Връзката между базис и водещи стълбове

В последното видео показах метод за определяне на базиса на едно векторно пространство. Използвахме точно тези примери. Това беше матрицата А, и аз я преобразувах в ешелонна форма (по редове). След това определих кои стълбове в ешелонната форма на А са водещи стълбове. Оказаха се първият, вторият и четвъртият. После по този метод казахме, че съответните им стълбове в матрицата А – значи първият, вторият и четвъртият стълб, образуват базис на векторното ни пространство. И щом образуват базиса, ако искаме да знаем размерността на този базис на векторното пространство, наричан още ранг, просто казваме, че това е 3-ти ранг. Значи това е първи, втори, трети ранг. В това видео искам да обсъдим как работи това. Защо можехме да вземем съответните стълбове? Защо линейната независимост на тези три стълба предполага, че са независими и тези три стълба? Защо приехме, че мога да представя тези стълбове – този стълб ето тук като линейна комбинация на тези три стълба, този стълб като линейна комбинация на тези три стълба – защо това предполага, че мога да конструирам този стълб като линейна комбинация от векторите в базиса? Първото нещо, което не беше много трудно да си представим в предишното видео, беше идеята, че тези водещи вектори са линейно независими. Значи r1, r2 и r3. Каквото и да правя, аз един вид използвам някакъв конкретен пример, просто защото е по-лесно за разбиране. Но това трябва да може да се обобщи. Действително то може да се обобщи. Че всички водещи стълбове в ешелонната форма са линейно независими. И това е така заради самата същност на ешелонната форма, че имаме един единствен водещ стълб, който има 1 в съответния ред. Така че единственият начин да го конструираме е с този вектор. Не можем да го конструираме с другите водещи стълбове, защото те ще имат 0 на това място. И когато казвам линейно незивисим, аз просто казвам множество от водещи стълбове. Ще го обобщя. Множеството от водещи стълбове във всяка преобразувана в ешелонна форма матрица е линейно независимо. Това е много ясно твърдение. Защото всеки стълб ще има единица на уникално място. Всички други водещи стълбове ще имат нули на същото място. Така че не можеш да направиш никакви линейни комбинации, за да получиш 1, защото всичко по 0, плюс 0 или минус 0, това никога не може да стане равно на 1. Мисля, че ще се съгласиш с това. Това означава, че решението на с1 по r1, плюс c2 по r2, плюс, да кажем, c4 по r4. Решението на това уравнение, понеже тези вектори са линейно независими, знаем, че това има само едно решение, което е, че c1, c2 и c4 са равни на 0. Това е единственото решение на това уравнение. Друг начин да кажем това е, ако запишем r по някакъв вектор х – ще го запиша по този конкретен вектор х – ще го запиша като [c1; c2; 0; c4; 0], и е равно на нула. Това е някакъв специален член на нашето нулево пространство. Това е конкретно решение на уравнението. Това е равно на една, две, три, четири нули, защото имаме четири стълба. И сега, ако разширим това, ако просто умножим 1 по с1, плюс 0 по с2, минус 1 по 0, плюс 4 по 0, получаваме – или всъщност по-добър начин за обяснение е... това умножение тук може да се запише като – виждали сме го много пъти – с1 по r1, плюс c2 по r2, плюс 0 по r3, можем да игнорираме това, плюс с4 по r4, плюс 0 по r5. Това тук е r5. И всичко това е равно на 0. Единственото решение на това, защото знаем, че тези три стълба са линейно независими – или множеството от тези три стълба, тези три водещи вектор-стълбове са линейно независими – единственото решение тук е всички те да са равни на 0. Това е същото като това, което казах ето тук. Единственото решение тук, ако тези двете са 0, е тези членове също да са 0, ако вече имаме условие за тези двата. Нещо, което правим отново и отново, знаем, че множеството от решенията на това уравнение, множеството от решенията на R по х е равно на 0, и е същото като множеството от решенията на А по х равно на 0. Но откъде знаем това? Какво означава това? Множеството от решенията е просто нулевото пространство на R. То съдържа всички х, които удовлетворяват това уравнение. Знаем, че това е равно на нулевото пространство на А, защото R е просто преобразуваната ешелонна форма на А. Значи това е нулевото пространство на А, всички х, които удовлетворяват това уравнение. Единствената версия на това, която удовлетворява това уравнение, беше когато с1, с2 и с4 са равни на 0. Това означава, че единствената версия на това, с1, с2, 0, с4, 0, която удовлетворява това уравнение, или това уравнение е вярно, когато с1, с2 и с4 са равни на 0. Друг начин да изкажем това е, че ако това са векторите а1, а2 и а4 ето тук, ако умножим тези, ще получим с1... ще го направя тук със синьо – ще получим с1 по а1, плюс с2 по а2, и после 0 по а3, плюс с4 по а4, е равно на 0. Значи тези вектори ще бъдат линейно независими тогава и само тогава, когато единственото решение на това уравнение е всички те да са 0. Знаем, че единственото решение на това уравнение е, че те всички са равни на 0, защото всяко решение на това е решение и на това. И единственото решение на това беше, ако огранича тези два члена да са равни на 0, тогава единственото решение е всички тези коефициенти с да бъдат 0. По същия начин, ако огранича това да е 0, тогава единственото решение на това е с1, с2 и с4 да бъдат 0. Значи тези коефициенти трябва да бъдат нули, което означава, че трите вектора а1, а2 и а4... предполага, че множеството от векторите а1, а2 и а4 е линейно независимо. Почти сме готови. Ние показахме, че водещите стълбове тук са линейно независими. Можем да покажем, че те имат еднакво множество на решенията. Нулевото пространство на ешелонната форма на матрицата е същото като нулевото пространство на оригиналната матрица. Можахме да покажем, че единственото решение на с1 по това, плюс с2 по това, плюс с4 по това, е когато всички коефициенти са нули, което показва, че тези три вектора, или че множеството от тези три вектора определено е линейно независимо. Следващото нещо, което е нужно, за да докажем, че те са базис, е да покажем, че всички тези вектор-стълбове могат да се представят като мащабирани версии на тези вектор-стълбове. Смятам, просто за да е по-ясно, или за да не те отегчавам твърде много, но ще направя това в следващото видео. В това видео видяхме, че ако водещите стълбове са линейно независими, а те винаги са, всички водещи стълбове по определение са линейно независими. Или множеството на водещите стълбове винаги е линейно независимо, когато отстраним неводещите стълбове, тогава съответните стълбове в оригиналната матрица също са линейно независими. В следващото видео ще покажа, че тези три вектор-стълба имат линейна обвивка нашето векторно пространство.