Тригонометрична текстова задача: изразяване на годишната температура

Най-горещият ден в годината в Сантяго, Чили, е 7 януари, когато средната висока температура е 29 градуса по Целзий. Най-хладният ден в годината е със средна висока температура 14 градуса по Целзий. Използвай тригонометрична функция, за да определиш температурата в Сантяго, Чили, при година с продължителност от 365 дни. Помни, че 7 януари в Сантяго се пада през лятото. Колко дни след 7 януари е първият пролетен ден, когато температурата достига 20 градуса по Целзий? Ще решим задачата на два етапа. Първо, нека се опитаме да открием тригонометрична функция, с която да представим температурата в Сантяго, Чили. Ще представим температурата като функция от дни, при която взимаме броя на дните след 7 януари. След като имаме тригонометричната функция, можем да отговорим на втората, съществената, мисля, част от въпроса: "Колко дни след 7 януари е първият пролетен ден, когато температурата достига 20 градуса по Целзий?" За тази цел нека да начертаем функцията и би трябвало да стане пределно ясно защо ни предлагат да използваме за модел тригонометрична функция. Защото нашите сезонни изменения са циклични. Те се движат нагоре и надолу. Всъщност, ако разгледаш средната температура на който и да е град в течение на годината, тя наистина прилича на тригонометрична функция. Тази ос тук - това са изминаващите дни. Нека да я обозначим с d - това ще бъдат дните след 7 януари. Следователно това ще бъде 7 януари. А вертикалната ос... Това е хоризонталната ос. Вертикалната ос ще показва градусите по Целзий. Най-горе е 29 - ще напиша 29 градуса по Целзий - най-високата дневна температура. Ако това е 0, тогава това е 14 - най-ниската дневна температура. 14 градуса по Целзий. Температурата ще варира между тези две крайни стойности. Денят с най-висока средна температура, както вече знаем, е 7 януари, когато имаме 29 градуса по Целзий. А в средно най-студения ден от годината имаме средна температура от 14 градуса по Целзий. Следователно изглежда ето така. Говорим за средни най-високи стойности за даден ден, а причината тригонометричната функция да е добра идея е, че имаме цикличност. Ако това е 7 януари и отидем 365 дни напред във времето, отново стигаме до 7 януари. Ако средната най-висока температура е 29 градуса в този ден, средната най-висока температура ще бъде 29 градуса по Целзий и в този ден. Тъй като използваме тригонометрична функция, ще достигнем най-ниската точка точно по средата между двете. Ще достигнем най-ниската точка точно по средата между двете. Нещо ето такова. Следователно функцията ще изглежда така. Нашата функция... Да видим. Ще отбележа ниската точка ето тук, а това е най-високата точка. Това тук е най-високата точка. Изглежда доста добре. След това имам най-високата точка ето тук и после само трябва да ги свържа и готово. Начертах един период от нашата тригонометрична функция и този период е 365 дни. След 365 дни отново се връщаме в същата точка от цикъла, в същия момент от годината. В същия момент от годината сме. Това, което искам да направиш сега, предвид тази графика, е да се опиташ да напишеш правилния модел. Това тук - нека да го запишем като функция T (d). Опитай се да измислиш израз за функцията T(d), като помниш, че това е някаква тригонометрична функция. Приемаме, че опитваш и вероятно се чудиш: "Изглежда като крива на косинус, може да е и крива на синус - кое от двете да използвам?" Всъщност можеш да използваш и двете, но аз винаги предпочитам да използвам по-опростеното. Помисли, ако това бяха ъгли, независимо дали в градуси или радиани, коя функция започва от нашата точка максимум? Косинус от 0 е равно на 1. Косинус започва от нашата точка максимум. Синус от 0 е 0, следователно, ще използваме косинус. Ще използваме функцията косинус. Температурата като функция на дните... Ще имаме някаква амплитуда по нашата косинус функция и някакъв аргумент за функцията тук, а след това вероятно ще трябва да изместим графиката. Да помислим как да го направим. Коя е средната линия тук? Средната линия минава по средата между най-високата и най-ниската точка. Нашата средна точка, ако трябва да я визуализираме, изглежда така. Това тук е нашата средна линия. Каква е тази стойност? Колко е средата между 29 и 14? 29 плюс 14 е равно на 43, делено на 2, е равно на 21,5 градуса по Целзий. Следователно това е нашата средна линия, т.е. изместихме функцията с тази стойност. Ако имахме нормална косинус функция, стойността за нашата средна линия щеше да е 0, но сега тя е 21,5 градуса по Целзий. Ще запиша 21,5, което показва с колко сме я изместили нагоре. А каква е амплитудата? Амплитудата показва отклонението от средната линия. Тук имаме 7,5 над средната линия, значи отклонението е 7,5. Тук имаме 7,5 под средната линия, значи -7,5. Следователно амплитудата е 7,5 - максималното отклонение от средната линия е 7,5. Това е нашата амплитуда. Нека сега да помислим какъв е аргументът на косинус функцията тук. Става дума за функция от дните. А какво търсим? След като изминат 365 дни, искаме целият аргумент да бъде 2π. Следователно, когато d е равно на 365, искаме това цялото да е 2π. Тук можем да запишем 2π върху 365. Ти може би си спомняш формулите, аз винаги ги забравям, затова винаги се опитвам да ги изведа отново. Формулите... Искаме да е 2π, делено на периода, и всичко останало, но си мисля: "Добре, де, след като изтече един период от 365 дни, искам целият аргумент тук да бъде 2π. Искам да извърша една обиколка на единичната окръжност, така че, ако това е 2π върху 365, когато умножим по 365, аргументът тук ще стане 2π." Така решихме първата част от задачата. Представихме модела на средната температура в Сантяго като функция от дните след 7 януари. В следващото видео ще решим втората част от задачата. Съветвам те да я решиш преди да изгледаш следващото видео и ще ти дам един жокер. Обърни специално внимание на факта, че е казано "първият пролетен ден".