If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

12. клас (България) Профилирана подготовка Модул 3 Практическа математика

Преглед на интервали на нарастване и намаляване на функция

Прегледай как използваме диференциално смятане, за да намерим интервалите, в които една функция нараства или намалява.

Как да намирам интервали на нарастване и намаляване на функция с диференциално смятане?

Интервалите, в които една функция нараства (или намалява) съответстват на интервалите, в които нейната производна е положителна (или отрицателна).
Затова ако искаме да намерим интервалите, в които функцията нараства или намалява, трябва да намерим нейната производна и да я анализираме, за да определим къде е положителна или отрицателна (което се прави по-лесно!).
Искаш ли да научиш повече за интервалите на монотонност? Разгледай това видео.

Пример 1

Нека намерим интервалите, където f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 3, x, squared, minus, 9, x, plus, 7 е растяща или намаляваща. Първо диференцираме f:
f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, squared, plus, 6, x, minus, 9
Сега трябва да намерим интервалите, в които f, prime е положителна или отрицателна.
f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis
Производната f, prime пресича оста x при x, equals, minus, 3 и x, equals, 1, така че нейният знак трябва да е постоянен в следните интервали:
Нека пресметнем f, prime за всеки интервал, за да видим дали е положителна или отрицателна в този интервал.
ИнтервалСтойност на xf, prime, left parenthesis, x, right parenthesisЗаключение
x, is less than, minus, 3x, equals, minus, 4f, prime, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis, equals, 15, is greater than, 0f е растяща. \nearrow
minus, 3, is less than, x, is less than, 1x, equals, 0f, prime, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, minus, 9, is less than, 0f е намаляваща. \searrow
x, is greater than, 1x, equals, 2f, prime, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 15, is greater than, 0f е растяща. \nearrow
Следователно функцията f нараства, когато x, is less than, minus, 3 или когато x, is greater than, 1, и намалява когато minus, 3, is less than, x, is less than, 1.

Пример 2

Да определим интервалите, в които функцията f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, start superscript, 6, end superscript, minus, 3, x, start superscript, 5, end superscript нараства или намалява. Първо диференцираме функцията f:
f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, x, start superscript, 5, end superscript, minus, 15, x, start superscript, 4, end superscript
Сега трябва да намерим интервалите, в които f, prime е положителна или отрицателна.
f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, start superscript, 4, end superscript, left parenthesis, 2, x, minus, 5, right parenthesis
Производната f, prime пресича оста x, когато x, equals, 0 и x, equals, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction, така че нейният знак трябва да не се променя в следния интервал:
Нека пресметнем f, prime за всеки интервал, за да видим дали е положителна или отрицателна в този интервал.
ИнтервалСтойност на xf, prime, left parenthesis, x, right parenthesisОценка
x, is less than, 0x, equals, minus, 1f, prime, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, minus, 21, is less than, 0f намалява. \searrow
0, is less than, x, is less than, start fraction, 5, divided by, 2, end fractionx, equals, 1f, prime, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, minus, 9, is less than, 0f намалява. \searrow
start fraction, 5, divided by, 2, end fraction, is less than, xx, equals, 3f, prime, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 243, is greater than, 0f нараства. \nearrow
Тъй като функцията f намалява преди x, equals, 0 и след x, equals, 0, тя също така намалява и за x, equals, 0.
Следователно функцията f намалява, когато x, is less than, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction, и нараства, когато x, is greater than, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction.

Провери знанията си

Задача 1
  • Електричен ток
h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, x, cubed, plus, 3, x, squared, plus, 9
В кои интервали h е намаляваща?
Избери един отговор:

Искаш ли да решиш още такива задачи? Разгледай това упражнение.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.