А на S по този вектор ето тук, който е В по х. Но ние знаем, че матрицата – съгласно определението за произведение на матрица с вектор – това тук ще бъде трансформирано. Това ще е равно на – значи комбинацията S(T(х)) ще е равна на матрицата А по В въз основа на определението, така че трансформацията АВ по някакъв вектор х. Причината да правя всичко това, е защото току-що изчислих произведението на матрица по матрица тук. Направихме си труда да умножим матрицата А по матрицата В и получихме тази стойност тук – и се надявам, че не съм допуснал грешки от невнимание. Важното нещо тук е – вероятно не си го срещал/а в часовете по алгебра, това е матрицата на комбинацията от трансформациите S и Т. Ето това тук е матрицата на комбинацията от S и Т. Така че няма на сляпо да извършваш умножението – умножаването на матрица по матрица може да е много скучно, но сега ще знаеш защо го правиш. Това всъщност е комбинация от две трансформации, където А и В са трансформационните матрици за всяка от двете линейни трансформации. Надявам се, че това ти беше полезно.