Запознаване с непрекъснатост на функция

В това видео искам да поговорим за непрекъснатостта. Непрекъснатостта на една функция е нещо, което е доста лесно да бъде разпознато, когато я видиш. Но ще говорим също и за това как можем да я определим още по-строго. Тъй като говорим, че е лесно да бъде разпозната, нека начертая тук няколко функции. Нека кажем, че това е оста у, това е оста х. Ако трябваше да начертая дадена функция, да кажем f от x, която изглежда по този начин. Изглежда по този начин. Бих казал, че в рамките на интервала, който начертах, така че да изглежда от х равно на 0, до може би тази точка там, непрекъсната ли е тази функция? Бих казал, не, не е непрекъсната. Тук виждаме, че функцията просто отскача изведнъж от тази точка до тази точка ето тук. Това не е непрекъснато. Може дори да кажеш, че имаме прекъснатост в тази стойност на х ето тук. Ще наречем това прекъснатост. Всъщност този тип прекъсване се нарича прекъсване със скок или прекъсване от първи род. се нарича прекъсване със скок или прекъсване от първи род. Можеш да кажеш, че функцията не е непрекъсната. Очевидно е, че тези две неща не се свързват. Те не се допират едно с друго. Подобно ако разгледаме функция, която изглежда по този начин -- ще начертая друга функция -- у и х. Нека кажем, че функцията изглежда по подобен начин. Може би тук изглежда ето така и след това функцията е определена в тази точка там. Непрекъсната ли е функцията в рамките на интервала, който описах тук? Може веднага да кажеш, че не е. Защото тук в тази точка функцията отива нагоре в тази точка по този начин. Като този вид прекъснатост -- това е прекъснатост на функцията -- се нарича функция с отстранима точка на прекъсване. Отстранима точка на прекъсване. Някой може да извади основателен аргумент, че това също изглежда като скок, но това обикновено се категоризара като функция с отстранима точка на прекъсване. Защото ако просто определиш наново функцията, така че да не е тук горе, а да е ето тук, функцията ще бъде непрекъсната. Следователно можеш в известен смисъл да премахнеш прекъсването. И накрая, ако начертая друга функция -- нека начертая още една ето тук -- х, у. Ако те попитам, тази функция непрекъсната ли е в рамките на интервала, който определихме? Би могъл да кажеш: "Да тя изглежда изцяло свързана. Няма никакви скокове тук. Тук няма и отстранима точка на прекъсване. Тази функция изглежда непрекъсната." Като ще бъдеш прав. Това е общото виждане за непрекъснатост. Като ти в известен смисъл го забелязваш, когато го видиш. Но нека помислим за по-строго определение от това. Тъй като вече имаме строго определение за границите, епсилон-делта дефиницията ни дава строго определение за граници. Това е определение за граници. Следователно можем да докажем, кога съществува дадена граница и каква е стойността на тази граница. Нека използваме това, за да създадем строга дефиниция за непрекъснатостта. Нека разгледаме дадена функция в рамките на някакъв вид интервал. Нека кажем, че имаме -- ще начертая друга функция. Нека начертаем няколко видове функции. След това ще видим, дали нашата по-строга дефиниция за непрекъснатост оправдава очакванията ни, когато разгледаме всички тези неща тук. Нека начертая един интервал тук. Той е между тази стойност на х и тази стойност на х. Това е оста х, това е оста у. Нека начертая функцията в рамките на този интервал. В рамките на този интервал функцията изглежда по този начин. Казваме, че функцията е непрекъсната във всяка една вътрешна точка. Вътрешна точка е тази, която не е в края на границата. Така че това е вътрешна точка за моя интервал. Това ще бъде крайна точка и това също ще бъде крайна точка. Ще кажем, че функцията е непрекъсната във дадена вътрешна точка. Непрекъсната във вътрешна точка, такава намираща се в интервала, означава, че границата да кажем във дадена вътрешна точка с, това е точката х е равно на с. Можем да кажем, че тя е непрекъсната във вътрешната точка с, ако границата на функцията -- това тук е функцията -- ако границата на функцията когато х клони към с е равна на стойността на функцията. Има ли смисъл в това? Това, което казваме, е че тази точка, това там е f от c. Границата когато функцията клони към това, е същото като стойността на функцията. В което има доста голям смисъл. Нека сега помислим върху това. Дали тези функции по някакъв начин ще могат да минат за непрекъснати в този контекст. Тук нека кажем, че това е точката с. f от c е точно ето там. Това е f от c. Дали това е случаят, при който границата на f от х, когато х клони към с, е равна на f от c? Ако вземем границата на f от х, когато х клони към с от положителната посока, изглежда че тя е f от с. Изглежда, че е равна на f от с. Но ако вземем границата -- но това не е равно на границата на f от х -- когато х клони към с от отрицателната посока, или отляво. Ако отидем в отрицателната посока, не клоним към f от с. Следователно това не е вярно. За да бъде границата равна на f от с, границите от двете страни трябва да са равни. Като в случая това не е така. Следователно това не отговаря на очакванията на официалното определение. Което е добре, защото виждаме, че тази функция не е непрекъсната. Какво ще кажем за тази тук? Нека я направя отново. Искам да се уверя, че това там изглежда като празно кръгче. Каква виждаме, че е границата тук? Границата -- това е с, ето тук -- границата на f от x, когато х клони към с, нека кажем, че е равна на L. Виждали сме много граници като тази преди, това там е L. Като е доста ясно, само гледайки, че L не е равно на f от c. Това тук е f от c. Още веднъж, това не минава нашия тест. Границата на f от х, когато х клони към с, което е ето това тук, не е равна на f от c. Още веднъж, това няма да мине теста. А тук всяка от вътрешните за интервала точки ще мине тази проверка. Границата, когато х клони към тази стойност, е равна на функцията, изчислена в тази точка. Изглежда, че това отговаря за всички тези точки. Нека сега дадем едно определение за случая, когато говорим за крайни точки. Това е непрекъснатост за всяка вътрешна точка. Но нека помислим за непрекъснатост при границата -- или нека я нарека всъщност крайна точка, би било по-добре -- в крайна точка с. Нека първо разгледаме само лявата крайна точка. Ако лявата крайна точка -- какво имам предвид с лява крайна точка? Нека начертая осите, оста х, оста у. Нека начертая и интервала. Нека кажем, че това е лявата крайна точка на интервала, това е дясната крайна точка на интервала. И нека начертая една функция в рамките на този интервал. Тя ще изглежда по подобен начин. Когато говорим за лява крайна точка, казваме, че с се намира ето тук. Това е лявата крайна точка. Ако говорим за лява крайна точка, непрекъсната функция в с означава -- или ако кажем, че имаме непрекъснатост в тази лява крайна точка с -- това означава, че границата на f от х, когато х клони към c, като дори не можем да клоним към лявата страна. Трябва да клоним надясно. Е равна на f от c. Това е всъщност един вид, можем да клоним към нещо само от едната страна. Не можем просто да определим общо границата, но можем да кажем, че границата е от едната страна. Така че това е много подобно на това, което току-що казахме за дадена вътрешна точка. Като тук виждаме, че това наистина е така, когато х клони към с, функцията клони към тази точка тук. Което е точно същото като f от c. Така че имаме непрекъснатост в тази точка. Какъв ще е примерът, когато дадена крайна точка -- ако няма непрекъснатост в крайната точка? Мога да си представя графика, която изгледа по подобен начин. Тук е интервалът, а може би функцията... В точка с тя изглежда по този начин. Има малка дупка там. След това тя ще изглежда по подобен начин. Или няма да има празна дупка, функцията просто има отстранима точка на прекъсване ето там. Поне визуално, тя изглежда по този начин. Като виждаш, че това няма да мине теста. Защото границата, когато клоним към с от положителната посока или отдясно е точно ето тук. Това е границата. Но f от c е тук горе. Следователно f от c не е равно на границата когато х клони към с от положителната посока. Така че това няма да е непрекъснато. Като можеш да си представиш, какво ще направим, ако имаме дясна крайна точка? Казваме, че имаме непрекъснатост в дясната крайна точка с ако -- нека го начертая, ще направя най-добрия си опит да го начертая -- това е оста х, това е оста у. Нека начертая интервала, който ме интересува, да кажем, че изглежда така. Дясна крайна точка означава, че с се намира ето там. Като можем да кажем, че имаме непрекъснатост при х, функцията е непрекъсната при х равно на с означава, че границата на f от х, когато х клони към с -- сега не може функцията да клони към двете страни. Тя може да клони от лявата страна. Когато х клони към с от отрицателната страна, е равна на f от c. Ако кажем това, ако това е вярно, тогава това означава, че имаме непрекъснатост в тази дясна крайна точка с и обратното. Каква ще е ситуация, при която това не е така? Можеш да си представиш, че вместо това да е определено отдясно в тази точка, можеш да създадеш, можеш да кажеш, че функцията отскача нагоре. Точно както го направихме ето там. Още веднъж, непрекъснатостта не е наистина трудна за проумяване идея. Когато видиш, че функцията изведнъж отскача или че има някаква дупка в нея, това е доста добро предположение, че там функцията не е непрекъсната. Тя не е непрекъсната. Но това, което направихме във видеото, е че използвахме границите, за да определим още по-строга дефиниция за непрекъснатост.