Нулево пространство 3: Връзка с линейната независимост

Дадена е матрицата А, която има m реда и n стълба. Значи това е матрица m по n. В това видео искам да свържа линейната независимост или линейната зависимост на вектор-стълбовете на А и нулевото пространство на А. Първо да видим какво наричам вектор-стълбове. Както виждаш, тук има n на брой стълбове, и всеки от тях можем да разглеждаме като m-размерен вектор. Ще го направя по следния начин, можеш да разглеждаш това тук, можем да представим това като v1. Следващият стълб ето тук може да означим като v2. Ще има n вектор-стълбове, защото имаме n стълба, като този тук ще е vn. v с долен индекс n Можем да преработим матрицата А, тази матрица m по n. Удебелявам буквата А, за да се вижда, че това е матрица. Можем да я преработим като... ще го направя по същия начин, ще поставя тук скоби, можем да я изразим чрез вектор-стълбове, защото можем да кажем, че това v1 ще бъде този стълб, този стълб е v2, и така нататък, имаме n стълба, затова ще имаме vn за n-тия стълб. Запомни, че всеки вектор-стълб ще има m члена, по-точно е да се каже m компонента. Това са m-размерни вектор-стълбове. Сега искам да направя връзка между линейната независимост на тези вектори и нулевото пространство на матрицата А. Нека да си припомним какво представлява нулевото пространство на А. Нулевото пространство на А е равно на множеството от всички вектори х, които принадлежат на пространството Rn, ще обясня после по-подробно защо казвам Rn, такива, че ако вземем матрицата А, и я умножим по някой от тези хиксове, ще получим нулевия вектор. Защо х трябва да принадлежи на Rn? За да можем да извършим умножение с матрицата, ако тя е с размери m по n – ще го запиша – ако матрицата е с размери m по n, за да извършим умножение с матрицата, или по-точно казано да умножим матрицата по вектор, този вектор трябва да е n по 1, да има n компоненти, значи принадлежи на Rn. Ако това е m по А, или по-добре да използвам различна буква, ако това е m по, не знам, по седем, тогава това ще е R7, с което ще работим. Значи това е нулевото пространство. Друг начин да си представим това, е, че ако взема матрицата А, и ако я умножа по някакъв вектор х, който принадлежи на това нулево пространство, ще получа нулевия вектор. Значи, ако взема матрицата А, която тук изразих чрез нейните вектор-стълбове, ако я умножа по някакъв вектор х... но всъщност нека да поясня, не е задължително това да е същото, значи някакъв вектор х ето тук, поставям другата скоба, това е вектор х, и той принадлежи на Rn, затова има n компонента, ще имаме х1 като първи компонент, х2 и така нататък до xn. Ако умножим... ако този вектор х принадлежи на нулевото пространство на А, тогава цялото това нещо ще е равно на нулевия вектор. Ще повторя, нулевият вектор, е вектор с размери m на 1. значи ще изглежда... всъщност ще го напиша по следния начин: ще има същия брой редове като А, ще опитам да направя скобите с приблизително същата дължина. Искам да направя старателно скобите. Значи ще има m нули– една, две, чак до m-тата нула. Сега да умножим тези, като използваме наученото за матричното умножение. Съгласно определението за матрично умножение, единият начин да разглеждаме това е, ако искаме да умножим нашата матрица А, по нашия вектор х, ще получим първия вектор-стълб v1 по първия компонент тук, х1 плюс втория компонент по втория вектор-стълб, х2 по v2. Ще направим това n брой пъти, значи плюс точка, точка, точка х с долен индекс n по v с долен индекс n. Когато съберем всички тези, сборът им ще е равен на нулевия вектор. Това ще е равно на нулевия вектор, и това трябва вече да ти подсказва какво се случва, когато го погледнеш, когато търсим линейна независимост, виждаме нещо подобно, всъщност виждаме, че тези вектори v1, v2, тези n вектора са линейно независими тогава, и само тогава, когато решенията на това, когато мащабиращите коефициенти на тези вектори, единственият начин това да е вярно е, тогава, когато х1, х2...хn всички са равни на нула. Ще го запиша. Значи векторите v1, v2... до vn са линейно независими вектори, тогава и само тогава, когато единственото решение, или можем да кажем мащабиращите коефициенти на тези вектори – единственото решение на това уравнение е х1, х2... до хn е равно на 0. Ако единственото решение тук, ако единственият начин тази сума да е равна на нулевия вектор, е х1, х2... хn да са равни на нула, това означава, че нашите вектори v1, v2.... vn са линейно независими, или обратно, ако те са линейно независими, тогава единственото решение на това е, когато намерим мащабиращите коефициенти на тези вектори, т.е. х1, х2... хn да са равни на 0. Спомни си, линейната зависимост, ако искаш да я определиш, все още казано на математически език, но малко по-разбираем език, ако тези вектори са линейно независими, това означава, че никой от тези вектори не може да бъде представен като линейна комбинация на останалите вектори. Разгледано по този начин, Това ето тук е а, можеш да го разглеждаш като линейна комбинация на всички вектори, като единственият начин да получим тази линейна комбинация на всички тези вектори да е равна на нула, единственият начин е х1, х2 до xn да са равни на нула. Доказахме това в други видеа за линейна независимост. Ако единственото решение на това е всички компоненти от х1 до xn да са равни на нула, това означава, че нулевото пространство, че това ще бъде вярно само тогава, бих казал, тогава и само тогава, когато нулевото пространство на А... само да го направя да изглежда като матрица, ще го удебеля – нулевото пространство на А съдържа само един вектор, съдържа само нулевия вектор. Запомни, ако всички тези бъдат нули, тогава единственото решение тук ще бъде нулевият вектор. Резултатът, който получихме тук, ако докажем, че векторите в една матрица са линейно независими, тогава нулевото пространство на тази матрица ще съдържа само нулевият вектор. Или можем да го кажем по обратния начин. Ако нулевото пространство на една матрица съдържа само нулевия вектор, това означава, че стълбовете на тази матрица са линейно независими.