Производна на logₐx (за произволна основа a≠1)

Знаем от предни уроци, че производната спрямо x на натурален логаритъм от x е равна на 1 върху x. В настоящия урок искам да използвам тези знания, които сме виждали в други уроци, за да намеря на какво е равна производната спрямо x на логаритъм с произволна основа. Просто ще нарека тази функция логаритъм от x с основа a. И как ще решим тази задача? Ключовото нещо тук, е, че това, което може би ти е познато от часовете по алгебра или подготвителния курс по анализ, е смяната на основата. Дадена е някаква функция. Ще я направя ето тук. Логаритъм от b с основа a. Ако искам да променя основата a на друга основа, нека да кажем, че искам да е основа c, то това е равно на логаритъм от b с основа c, разделен на логаритъм от a с основа c. Логаритъм от b с основа c, разделен на логаритъм от a с основа c. Това равенство е наистина много полезно. Ако не ти е познато от преди, то току-що се запозна с него. Тоест с промяната на основите. А доказателството ще направим в други уроци. Наистина обаче е полезно, защото например твоят калкулатор има бутон за логаритъм. Логаритъмът на твоя калкулатор е логаритъм с основа 10. Следователно ако натиснеш 100 на своя калкулатор, и избереш логаритъм, то ще получиш резултат 2. Когато и да видиш логаритъм от 100, с избрана основа 10, разполагаш и с бутон за натурален логаритъм, който е равен на логаритъм с основа числото e. Натурален логаритъм от x е равен на логаритъм от x с основа e. Понякога обаче искаш да откриеш всички видове логаритми с различни основи и това е начинът, по който ще го направиш. Ако използваш калкулатор и искаш да намериш на какво е равен логаритъм от 8 с основа 3, би казал, че ще зададеш в калкулатора си десетични логаритми от 8 и от 3. Нека да го запиша по следния начин. И логаритъм от 3, където и двата имат избрана основа 10. И ще получиш същата стойност, ако зададеш натурален логаритъм от 8, разделен на натурален логаритъм от 3. Може да ги имаш на калкулатора си. И това, което ще направим в настоящия урок, е да използваме натуралния логаритъм, защото знаем на колко е равна производната от натурален логаритъм. Тази производна е равна на същото като производната спрямо x на... Е, логаритъм от x с основа а може да се запише като натурален логаритъм от x върху натурален логаритъм от а. А сега натурален логаритъм от а е просто число. Този израз мога да го запиша по следния начин. 1 върху натурален логаритъм от а, умножен по натурален логаритъм от x. И на какво е равна производната на този израз? Може да отстраним константата. 1 върху натурален логаритъм от а, това е просто число. Тоест ще получим 1 върху натурален логаритъм от а умножен по производната спрямо x на натурален логаритъм от x. На натурален логаритъм от x. Вече знаем, че това е равно на 1 върху x. Следователно ето това нещо тук е равно на 1 върху x. Това, което ще получим е 1 върху натурален логаритъм от а, умножено по 1 върху x. Резултата може да запишем и като 1 върху натурален логаритъм от а, умножено по x. Последното е наистина полезно да се знае. Сега можем да намираме всички видове производни. Ако ти кажа, че f(x) е равно на логаритъм от x с основа 7, бихме могли да кажем, че f'(x) ще бъде равно на 1 върху натурален логаритъм от 7, умножено по x. Ако имахме изнесена константа отпред, като например функцията g(x), която е равна на –3 по логаритъм от x с основа π (числото "пи"). π е число. Логаритъм от x с основа π. Тогава g'(x) ще бъде равно на 1 върху... Нека да бъда внимателен, имам тази константа тук. Производната ще бъде равна на –3, просто е ето това –3, върху натурален логаритъм от числото π. Тоест натурален логаритъм от това число. Умножено по x. Надявам се, че тези примери показват как се прави.