Асоциативност на произведението на матрици

Знаем, че ако имаме някаква линейна трансформация S, такава, че трансформира от Х в Y – това са множества, множества от вектори, и Т е линейна трансформация от Y в Z – тогава можем да конструираме комбинация на S и Т, която е линейна трансформация от X директно до Z. (знакът "о" означава последователност от трансформации) Видяхме това преди няколко урока. Определението за нашата линейна трансформация, или комбинацията от нашите линейни трансформации, значи комбинацията на S и Т, приложена към някакъв вектор х, от нашето множество Х, множеството на първообразите, е равна на S(Т(х)). Това беше определението. После продължихме и казахме, че ако S(х) може да се представи като произведение на матрицата А по вектор х, т.е. произведение на матрица с вектор, и ако Т(х) може да се представи – или трансформацията Т може да се представи като произведение на матрицата В по вектор х, и видяхме, че това нещо ето тук – разбира се, ако го напишем по този начин, това е равно на А по Т по х, което е просто В по х – видяхме преди няколко урока, че това е равно на – съгласно определението за произведение на матрици, матрицата А по В – нали? Когато умножим двете матрици, получаваме друга матрица – произведението А по В по х. Така че реално взимаме първата линейна трансформация от нашата комбинация, тя е матрицата А, и я умножаваме по втората матрица. Добре, всичко това дотук беше преговор. Да вземем три линейни трансформации. Да кажем, че имаме линейната трансформация Н, и когато я приложим към вектор х, това е еквивалентно на произведението на вектор х и матрицата А. Да кажем, че имаме линейната трансформация G. Когато я приложим към вектор х, това е еквивалентно на произведението на вектор – това е вектор, измислих ново понятие вектрикс – това е равно на произведението на този вектор по матрицата В. И последната линейна трансформация е F. Когато я приложим на някакъв вектор х, тя е равна на произведението на този вектор х по матрицата Z. Любопитен съм какво се случва, ако взема комбинацията от H и G, и после я комбинирам с това F – всички тези са линейни трансформации – после прилагам това към някакъв вектор х. Който би трябвало да е в множеството на първообразите на това тук. Всъщност не съм дал определенията за техните множества на първообразите и множеството на образите, но мисля, че схващаш идеята. Да поразсъждаваме върху това. По определение какво е... ще се върна обратно. По това определение ето тук какво представлява комбинацията, можем да приложим това към това ето тук. Можем да приемем това за нашето S, а това за нашето Т. На какво ще е равно това тогава? Ако направим директно сравнение тук, тогава това ще е равно на S, трансформацията S, приложена към трансформацията F, приложена към вектор х. Значи S e Н(G). Значи Н... или по-добре да кажа Н(G) – комбинацията на Н и G, това е нашето S. И след това прилагаме това към F, приложено към х. F е нашето Т. Прилагам това към F, приложена към х, ето така. И на какво е равно това? Можем да приемем, че това е нашето х. Ако само направим сравнение съгласно това определение, тогава това и това тук са нашето Т, а това е S. Ако направим сравнение с модела тук, тогава това на какво е равно? Това следва директно от определението за комбинация. Значи това е равно на S от... S е нашето Н – значи Н(Т), което в този случай е G, приложено към вектор х. Но вместо х тук имаме този вектор, който е трансформацията F, приложена към вектор х. Значи G(F(х)). На това е равно. Комбинацията на Н и G, и комбинацията на F и Н, комбинацията на H и G, всички те приложени към х е равно на H(G(F(х))). А това на какво е равно? Това е равно на... ще го направя ето тук – това е равно на трансформацията Н, приложена на ... какъв е този член тук? Ще използвам розово. Какво е това? Това е комбинацията на G и F, приложена на х. Можеш просто да заместиш S с G, а Т с F, и ще получиш това тук. ... Така че това е равно на комбинацията на G и F, приложени към х. Ето това е то. А на какво е равно това тук? Вероятно е объркващо да виждаш две скоби в различни цветове, но схващаш идеята ми. На какво е равно това? Да се върнем към определението за комбинация – искам само да е много ясно какво правим. Това е, ако си представим това, че е нашето Т и после това че е нашето S, това е просто комбинацията на S и Т, приложена към х. Значи това просто е равно на... Ще го запиша по този начин. Това е равно на – не трябва да пиша S – това е комбинацията на Н с комбинацията на G и F. И всичко това е приложено към х. Защо правя всичко това? Първо, за да покажа, че комбинацията е асоциативна. Аз минах целия път дотук и после се върнах обратно и всъщност няма значение къде поставям скобите. Комбинацията на Н и G и F е еквивалентна на комбинацията на Н с комбинацията на G и F. Тези две неща са еквивалентни, и всъщност и тези две неща, можеш просто да ги преработиш. Скобите на практика са ненужни. Можеш да запишеш това като комбинация на Н и G и F, всичко това приложено към х. Използвам случая, за да кажа, че всяка от тези линейни трансформации мога да представя като произведение на матрици. Защо мога да го направя? Както вече видяхме, всяка комбинация, когато вземем комбинацията на S и Т, матричната версия на тази трансформация на тази комбинация ще бъде равна на произведението – съгласно определението за произведение на матрици – произведението на трансформационната матрица на S и трансформационната матрица на Т. И на какво ще е равно това? Това ето тук – ако разглеждаме това тук като трансформация, това твърдение ето тук, това е матричната му версия – ще запиша това. Матричната версия на комбинацията на Н и G и после комбинацията на това с F, приложено към х, е равно на – виждали сме го и преди – това е произведението на тези матрици. За тази комбинация матрицата ще бъде А по В. Матриците на Н и G са А и В. Значи ще бъде А по В – ще го направя в скоби. После взимаме тази матрица, и я умножаваме по... значи матричното представяне на това е В, нали? А матрицата на това е С. Значи матричното представяне на всичко това е ето това, произведението на А по В, а после умножено по С. Значи А по В, а после по С. И после, ако погледнеш това ето тук – разбира се тук всичко това е по вектор х, всичко това по някакъв вектор х, ето тук. Това е вектор х. Сега да видим ето това тук. Ако вземем комбинацията на Н и комбинацията на G и F, и ако приложим това към някакъв вектор х, на какво е равно това? Тази комбинация ето тук, матричната версия на това, ако мога да кажа така, ще бъде произведението В по С. И прилагаме това към вектор х. Значи имаме произведението В по С. После умножаваме това по матричното представяне на това, което е А. Показвали сме това преди. Никога не сме го правили с три матрици, но това важи пак. Аз един вид показах, че важи и за повече, така че просто прилагаме това определение. Можем да продължим да прилагаме това свойство тук, и така то просто логично се мултиплицира. Защото всеки път реално взимаме комбинацията на две неща. Дори когато изглежда, че комбинираме три, всъщност първо комбинираме две трансформации, после получаваме матричното представяне, после взимаме комбинацията на това със следващото. Значи матричното представяне на цялата комбинация е равна на тази матрица по тази матрица. Което направих ето тук. По същия начин, тук взимаме първо комбинацията на тези две линейни трансформации и тяхната матрична репрезентация ще бъде ето това тук. После взимаме комбинацията на това и това. Така че цялата матрична репрезентация ще бъде тази матрица по тази матрица. Значи А по В по С. И, разбира се, всичко това се прилага към вектора х. Сега, в това видео аз показах, че тези двете са еквивалентни. Скобите са напълно излишни. Показах го ето тук. И двете се свеждат до H(G(F(х))). Тези двете са еквивалентни. Можем да кажем, принципно, ме тези двете неща са еквивалентни. Или че А по В, произведението А по В и после получената матрица умножена по матрицата С, това е еквивалентно на произведението на А по матрицата В по С. Което е просто друго произведение на матрици. Друг начин да изразим това е да кажем, че тези скоби нямат значение, че всичко това е равно просто на А по В по С. Искам да кажа само, че произведенията на матрици притежават асоциативно свойство. Няма значение къде поставяме скобите. Този термин понякога ме обърква – асоциативно свойство. Но това просто означава, че няма значение къде поставяме скобите, че можем да разместим местата на множителите. Произведенията на матрици не притежават свойството комутативност. Видяхме това в предишното видео. Не можем да кажем, че винаги А по В е равно на В по А. Не можем да твърдим това. В последното видео – мисля, че беше предишното – показах, че ако произведението А по В е дефинирано, понякога В по А не е дефинирано. Или ако В по А е дефинирано, понякога А по В не е дефинирано. Така че произведението на матрици не е комутативно, но то е асоциативно. В следващото видео ще видим дали за произведенията на матрици важи дистрибутивното свойство.