Въведение в експоненциално намаляване

В това видео ще направим бърз преглед на експоненциалния растеж и след това ще стъпим на него, за да се запознаем с експоненциалното намаляване. Нека разгледаме експоненциалния растеж. Да кажем, че имаме нещо, което... но първо ще направя една таблица тук. Само ще го направя по-право. Нека това е х, а това е у. Сега нека кажем, че когато х е 0, у е равно на 3. И всеки път, когато увеличаваме х с 1, удвояваме у. Следователно у ще стане от 3 на 6. Ако х се увеличи отново с 1, тоест отиваме на 2, отново ще удвоим у. 6 по 2 е 12. Това тук е експоненциален растеж. Можеш да го изчислиш дори за отрицателни стойности на х. Когато х е минус 1, ако слезем с едно надолу при х, ще разделим на 2. Така че това ще бъде 3/2. И забележи, че ако отидеш от минус 1 до 0, още веднъж продължаваш да умножаваш по 2 и това ще продължава да е така. Можеш да опишеш това с уравнение. Може да запишеш, че у е равно на... ...някои хора могат да го нарекат пресечна точка с у или първоначална стойност... у = 3. Какво се случва, когато х = 0, y е равно на 3 по основата на функцията, като основата е това, по което умножаваме всеки път, когато увеличаваме х с 1. 3 по основата 2 на степен х. Като можеш да го провериш. Избери кое да е от тези. Когато х е равно на 2, ще имаме 3 по 2 на квадрат, което е 3 по 4, което наистина е равно на 12. Можем да го видим и на графика. Нека начертая бързо една графика ето тук. Трудно ми е да чертая права линия. Добре, ето. Можем да използваме малко по-различна скала за осите х и у. Това е оста х, това е оста у. Отиваме от минус 1 до 1, до 2. Отиваме нагоре чак до 12. Да видим, това е 3, 6, 9 и нека кажем, че това е 12. Можем просто да нанесем тези точки тук. Когато х е минус 1, у е 3/2. Когато х е 0, у е 3. Когато х е равно на 1, у се удвоява. Сега се намира при 6. Когато х е равно на 2, у е 12. И ти ще видиш тази извита крива. Има няколко ключови характеристики, като вече говорихме за някои от тях, но ако увеличаваш отрицателните стойности на х, ще се приближаваш към оста х. Никога няма да стигнеш до нула, тъй като ще получаваш все по-отрицателни и по-отрицателни стойности, но определено ще клониш. И колкото по-положителни и по-положителни стойности получаваш, се получава нещо като издигаща се към небето ракета. Винаги сме говорили в предишни клипове за това, как това ще надмине всяка една линейна функция или всяка линейна графика в даден момент. Сега нека сравним това с експоненциално намаляване. Експоненциално намаляване. Един лесен начин да го разглеждаме, е че вместо растеж всеки път, когато увеличаваш х, ще трябва да свиваш с определена величина. Ще трябва да намалиш. Нека тук направим друга таблица с х и у стойности. Това беше наистина много... предполага се, че когато натисна бутона "shift", би трябвало да начертае права линия, но компютърът ми, ядох до компютъра ми... Може би има трохи в клавиатурата или нещо такова. (смях) Добре. Ето. Имаме х и имаме у. Нека започнем от същото място. Когато х е 0, у е 3. Но вместо да удвояваме всеки път, когато увеличаваме х с 1, нека го намаляваме наполовина всеки път, когато увеличаваме х с 1. Когато х е равно на 1, ще умножим по 1/2 и ще получим 3/2. След това, когато х е равно на 2, ще умножим отново по 1/2 и ще получим 3/4, и така нататък, и така нататък. Ако трябва да отидем до отрицателните стойности, когато х е равно на минус 1, ако се връщаме с 1 при х, ще разделим на 1/2, като по този начин ще получим 6. Или отивайки от минус 1 до 0, когато увеличаваме х с 1, още веднъж ще умножим, умножаваме по 1/2. И така, как ще напишем това като уравнение? Препоръчвам ти да спреш видеото на пауза и да видиш дали можеш да го напишеш по подобен начин. Добре, то ще изглежда по следния начин. Ще бъде у е равно на... тук имаш пресечната точка с оста у, стойността на у, когато х е равно на 0, така че имаме 3 по... каква е основата на функцията сега? Всеки път, когато увеличаваме х с 1, умножаваме по 1/2, и повдигаме това на степен х. И забележи, че тези двете са експоненциални. Имаме някаква пресечна точка с у или начална стойност, която е умножена по някаква основа на степен х. Това всъщност се оказва, че е общоприета идея, когато увеличаваш основата, абсолютната стойност на основата е по-голяма от 1. Нека го запиша. Абсолютната стойност на 2 в този случай е по-голяма от 1. Но когато свиваш, абсолютната стойност на основата е по-малка от 1. И в това има смисъл, защото ако имаш нещо, чиято абсолютната стойност е по-малка от 1, като 1/2 или 3/4, или 0,9, всеки път когато умножаваш, ще получаваш все по-ниска и по-ниска, и по-ниска стойност. Като всъщност можеш да видиш това на графика. Нека тук представим графично същата информация. Нека го направя с различен цвят. Ще го направя със синьо. Когато х е равно на минус 1, у е равно на 6. Когато х е равно на 0, у е равно на 3. Когато х е равно на 1, у е равно на 3/2. Когато х е равно на 2, у е равно на 3/4. И така нататък, и така нататък. И забележи, че тъй като основите са реципрочни една на друга, тези две графики приличат на обърнати, изглежда, че са обърнати вертикално, или отразени през оста у. Те са симетрични спрямо оста у. И това, което ще видиш при експоненциално намаляване, е, че нещата ще стават все по-малки и по-малки, и по-малки, но никога няма да стигнат точно до нулата. Те ще клонят към 0. Ще клонят към оста х, когато х става още по-положителна и по-положителна. Просто както при експоненциалния растеж, ако х става все по-отрицателна и по-отрицателна, се приближаваме към оста х. И така, това е въведението. Използвах много специфичен пример, но като цяло ако имаш уравнение от вида у е равно на А по някаква основа на степен х, можем да го напишем по този начин, само за да го направим малко по-ясно. Има множество различни начини, по които можем да го напишем. Имаме експоненциален растеж, ако абсолютната стойност на r е по-голяма от 1, тогава имаме растеж, защото всеки път, когато увеличаваш х, ще умножаваш с повече и повече r – това е единият начин да го разглеждаш. А ако абсолютната стойност на r е по-малка от 1, имаш намаляване. Свиваш, когато х се увеличава. Ще те оставя да помислиш, какво се случва, когато r е равно на 1? С какво си имаме работа в тази ситуация? Това е малко сложен въпрос, защото е всъщност доста... о, просто ще ти кажа. Ако r е равно на 1, тогава това нещо тук винаги е равно на 1 и получаваш просто параметрично уравнение. у е равно на А, така че това е просто хоризонтална права.