Нулево пространство и базис на векторно пространство

В това видео искам – може би това ще стане в няколко видео клипа – да обединя всичко, което знаем за матриците, за нулевите пространства, за векторните пространства и линейната независимост. Тук имам тази матрица А. Предполагам, че добър начин да започнем, е да установим нейното векторно пространство и нейното нулево пространство. Векторното пространство всъщност е много лесно да се намери. Това е просто линейната обвивка на вектор-стълбовете на матрицата А. Можем веднага да запишем, че векторното пространство на матрицата А – ще го направя ето тук. Мога да запиша, че векторното пространство на нашата матрица А е равно на линейната обвивка на векторите [1; 2; 3], вектор [1; 1; 4], вектор [1; 4; 1] е вектор [1; 3; 2]. Готово. Това беше много лесно, много по-лесно от намирането на нулевото пространство. Това може да те удовлетворява или да не те удовлетворява. Тук има много отворени въпроси. Например, дали това е базис за пространството? Дали това е линейно независимо множество от вектори? Как можем да изобразим графично това пространство? Не съм отговорил още на никой от тях. Но ако някой те попита: "Кое е векторното пространство на матрицата А?" Това е векторното пространство на матрицата А. Сега можем да отговорим и на някои от другите въпроси. Ако това е линейно независимо множество от вектори, тогава тези вектори са базис за векторното пространство на А. Но още не знаем. Не знаем дали тези вектори са линейно независими. Можем да разберем дали са линейно независими вектори, като разгледаме нулевото пространство на матрицата А. Спомни си, че тези вектори са линейно независими, ако нулевото пространство на матрицата А съдържа само нулевия вектор. Да определим какво е нулевото пространство на матрицата А. Спомни си, че можем да използваме по-кратък път. Нулевото пространство на матрицата А е равно на нулевото пространство на ешелонната форма (по редове) на матрицата А. Показах ти това, когато за пръв път намирахме нулево пространство на вектор, защото, когато направиш тези... ако искаш да намериш нулевото пространство на матрицата А, правиш една разширена матрица. След това преобразуваш разширената матрица в ешелонна форма, но тези нули никога не се променят. Така че просто взимаш матрицата А и я преобразуваш в ешелонна форма. Да го направим. Ще запазя първия ред същия, 1, 1, 1, 1. Сега ще заместя втория ред с ред две минус ред едно. Какво ще получим? Всъщност искам да зануля това ето тук. Значи вторият ред минус два пъти първия ред. Всъщност има по-добър начин, защото евентуално искам тук да има 1. Затова ще направя 2 пъти първия ред минус втория ред. Значи два пъти първия ред, и от това изваждам втория ред. Значи става 2 по 1, минус 2, това е 0, което е точно това, което искахме ето тук. 2 по 1, минус 1, това е 1. Това е добре за ето тук. 2 по 1, минус 4, е равно на –2. 2 по 1, минус 3, е равно на –1. Да видим сега можем ли да нулираме този елемент. Какво мога да направя? Мога да направя всякаква комбинация, всичко, което да занули това тук. Но искам да минимизирам броя на отрицателните числа. Ще взема този трети ред, минус 3 по първия ред. Значи умножавам по –3 първия ред и ще събера резултата с третия ред. 3 минус 3 по 1 е равно на 0. Тук ще има куп тройки. 4 минус 3 по 1 е равно на 1. 1 минус 3 по 1 е равно на –2. 2 минус 3 по 1 е равно на –1. За да преобразуваме това в ешелонна форма трябва да изберем това тук и това тук. Какво можем да направим? Ще запазя средния ред непроменен. Средният ред не се променя. 0, 1, –2, –1. За да се отърва от това тук, мога просто да заместя първия ред с първия ред минус втория ред. Защото това тук не се променя. Ще получа 1 минус 0 е равно на 1. 1 минус 1 е 0. Това искахме. 1 минус –2 е 3. Това е 1 плюс 2. 1 минус –1, това е 1 плюс 1, което е равно на 2. Нали? Сега да се заемем с третия ред. Ще заместя третия ред с третия ред, изваден от първия ред. Тези очевидно са еднакви. Ако извадя третия ред от втория ред, просто ще получа куп нули. 0 минус 0 е 0. 1 минус 1 е 0. –2 минус –2 е 0. –1 минус –1, което е –1 плюс 1. Това е равно на 0. И така преобразувахме матрицата в ешелонна форма. Това е ешелонната форма на матрицата А. Беше лесно. Причината да направим това, е че искаме да намерим нулевото пространство на матрицата А. Вече знаем, че нулевото пространство на матрицата А е равно на нулевото пространство на ешелонната форма на матрицата А. Щом това е ешелонната форма на матрицата А, да намерим нейното нулево пространство. Нулевото пространство е множеството от всички вектори в R4, защото тук имаме 4 стълба. 1, 2, 3, 4. Нулевото пространство е множеството от всички вектори, които удовлетворяват това уравнение, където тук ще имаме три нули ето тук. Това е нулевият вектор в R3, защото имаме три стълба ето тук, и ти можеш да го намериш. Това по това е равно на 0. Скаларното произведение по това принципно ще бъде равно на тази 0. Скаларното произведение по това е равно на тази нула. Казвам принципно, защото не съм дефинирал скаларно произведение на вектор-ред по вектор-стълб. Дефинирал съм само скаларно произведение на вектор-стълб по вектор-стълб. Разглеждахме това в предишно видео, където можеш да кажеш, че това е транспонирана версия на вектор-стълб. Само да вземем това и да запишем система от уравнения с това. Получаваме 1 по х1. Това по това ще бъде равно на 0. Значи 1 по х1, това е х1. Плюс 0 по х2. Ще запиша това. Плюс 3 по х3. Плюс 2 по х4 е равно на тази 0. После – ще използвам жълто тук – имаме 0 по х1 плюс 1 по х2, минус 2 по х3, Минус х4 е равно на тази 0. Това не ми дава никаква информация. 0 по всичко това е равно на 0. Така че става 0 е равно на 0. Да видим можем ли да намерим нашите водещи елементи или водещи променливи. Кои са водещите елементи? Това е водещ елемент и това е водещ елемент. Ето за какво служи ешелонната форма, взимаме всички елементи, които са 1, като те са единствените ненулеви елементи в съответните стълбове. Всеки водещ елемент е надясно от водещия елемент над него. А стълбовете, в които няма водещи елементи? Тези стълбове представят свободни променливи. В този стълб няма водещ елемент. Когато намираме скаларното произведение, този стълб се превръща в този стълб на нашата система от уравнения. Така че знаем, че х3 е свободна променлива. Можем да я сложим равна на произволно число. По същия начин х4 е свободна променлива. х1 и х2 са водещи променливи, защото техните съответни стълбове в ешелонната форма на матрицата имат водещи елементи. Добре. Да видим дали можем да опростим това до познат вид. Виждали сме го вече. Ако намеря х1 – тази 0 мога да я игнорирам. Тази 0 мога да я игнорирам – мога да кажа, че х1 е равно на минус 3 по х3 минус 2 по х4. Просто изваждам тези двете от двете страни на уравнението и мога да кажа, че х2 е равно на 2 по х3 плюс х4. Ако искаме да запишем множеството от решения, ако искам да намеря нулевото пространство на матрицата А, което е същото като нулевото пространство на ешелонната форма на матрицата А, то е равно на всички вектори... ще използвам нов цвят, може би синьо. е равно на всички вектори х1, х2, х3, х4, които са равни на... На какво ще се равни те? х1 е равно на –3 по х3, минус 2 по х4. Само да поясня, това са свободни променливи, защото мога да ги приравня на всичко. А това са водещи елементи, защото не мога да ги сложа равни на всичко. Когато определям колко са х3 и х4, те ще определят колко ще бъдат х1 и х2. Тези са водещи променливи, а тези са свободни променливи. Мога да направя това пи. Мога да направя това –2. Може да са равни на всичко. Значи х1 е равно на... ще го запиша по следния начин – те са равни на х3 – ще използвам различен цвят – ще направя х3 ето така. Значи е равно на х3 по някакъв вектор плюс х4 по друг вектор. Всяко множество от решения в нулевото пространство е линейна комбинация на тези два вектора. Можем да намерим кои са тези два вектора само от тези две условия ето тук. Ще използвам неутрален цвят – х1 е равно на –3 по х3, минус 2 по х4. Много лесно. х2 е равно на 2 по х3, плюс х4. На колко е равно х3? х3 е равно на себе си. На каквото и да приравним х3, то ще бъде х3. Значи х3 ще е равно на 1 по х3, плюс 0 по х4. Няма да съдържа никакво х4. х3 е един вид свободна променлива. Можем да му зададем произволна стойност. Даваме тази стойност и после х3 ще е в множеството от решения. х4 не съдържа никакво х3 в себе си. Това ще е 1 по х4. Значи нулевото пространство по принцип ще е всички линейни комбинации на тези два вектора. Това може да е всяко реално число. Това е произволно реално число и х4 просто принадлежи на пространството на реалните числа. Всички тези, множеството от всички валидни решения на А по х е равно на 0 – къде го записах? Записах ли го изобщо? Никъде не съм го записал. Множеството на всички А по х е равно на 0, където това е моето х, равно е на всички линейни комбинации на този вектор и на този вектор ето тук. Знаем какво означава всички линейни комбинации. Това означава, че нулевото пространство е равно на линейната обвивка на тези два вектора: линейната обвивка на вектор [3; 2; 1; 0] и вектор [–2; 1; 0; 1]. Сега искам да задам един въпрос. Дали стълбовете в матрицата А са линейно независимо множество? Ако запишем тези вектори тук, те са вектор-стълбове на матрицата А. Ще го запиша. Дали вектор-стълбовете на матрицата А – какво са те? Да видим. [1, 3, 2]. Не, това е [1; 2, 3]. [1, 1, 4]. [1, 4, 1]. И [1, 3, 2]. Това са просто вектор-стълбовете на матрицата А. Мога да запиша просто, че матрицата А има точно толкова стълбове, но въпросът ми е дали това е линейно независимо множество. Тук веднага може би ще си помислиш, че когато казваме, че нещо е линейно независимо... линейната независимост предполага, че има само едно решение – видяхме това преди 2 урока, така че има само едно решение – едно решение на уравнението А по х е равно на 0. И това е нулевото решение, това че х е равно на нулевия вектор. Друг начин да формулираме това е, че нулевото пространство на матрицата А е равно само на нулевия вектор. Ето какво предполага линейната независимост. Това важи и в двете посоки. Ако нулевото пространство съдържа само нулевия вектор, тогава знам, че е линейно независимо. Ако нулевото пространство съдържа и други вектори, тогава няма линейна независимост. Какво включва нулевото пространство на матрицата А? Дали е само нулевият вектор? Не, то включва всяка линейна комбинация на тези вектори. То включва безкраен брой вектори, не само едно решение. Очевидно нулевият вектор принадлежи тук, ако умножим тези двата – ако изберем 0 за този и за този. Той се съдържа, но можем да получим цяло множество от вектори. И понеже нулевата линейна обвивка на матрицата А, нулевото пространство, извинявам се, нулевото пространство на матрицата А не съдържа само нулевия вектор. Тук има и други, освен нулевия вектор. Какво означава това? Това означава, че тук има повече от едно решение на това уравнение. Което означава, че това е линейно зависимо множество. А това какво означава? В самото начало на видеото казах какво е векторното пространство на матрицата А. Казахме, че векторното пространство на матрицата А е просто линейната обвивка на вектор-стълбовете. Просто го написах ето така. И аз казах, че не е ясно дали това е валиден базис на векторното пространство на матрицата А. А какво беше базис? Базисът е множеството от вектори, чиято линейна обвивка е едно подпространство, като тези вектори са линейно независими. А ние току-що показахме, че тези вектори не са линейно независими. Това означава, че това не е базис за векторното пространство на матрицата А. Тяхната линейна обвивка е векторното пространство на матрицата А по определение, но те не са базис. Те трябва да са линейно независими, за да бъдат базис. Да видим можем ли да установим какъв е базисът за това векторно пространство. За да направим това, трябва да се отървем от някои излишни вектори. Ако успея да ти покажа, че този вектор може да се представи като някаква комбинация на тези два вектора, тогава мога да се отърва от този вектор. Той не добавя никаква нова информация. Същото важи и за този. Да видим можем ли да наместим това парченце от пъзела. Вече знаем, че х1... ще го запиша по следния начин: х1 по... или може би да го оставя и да продължа в следващото видео. Но ние знаем, че х1 по [1; 2; 3] плюс х2 по [1; 1; 4], плюс х3 по [1; 4; 1], плюс х4 по [1; 3; 2], знаем, че това е равно на 0. Сега ако успеем да изразим х4 чрез... просто смятам, че мога да изразя векторите, които са свързани със свободните променливи, чрез другите вектори. Да видим мога ли да го направя. Ще видиш, че това е много лесно. Нека да намерим х4. Ако извадя това от двете страни на това уравнение, какво ще получа? Или да го изразя така: да сложим х3 = 0. Това е свободна променлива и мога да го направя. Ако сложа х3 = 0, тогава какво получавам тук? Ако х 3 е равно на 0, това тук изчезва. Ако извадя това от двете страни на уравнението, получавам х1 по [1; 2; 3] плюс х2 по [1; 1; 4] е равно на... просто поставям х3 е равно на 0. Това беше свободна променлива, затова слагам х3 е равно на 0. Цялото това нещо изчезва. Това е равно на минус х4 по [1; 3; 2]. Сега слагам х3 равно на 0. Ще сложа х4 да е равно на –1. Ако х4 е равно на –1, колко е минус х4? Това ще е просто равно на 1. Ще получа х1 по [1; 2; 3], плюс х2 по [1; 1; 4] е равно на този четвърти вектор ето тук. Винаги ли мога да намирам нещата по този начин? Да, реално мога да намирам конкретните вектори. Ако х3 е равно на 0, а х4 е –1... ще копирам и ще поставя това ето тук – само ще слеза малко надолу. Това получаваме, когато определяме нулевото пространство, ето тук. Ако сложа да е равно – спомни си, всички тези са свободни променливи – ако направя х3 да е равно на 0 и х4 да е равно на –1, колко е х1? Тогава това предполага, че х1 е равно на –3 по х3, което е просто 0, минус 2 по х4. Ако х4 е –1, тогава –2 по –1, х1 ще е равно на 2. А на колко ще е равно х2 тогава? х2 е равно на 2 по х3, което е 0, плюс х4. Значи е равно на –1. Току-що ти показах, че ако задам това да е 2 и това да е –1, тогава имам линейна комбинация от този вектор и този вектор, която мога да прибавя към този четвърти вектор, като можеш да провериш това. 2 по 1, минус 1, е равно на 1. 2 по 2, минус 1, е равно на 3. 2 по 3 е 6, минус 4 е равно на 2. Значи това е вярно. Просто показах, че като използваме нашите определения и разгледаме кои са свободните променливи и кои са водещите променливи, можахме да покажем, че е много лесно да се намери този третия и този четвърти вектор, изразени чрез първите два. Така че знаем, ако се върнем към това, че четвъртият вектор всъщност е излишен, реално не добавя нищо към линейната обвивка на множеството от вектори. Защото той може да бъде представен като комбинация от този вектор и този вектор. Сега да видим дали можем да направим същото за третия вектор Той също се определя от свободна променлива. Да видим дали можем да го представим като комбинация от първите два вектора. Ще направим същото нещо. Вместо да приемем, че х3 е равно на 0 и х4 е равно на –1, ще вземем х4 да е равно на 0, защото искам тези да се унищожат. Ще взема х3 да е равно на –1. Ако х3 е равно на –1, какво става с това уравнение? Получаваме х1 по [1; 2; 3] плюс х2 по [1; 1; 4] е равно на... ако това е –1 по [1; 4; 1], и после ако го прибавим към двете страни на това уравнение, ще получим 1 по [1; 4; 1]. И отново можем да намерим х1 и х2. Ако х4 е 0 и х3 е –1, тогава х1 х4 е 0. Значи х3 е просто –3, по х3, и тогава х1 ще е равно на 3, нали? Минус 3 по –1. На какво ще е равно х2? х4 е нула, можем да го игнорираме. х2 ще е равно на –2. Това ще е 3, и после това ще е –2. Да видим дали става. 3 по 1, минус 2, е 1. 3 по 2, минус 2, е 4. 3 по 3, минус 8, е 1. Потвърдихме го. Мога да запиша този вектор, който беше свързан със свободна променлива, като линейна комбинация на тези два вектора. Значи можем да се отървем от него в нашето множество. Така сега показах, че този вектор може да се представи като линейна комбинация на тези два вектора. Този вектор може да се представи като линейна комбинация на тези два вектора. Значи линейната обвивка на тези вектори ще е равна на линейната обвивка... ще го напиша по следния начин: Векторното пространство на матрицата А – мога да го препиша сега. Преди то беше линейната обвивка на тези вектори. Беше линейната обвивка на всички вектор-стълбове, на v1, v2, v3 и v4. Сега показах, че векторите v3 и v4 могат да се представят чрез векторите v1 и v2. Те са излишни. Това е равно на линейната обвивка на векторите v1и v2, които са ето тези два вектора. Вектор [1; 2; 3] и вектор [1; 1; 4]. Дали някой от тези вектори е излишен? Мога ли да изразя някой от тях като линейна комбинация на другия? Принципно, когато говоря за линейна комбинация на само един вектор, това означава произведението му със скалар. Да помислим върху това. Има няколко начина, по които мога да покажа това, но най-лесният начин е: за да отидем от този елемент до този елемент, просто умножавам по 1. Но ако умножа този целият вектор по 1, тогава тук ще получа 2, а тук ще получа 3. Това няма да свърши работа. Ако искам да представя този вектор като произведение на този вектор с число, всяко произведение на вектор [1; 2; 3] по число ще е равно на [1с; 2с; 3с]. Нали? Казваме, че този вектор трябва да бъде представен като нещо такова, ако кажем, че този вектор е нещо като число по... някак може да се представи чрез този вектор. Значи това трябва да е равно на [1; 1; 4]. Когато погледнеш този горния елемент, това предполага, че с трябва да е равно на 1. Но когато погледнеш втория елемент, изглежда, че с трябва да е равно на 1/2. Получава се противоречие. Ето тук с трябва да е равно на 4/3. Няма с, което да свърши работа. Няма мащабирана версия на с. Можеш да провериш това и в двете посоки. Няма начин да представиш някой от тези вектори като линейна комбинация на другия. Това може да се докаже и по други начини, по-формално, че тези вектори са линейно независими. Щом тези вектори са линейно независими... надявам се, че това те удовлетворява – тогава можем да кажем, че множеството от векторите [1; 2; 3] и [1; 1; 4] е базис на векторното пространство на матрицата А. Ще спра дотук с това видео, защото мисля, че надхвърлих времето. В следващите няколко урока, след като доказахме, че това е базис на векторното пространство на матрицата А, то ще опитаме да изобразим това графично. Защото можем да кажем, че векторната линейна обвивка на А е равна на линейната обвивка на тези два вектора. Можем да помислим за това кое е обвивката на тези два вектора. Ще видим, че това е равнина в R3. Обвивката на [1; 1; 4]. И само бързо да припомня нещо, което вече казвах няколко пъти. Когато казвам базис, просто казвам, че тези вектори имат линейна обвивка, която е векторното пространство на матрицата А. Когато имам четири вектора, те също имат линейна обвивка, която е векторното пространство на матрицата А. Но това, което ги прави базис, е това, че тези вектори са линейно независими. Няма излишна информация или излишни вектори, които могат да бъдат представени чрез други вектори от базиса. Те са линейно независими. Но спирам дотук засега.