Умножение на матрица с вектор

В последните няколко видеа вече ти показах какво е матрица, което е просто един подреден масив от числа, обикновено 2-мерен масив. Всъщност ние винаги използваме двумерен масив за нашите цели. Така че, ако имаш матрица m по n, m е просто броят на редовете, а n е просто броят на стълбовете. Ще напиша тук една матрица m по n. Ще определя... ще означа матрицата m по n като А, това е главна, удебелена буква А. Тя е равна на, искам да е колкото е възможно по-обща, първият елемент, това ще е малко а, то е в първи ред, първи стълб. Вторият елемент е в ред 1, стълб 2. И продължавам така до ред 1 стълб n, има n стълба. Когато слезем надолу, имаме следващия ред, това е ред 2, стълб 1. И продължаваме така чак до ред m, стълб n. И сега какво? Този елемент ще бъде ред 2, ще го напиша малко по-дребно, ред 2, стълб 2. И така нататък, ще стигнем ред m, стълб n. Ако помислиш, колко елемента общо ще имаме? Ще има m елемента в тази посока и n елемента в тази посока. Значи общо има m по n елемента. Смятам, че идеята за матрица ти е доста позната вече, вероятно си виждал/а това в часовете по Алгебра 2. В това видео искам да свържем понятието матрица с всичко, което вече знаем за векторите. Или може би да се запознаем с някои операции, които позволяват да свържем матриците и векторите помежду им. Може би най-естественото е умножението, намирането на произведението. В това видео ще дефинирам какво означава да намерим произведението на нашата матрица А, на произволна матрица А, написал съм я колкото се може по-обща, по някакъв вектор х. Определението е в сила само ако х, векторът, по който умножаваме А, има същия брой компоненти, колкото са стълбовете на матрицата А. Значи това е в сила за вектор х, който изглежда така: х1, х2... и така чак до хn. Искам да съм много ясен, този вектор – предполагам, че можеш да вземеш различна височина на този вектор. От значение е матрицата А да има същия брой елементи в тази посока, тук трябва да има n стълбове в матрицата А, колкото n на брой компоненти има векторът ето тук. Ако е изпълнено това условие, ако дължината на вектора или по-точно броят на компонентите на вектора е равен на броя на стълбовете в матрицата, тогава можем да дефинираме, че произведението е равно на... това е моят вектор х – ще ти дам определението. Няма природен закон, който да ни казва, че това трябва да е по този начин. Това е решено от хора, от математици, това е едно полезно споразумение да се дефинира така умножението, или произведението на матрица и на вектор. Ще дефинирам А по нашия вектор х. И двата символа са удебелени, това е матрица, а това е вектор. (у нас записваме вектора със стрелка отгоре). Прието е, ако няма малка стрелка за вектор, в учебниците (в САЩ и др.) просто удебеляват това х, като това е малка буква х. Малката буква е вектор, а главната буква е матрица, като и двете са удебелени. Това показва, че не са някакви обикновени числа. Значи дефинираме това да е равно на... ще го напиша по-голямо. Взимаш всеки ред, и аз ще ти покажа, че има няколко начина да се покаже това, но това ще бъде а11 по х1 – ще го запиша. Значи а11 по х1 плюс а12 по х2, и така нататък до плюс а1n по хn. Произведението на тази матрица m по n по този вектор с n компонента е нов вектор, първият компонент на който е на практика всеки от тези елементи по съответния компонент тук, и после ги събираме. Както виждаш, това изглежда вече познато, прилича на скаларно произведение, което ще обсъдим след малко. Но първо нека да довърша определението, преди да започна да обяснявам какво означава, или с какво може да е свързано. Значи тази първи ред ето тук, той ще изглежда така. Просто умножаваме това по това и получаваме този ред ето тук. Сега втория ред – искам да го направя с различен цвят – запомни, че това е определение. Това е измислено от хората. Нищо в природата не ни казва, че трябва да го правим по този начин, но така просто е удобно. Вторият ред ще бъде а21 по х1, просто повтаряме всичко отново, но този път умножаваме този ред по този вектор-стълб. Става а21 по х1, плюс а22 по х2, и така чак докато стигнем до... искам да го направя в цикламено – а2n по хn. Умножихме целия този ред по този целия стълб. Този член по този член, плюс този член, плюс този член. И така нататък, до плюс този последен член по този последен член. И продължаваме да правим това за всеки ред, докато стигнем до m-тия ред, където ще бъде елемента аm1. Това е m-тия ред на първия стълб. аm1 по х1 плюс – трудно ми е да сменям непрекъснато цветовете – плюс аm2 по х2, и така чак до amn по хn. Как ще изглежда този вектор? Той принципно ще има... нека да го наречем вектор – Да кажем, че е равно на вектор b. Как ще изглежда вектор b? Колко компонента ще има? Той ще има компонент за всеки ред от тези, нали? Взимаме всеки ред и принципно изчисляваме скаларното произведение на този вектор-ред по този вектор-стълб. Ще направя по-формално записване след малко. Но мисля, че разбираш, че това е скаларно произведение. Първият компонент по първия компонент плюс втория компонент по втория компонент, плюс третия компонент по третия компонент, и така нататък, до n-тия компонент, плюс n-тия компонент по n-тия компонент. Така че това по същество е скаларно произведение по този вектор-ред. Но ние записвахме всички вектори като стълбове, така че можем да ги наричаме вектор-стълбове, просто сега ги записахме като редове. Можем да сме малко по-конкретни в записването след малко, но как ще изглежда това? Правим това m-пъти, така че ще имаме m-компоненти. Ще имаме b1, b2 чак до bn. Ако разглеждаме всички тези като матрици, можеш един вид да ги разглеждаш като... това евентуално ще е вярно за матричната математика, която ще учим – това е една матрица m по n, която умножаваме по... колко реда има тази матрица? Тя има n реда. Има n компонента, и има 1 стълб. Значи m на n на 1, реално можеш да пренебрегнеш тези два члена в средата, и тогава ще получиш – колко реда има тук? Тук има m реда и 1 стълб. Тези средните два члена трябва да са равни помежду си, просто за да бъде определено умножението, и тогава ти остава матрица m на 1. Всичко това е абстрактно, но нека сега да го приложим за действителни числа. Важно е да дадем определението. Сега, когато имаме определението, можем да го приложим за действителни матрици и вектори. Да кажем, че имаме следната матрица. Да умножим матрицата –3, 0, 3, 2. Сега ще използвам жълто. 1, 7, –1, 9. Искам да умножа тази матрица по един вектор. Колко компонента, или колко реда трябва да има този вектор? Произведението на моята матрица по вектора, е дефинирано само тогава, когато векторът има равен брой компоненти на стълбовете в матрицата. Тук имаме 1, 2, 3, 4 стълба. Значи векторът ще има 4 компонента, за да можем да ги умножим, иначе произведението няма да е дефинирано. Ще направя 4 компонента тук. Да кажем, че е 2, –3, 4 и –1. На какво ще е равно това? Първият член на новия вектор ще е скаларното произведение на този първи ред с този вектор. После вторият компонент ще е равен на скаларното произведение на този вектор-ред по този стълб. Да го направим. Ще бъде –3 по 2, няма да използвам различни цветове, –3 по 2, плюс 0 по –3, плюс 3 по 4, плюс 2 по –1. Сега вторият ред, или можем да кажем вторият компонент на този вектор, ще бъде 1 по 2, плюс 7 по –3, плюс –1 по 4, плюс 9 по –1. До какво се опростява това? Това е равно на –3 по 2, което е –6, плюс 0, плюс 12. Това е 12. Минус 2. Това се опростява до 2 минус 21, минус 4, минус 9. Това е равно на... горния член, да видим, имаме –6 плюс 12, това е 6, минус 2, което е 4. После имаме 2 минус 21, което е –19. Искам да съм сигурен, че смятам вярно. –21 минус 9 е –30, и имам –34, а после имам плюс 2, значи става –32. Това е моето произведение. Искам да поясня добре. Досега бяхме свикнали да записваме нашите вектори като вектор-стълбове. А тук можеш да разглеждаш това като вектор-редове. Мога да го кажа даже още по-добре. Да кажем, че този вектор, нека това да е вектор а, а1. Ще дефинирам вектор а1 да е равен на [–3; 0; 3; 2]. Сега ще дефинирам вектор а2 да е равен на [1; 7;–1; 9]. Просто написах тези, но ги написах в стандартен векторен формат. Записах ги като вектор-стълбове. Това, което можем да дефинираме, за да ги превърнем във вектор-редове, е функцията транспониране. При транспонирането превръщаме редовете в стълбове и стълбовете в редове. Ако това е а1, тогава транспонираната а1 ще бъде версията като ред на тази. Значи [–3; 0; 3; 2]. После транспонираната версия на а2 ще бъде равна на [1; 7; –1; 9]. И после това умножение тук, можем да го преработим като... тази матрица можем да представим като... имаме транспонирания вектор а1 за този първи ред. Сега това са вектори, вектор-редове. После този транспониран вектор а2. Т за транспониран е като горен индекс. Този вектор ще запишем точно като този, защото това е първият ред, а това е вторият ред. По вектора – ще го нарека вектор х, това ето тук е вектор х. Можем да преработим определението и на какво ще е равно това? Този първи ред, който записахме тук, това ще е скаларното произведение на вектор а1 по вектор х. Ти знаеш всичко за скаларното произведение. Първият ред е скаларното произведение на вектор а1 по вектор х. Това е –3 по 2, плюс 0 по –3, плюс 3 по 4. Това е скаларното произведение на вектор а1 по вектор х. Това е полезно, защото, когато дефинирах скаларно произведение, аз го дефинирах само като вектор-стълбове като този. Умножавам скаларно два вектор-стълба. Не съм дефинирал вектор-ред по вектор-стълб. Сега мога да кажа, че ако това е просто стандартен вектор-стълб, както сме свикнали, мога да запиша матрицата, като всеки ред да е транспониран като вектор-стълб, или е вектор-ред. После мога да запиша това произведение като скаларно произведение на всеки от тези транспонирани вектори, или предполагам, че мога да кажа, обратно транспонирани, по този вектор ето тук. Очевидно вторият ред ще бъде скаларното произведение на вектор а2 по вектор х. Вторият ред е а2 по (.) х, което е 1 по 2, плюс 7 по –3, минус 1 по 4, плюс 9 по –1. Ето така. Това е един начин да го разглеждаме. Матрицата по вектора е просто като транспонирането на нейните редове умножени скаларно по вектора. Това е един начин да се тълкува умножението на матрици. Другият начин да се тълкува е – ще го покажа с друг пример. Тези числа стават малко досадни. Нека да имаме матрица А, хубаво, удебелено А, която е равна на 3, 1, 0, 3, 2, 4, 7, 0, –1, 2, 3 и 4. Искам да я умножа по вектор с 4 компонента. Ще го нарека вектор х, който е равен на х1, х2, х3 и х4. Вместо да разглеждаме тези редове като вектор-редове, можем да разглеждаме А като множество от вектор-стълбове. Можем да наречем това тук вектор 1. Това ще наречем вектор 2. Това ще наречем вектор 3. И това ще наречем вектор 4. После можем да преработим матрицата А да е равна на съвкупност от вектор-стълбове. Можем да я препишем като вектор 1, вектор 2, вектор 3 и вектор 4. Как можем да тълкуваме матричното умножение в този контекст? Какво направихме? Когато умножаваме тези, всички елементи тук винаги умножаваме по х1. Ще започна да пиша умножението тук, както следва от определението. Ако умножа А по х, може би няма да пиша всичко. Само искам да видиш принципа. Това е 3 по х1, плюс 1 по х2, плюс 0 по х3, плюс 3 по х4. Това е първият компонент. После имаме 2 по х1, плюс 4 по х2 и така нататък. И накрая имаме –1 по х1, плюс 2 по х2. Разбираш идеята. Но какво се случва тук? Първият вектор винаги умножаваме по този скалар х1. Всъщност можеш да разглеждаш тази част от компонентите тук Просто като умножение на това по скалара х1 във всички случаи. Имаме 3, 2, –1, 3, 2, –1. Умножаваме по скалара х1. После събираме това с това по скалара х2 и после събираме това с това по скалара х3. Значи можем да преработим А по х като равна на скалар х1 по вектор v1, плюс скалара х2. Това е скаларът х1 по вектор v1, плюс скаларът х2 по вектор v2. Искам да го направя в жълто. Плюс х3 по вектор v3, плюс скаларът х4 по вектор v4. Очевидно имаме n члена, така че трябва да имаме n вектора, и можем да обобщим това за n. Интересното тук е, че сега произведението Ах може да се разглежда като линейна комбинация. Това са просто произволни числа, в зависимост какъв е вектор х. В зависимост от вектор х ние вземаме линейна комбинация на вектор-стълбовете на А. Значи това е линейна комбинация на вектор-стълбовете на матрицата А. Това е много интересно. Сигурен съм, че си виждал/а матрично умножение и преди. Но искам наистина да усвоиш тези два начина на тълкуването му, защото те са важни, когато ще разглеждаме стълбови пространства и други подобни неща в бъдеще. Всъщност има и други начини за тълкуване на това като трансформация на този вектор х. Но няма да разглеждам това в това видео за краткост. Можеш да го тълкуваш и като мащабираща комбинация, или като линейна комбинация на вектор-стълбовете на А, при която матрицата Х определя мащабиращите коефициенти на всеки стълб. Или можеш да го тълкуваш като скаларно произведение на вектор-редове, или да дефинираш вектор-редовете като транспонирани вектор-стълбове. Скаларното произведение на тези вектор-стълбове по всички съответстващи вектор-стълбове на матрицата Х. Тези две тълкувания са напълно валидни и се надявам, че това видео ти дава поне работни знания за умножението на матрици. Даже за предпочитане е да ти даде по-дълбоко осмисляне на различните начини, по които можем да го тълкуваме.