Преглед на интервали на нарастване и намаляване на функция

Интервалите, в които една функция нараства (или намалява) съответстват на интервалите, в които нейната производна е положителна (или отрицателна).

Затова ако искаме да намерим интервалите, в които функцията нараства или намалява, трябва да намерим нейната производна и да я анализираме, за да определим къде е положителна или отрицателна (което се прави по-лесно!).

Нека намерим интервалите, където $f(x)=x^3+3x^2-9x+7$‍ е растяща или намаляваща. Първо диференцираме $f$‍:

$f^{\prime }(x)=3x^2+6x-9$‍

Сега трябва да намерим интервалите, в които $f^{\prime }$‍ е положителна или отрицателна.

Производната $f^{\prime }$‍ пресича оста $x$‍ при $x=-3$‍ и $x=1$‍, така че нейният знак трябва да е постоянен в следните интервали:

Нека пресметнем $f^{\prime }$‍ за всеки интервал, за да видим дали е положителна или отрицателна в този интервал.

Следователно функцията $f$‍ нараства, когато $x<-3$‍ или когато $x>1$‍, и намалява когато $-3<x<1$‍.

Да определим интервалите, в които функцията $f(x)=x^6-3x^5$‍ нараства или намалява. Първо диференцираме функцията $f$‍:

$f^{\prime }(x)=6x^5-15x^4$‍

Сега трябва да намерим интервалите, в които $f^{\prime }$‍ е положителна или отрицателна.

Производната $f^{\prime }$‍ пресича оста $x$‍, когато $x=0$‍ и $x={\displaystyle \frac{5}{2}}$‍, така че нейният знак трябва да не се променя в следния интервал:

Нека пресметнем $f^{\prime }$‍ за всеки интервал, за да видим дали е положителна или отрицателна в този интервал.

Тъй като функцията $f$‍ намалява преди $x=0$‍ и след $x=0$‍, тя също така намалява и за $x=0$‍.

Следователно функцията $f$‍ намалява, когато $x<{\displaystyle \frac{5}{2}}$‍, и нараства, когато $x>{\displaystyle \frac{5}{2}}$‍.