If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:5:49

Видео транскрипция

Векторът е обект, който има едновременно дължина и посока. Нека помислим за пример за това какво не може и какво може да бъде вектор. Ако някой каже, че даден обект се движи с 5 километра в час, тази информация само по себе си не е векторна величина. Тя е дефинирана само като дължина. Не знаем посоката, в която това нещо се движи с 5 километра в час. Това, което често наричаме скорост на движение, не е вектор само по себе си. Нарича се скаларна величина. Ако искаме да бъде вектор, ще трябва също така да укажем и посоката. Например, някой може да каже, че се движи с 5 километра в част на изток. Нека кажем, че се движи с 5 километра в час в посока изток. Комбинацията 5 километра в час и посока изток вече е векторна величина. Вече няма да го наричаме скорост на движение. Ще го наричаме скорост на преместване. (Бел.: на англ. speed и velocity са различни термини, които се превеждат като скорост) Значи скоростта на преместване е вектор. Указваме големината, която е 5 километра в час, и посоката – изток. Но как можем да го визуализираме? Нека кажем, че работим в двумерното пространство. Удобното в линейната алгебра е, че каквото е приложимо за две измерения, лесно може да се обобщи и за три, а след това дори четири, пет, шест. Колкото измерения ние пожелаем. Нашите мозъци имат проблем да си представят повече от три измерения. Но удобството е, че можем математически да боравим с обекти в пространство с размерност над три, използвайки линейна алгебра. Ще видим това в следващи видеа. Но нека се върнем на традиционния двумерен вектор, който имаме тук. Един начин, по който можем да го изобразим, е като стрелка, която е дълга 5 единици. Ще предположим, че единиците тук са километри в час. Стрелката сочи надясно. Нека дясно да е посока изток. Например мога да започна със стрелка надясно тук и да я направя с дължина 5. Дължината на стрелката показва дължината на вектора. 1, 2, 3, 4, 5. Посоката на стрелката пък показва посоката на вектора. По този начин представяме графично този вектор. Нека хоризонталната ос е изток, или по-точно положителната посока е равносилна на движение в посока изток, то тогава това би било запад, това север, и това би било юг. Интересното за векторите е, че се интересуваме само от тяхната дължина и посока. Няма значение къде точно е началото им, къде точно ще ги сложим, когато ги разглеждаме графично. Например това би било съвсем същият вектор, или еквивалентен на този. Има същата дължина. Има същата дължина. Има дължина 5. Посоката му е изток. Значи тези два вектора са еквивалентни. Тук може да попиташ: "Има ли начин да представим един вектор по математически начин, за да не трябва да рисуваме стрелки всеки път?" Така ще можем да извършваме операции с векторите. Общоприетият начин, ако искаме да представим един вектор като променлива е да го означим с малка буква. Ако публикуваш статия или книга, можеш да ги удебелиш. Но когато го пишеш в тетрадка, е прието да се слага малка стрелка отгоре над буквата. Има няколко начина да го направиш. Можеш директно да кажеш: "Това е 5 километра в час в посока изток." Но не би било много лесно да се оперира с тази величина. Приетият начин, ако работиш в две измерения, е да укажеш две числа, които показват колко е изминал този вектор във всяко от измеренията. Например този се движи само по хоризонталната ос. Поставяме хоризонталното измерение първо. Така можем да представим този вектор като (5;0). Придвижва се с 5 положителни единици в хоризонталната посока и изобщо не се движи спрямо вертикалната ос. Начинът на записване може да се промени. Може също да видиш, и всъщност в контекста на линейната алгебра е по-типично да се записва като вектор стълб. Ето така – [5;0]. Тук отново първата координата представя колко сме се придвижили в хоризонтална посока. Втората координата показва колко сме се движили във вертикалната посока. Този вектор не е много интересен. Може да имаме други вектори. Можете да имаме вектор, който изглежда така. Да кажем, че се движи 3 единици в хоризонталната посока и 4 във вертикалната посока. 1, 2, 3, 4 във вертикалната посока. Ще изглежда горе-долу така. Това тук може да е друг вектор. Нека кръстим този вектор a. Още веднъж искам да поясня, че това е вектор. Виждаш, че ако искаме да го разделим в хоризонтална и вертикална посока, виждаме, че изминава 3 единици в хоризонталната посока и се издига с 4 единици във вертикалната посока. Получаваме това като буквално определяме колко сме се движили нагоре и колко сме се движили надясно, като започваме от края на стрелката и се движим се към предната ѝ част. Този вектор можем да запишем като [3;4]. Можем да използваме питагоровата теорема, за да определим дължината на този вектор. Виждаме, че този триъгълник има дължини на страните 3, 4 и 5. Векторът има дължина 5. Учейки повече и повече линейна алгебра, ние ще започнем да обобщаваме това за повече измерения. Естествено, можем да визуализираме нещата само до третото измерение. По-нататък става по-абстрактно. И точно затова този начин на записване е доста полезен. Много трудно е да начертаем 4, 5 или 20-мерна стрелка, както нарисувахме тази.
Кан Академия – на български благодарение на сдружение "Образование без раници".