Дистрибутивно свойство на произведенията на матрици

Дадени са три матрици – А, В и С. Матриците В и С са с размери m х n, а матрицата А има, да кажем, размери k х m. Искам да разбера дали произведенията на матриците притежават дистрибутивното свойство. Да разгледаме произведението А по (В + С). Като всичко това са матрици. Значи В, да поясня, матрицата В може да се представи като вектор-стълбовете b1, b2 и така нататък до bn. Матрицата С също може да се представи като вектор-стълбове. Това важи и за матрицата А, но сега няма все още да я пиша. Значи матрицата С може да се представи като вектор-стълбовете с1, с2 и така нататък до сn. Може би трябваше да я направя по-висока. Това са вектор-стълбове, така че всъщност те са вертикални. Мисля, че си виждал/а това много пъти. Колко е А по (В + С)? Първо да намерим колко е В + С. Това е равно на А по (В + С). Когато съберем В и С, определението за сбор на матрици е просто да съберем съответните стълбове. Което означава на практика да съберем съответните елементи. Значи първият стълб ще бъде равен на b1 + с1. Вторият стълб ще бъде равен на b2 + с2. И така продължаваме до n-ия стълб. Той ще бъде bn + cn. Съгласно определението за произведение на матрици това произведение е равно на матрица, в която взимаме матрицата А и умножаваме всеки от нейните вектор-стълбове по всеки от вектор-стълбовете на тази матрица тук, матрицата (В + С). Както се досещаш, и двете матрици са с размери m по n. Всъщност и двете трябва да имат еднакви размери, за да бъде дефинирано това събиране. Получената матрица (В + С) също ще бъде матрица m х n. Вече ти казах, че матрицата А е k х m. Знаем, че произведението е дефинирано, когато матриците са съгласувани, т.е. матрицата А има същия брой стълбове, колкото реда има матрицата (В + С). Така че това е дефинирано. (А има m стълба, а (В + С) има m реда). Това ще бъде равно на – ще сменя отново цветовете – равно е на А по този вектор-стълб (b1 + с1). Вторият стълб ще бъде А по стълба (b2 + с2). Свършва ми мястото. Това продължава така до А по вектор-стълба (bn + cn). Това е определението за произведение на матрица с матрица. Умножаваме първата матрица по всеки вектор-стълб на втората матрица. Можем да твърдим това, понеже вече сме дефинирали умножението на матрица с вектор. И на какво е равно това тук вдясно? Ще продължа да сменям цветовете. Знаем, че произведенията на матрици с вектори притежават дистрибутивното свойство. Дори не си спомням кога правих видео за това. Но засега ще го приемем. Това е много лесно за доказване. Значи всеки от тези стълбове ще бъде равен на – ще го напиша по следния начин. Това ето тук може да се преработи. Първият стълб ще бъде равен на А по вектор-стълба b1, плюс А по вектор-стълба с1. Този член тук е равен на този член тук. Следващият член ще бъде А по b2 плюс матрицата А по вектора с2. И n-тия стълб ще бъде матрицата А – продължаваме – А по вектор-стълба bn, плюс матрицата А по вектор-стълба сn. Ето така. Сега можем да запишем матрицата като сума от две различни матрици. Това на какво ще е равно? Това е равно на... да видим, ще го напиша ето тук – равно е на: А по b1 е първият стълб, А по b2 е вторият стълб, и така нататък до А по bn в последния стълб. Това са тези членове ето тук. И ако искам да събера с матрицата А по вектор с1, А по вектор-стълб с2 – това са просто различни стълбове на матрицата – и след това имаме матрицата А по вектор-стълб cn. Това представляват тези членове. Очевидно, за да събера тези две матрици, просто събирам вектор-стълбовете, и получавам тази матрица ето тук. На какво е равно това? Това тук, по определение, това е матрицата А по матрицата В. Определението за произведение на матрици е, че взимаме първата матрица и я умножаваме по вектор-стълбовете на втората матрица. По същата логика, ако мога да се изразя така, това е еквивалентно на А по С. И всичко това – спомни си, че имаме куп знаци за равенство, това е равно на А по (В + С). Сега можем да кажем, че определено, когато произведенията са дефинирани и сумите са дефинирани, т.е. всички те имат подходящи размери, тогава А по (В + С) е равно на А по В плюс А по С. Значи произведенията на матрици притежават дистрибутивното свойство, поне в тази посока. Казвам това, защото, спомни си, че произведенията на матрици не са комутативни. Не знаем със сигурност дали (В + С) по А е равно на това. Всъщност в повечето случаи тези две неща не са еквивалентни. Така че не сме сигурни, че ако обърнем това, то все още притежава дистрибутивното свойство. Да опитаме да го направим. Ще го направя малко по-бързо, защото смятам, че разбираш общия принцип. Да вземем (В + С) по А. Ще запиша матрицата А като вектор-стълбове. а1, а2, и така нататък, матрицата А има m стълба, ако правилно си спомням – точно така, А има m стълба, значи до am. По определението за произведение на матрици, това ще бъде равно на матрицата – (В + С) е просто матрица, нали? Можем да представим това като сбор от две матрици, то си е просто матрица. Значи (В + С) по всеки от вектор-стълбовете на А. Това ще е равно на (В + С) по а1, (В + С) по а2 и т.н. до (В + С) по an. (Бел. ред.: Сал допуска грешка, матрицата А е k x m) Повтарям, преди доста уроци показах, че произведението на матрица с вектор притежава дистрибутивното свойство, така че можем просто да разкрием скобите и да умножим този вектор по двете матрици. А ако не съм го доказвал, то това е много лесно за доказване. Можем да кажем, че това е равно на В по а1 + С по а1. (Сал произнася погрешка а2). Това е първият стълб. Вторият стълб е В по а2 плюс С по а2 и т.н. до В по an плюс С по an. (Сал греши тук и до края на видеото – матрицата А има m стълба). И на какво е равно това? Ще го запиша. Това е равно на В по... това е а1, не,... това тук е а1, и после В по а2 и така нататък до В по аn, плюс С по а1, С по а2, и така нататък, до с по an, нали? Това представлява тези членове ето тук, а това представлява първият член от всеки вектор-стълб. И това, съгласно определението за умножение на матрици, е еквивалентно на В по А, а това е еквивалентно на С по А. Така видяхме, че дистрибутивното свойство важи и в двата случая на умножение на матрица с вектор. Че (В + С) по А е равно на В по А плюс С по А, ((В + С).А = В.А + С.А щеше да е вярно, ако матриците бяха съгласувани, т.е ако А има n реда или В и С имат к стълба), и че А по (В + С) е равно на А по В плюс А по С. Но сега трябва да внимаваш само за едно нещо – тези две неща не са еквивалентни. Доказахме току-що, че това е равно на В по А плюс С по А. Значи дистрибутивното свойство важи в двата случая. (Когато матриците са съгласувани) Но когато имаме матрици, тогава е много важно да запазим подреждането. Защото ето тук матрицата А е на второ място. Значи това е В по А плюс С по А. Не можем да твърдим, че това е равно на А по В плюс А по С. Не можем просто да разменим местата. Защото, доказахме го много пъти, или го обсъдихме много пъти, тези произведения на матрици не са комутативни. Не можем просто да разменим местата на множителите. Но в това видео доказахме, че дистрибутивното свойство е в сила и в двете посоки (когато матриците са съгласувани).