Основно съдържание

7. клас (България)

Курс: 7. клас (България) > Раздел 3

Урок 1: Разлагане многочлени на множители чрез изнасяне на общ множител

Въведение към делители и делимост

Научи какво означава това полиноми да бъдат делители на други полиноми или да бъдат делими на тях.

Какво трябва да знаеш за този урок

Едночлен или едночлен е израз, който е произведение на някаква константа и

x

на степен цяло неотрицателно число, като

3 x^{2}

. Многочлен или полином е израз, който представлява сума от едночлени като

3 x^{2} + 6 x - 1

Какво ще научиш в този урок

В този урок ще изследваме връзката между делители и делимост на многочлените и ще научим също как да определим дали един многочлен е делител на друг.

Делители и делимост на цели числа

Най-общо казано, две цели числа, чието произведение дава трето число, са делители на това получено трето число.

Например, тъй като $14 = 2 \cdot 7$ ‍, то $2$ ‍ и $7$ ‍ са делители на $14$ ‍.

Едно число е кратно на друго число, ако резултатът от делението е цяло число.

Например, тъй като $\frac{15}{3} = 5$ ‍ и $\frac{15}{5} = 3$ ‍, то $15$ ‍ е кратно на $3$ ‍ и на $5$ ‍. Но тъй като $\frac{9}{4} = 2, 25$ ‍, то $9$ ‍ не е кратно на $4$ ‍.

Обърни внимание на взаимните връзки между делители и делимост:

Тъй като

14 = 2 \cdot 7

(което означава, че

2

е делител на

14

), то

\frac{14}{2} = 7

(което означава, че

14

е кратно на

2

Обратно, тъй като

\frac{15}{3} = 5

(което означава, че

15

е кратно на

3

), то знаем, че

15 = 3 \cdot 5

(което означава, че

3

е делител на

15

Това е вярно и в общия случай: Ако

a

е делител на

b

, тогава

b

е кратно на

a

и обратно.

Делители и делимост на многочлени

Това познание може да се приложи и към многочлените.

При умножението на два или повече многочлена, наричаме всеки един от тези многочлени делител на произведението.

Например знаем, че $2 x (x + 3) = 2 x^{2} + 6 x$ ‍. Това означава, че $2 x$ ‍ и $x + 3$ ‍ са делители на $2 x^{2} + 6 x$ ‍.

Също така, един многочлен се дели на друг многочлен, ако частното също е многочлен.

Например тъй като $\frac{6 x^{2}}{3 x} = 2 x$ ‍ и $\frac{6 x^{2}}{2 x} = 3 x$ ‍, тогава $6 x^{2}$ ‍ се дели на $3 x$ ‍ и $2 x$ ‍. Но тъй като $\frac{4 x}{2 x^{2}} = \frac{2}{x}$ ‍, знаем, че $4 x$ ‍ не се дели на $2 x^{2}$ ‍.

Същата връзка между делители и делимост, която беше отбелязана с цели числа, може да се направи и тук:

По принцип, ако

p = q \cdot r

за многочлените

p

q

r

, тогава знаем следното:

$q$ ‍ и $r$ ‍ са делители на $p$ ‍.
$p$ ‍ се дели на $q$ ‍ и $r$ ‍.

Провери знанията си

1) Довърши изречението за отношението, изразено чрез $3 x (x + 2) = 3 x^{2} + 6 x$ ‍.

x + 2

3 x^{2} + 6 x

3 x^{2} + 6 x

x + 2

[Имам нужда от помощ!]

2) Учителят пише следното произведение на дъската:

(3 x^{2}) (4 x) = 12 x^{3}

Майлс прави заключение, че

3 x^{2}

е делител на

12 x^{3}

Джуд прави заключението, че

12 x^{3}

се дели на

4 x

Кой е прав?

[Имам нужда от помощ!]

Определяне на делители и делимост

Пример 1: Дали $24 x^{4}$ ‍ се дели на $8 x^{3}$ ‍?

За да отговорим на този въпрос, можем да намерим и опростим

\frac{24 x^{4}}{8 x^{3}}

. Ако резултатът е едночлен, то

24 x^{4}

се дели на

8 x^{3}

. Ако резултатът не е едночлен, то

24 x^{4}

не се дели на

8 x^{3}

$\begin{aligned} \frac{24 x^{4}}{8 x^{3}} & = \frac{24}{8} \cdot \frac{x^{4}}{x^{3}} \\ = 3 \cdot x^{1} & \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} \\ = 3 x \end{aligned}$ ‍

Тъй като резултатът е едночлен, то заключаваме, че

24 x^{4}

се дели на

8 x^{3}

. (Това също така означава, че

8 x^{3}

е делител на

24 x^{4}

Пример 2: Дали $4 x^{6}$ ‍ е делител на $32 x^{3}$ ‍?

Ако

4 x^{6}

е делител на

32 x^{3}

, то

32 x^{3}

се дели на

4 x^{6}

. Така че нека да намерим и опростим

\frac{32 x^{3}}{4 x^{6}}

$\begin{aligned} \frac{32 x^{3}}{4 x^{6}} & = \frac{32}{4} \cdot \frac{x^{3}}{x^{6}} \\ = 8 \cdot x^{- 3} & \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} \\ = 8 \cdot \frac{1}{x^{3}} & a^{- m} = \frac{1}{a^{m}} \\ = \frac{8}{x^{3}} \end{aligned}$ ‍

Обърни внимание, че членът

\frac{8}{x^{3}}

не е едночлен, тъй като това е частно, а не произведение. Следователно можем да направим заключението, че

4 x^{6}

не е делител на

32 x^{3}

Обобщение

По принцип, за да определим дали един многочлен

p

се дели на друг многочлен

q

, или съответно дали

q

е делител на

p

, трябва да намерим и изследваме

\frac{p (x)}{q (x)}

Ако опростеният вид е многочлен, тогава

p

се дели на

q

q

е делител на

p

Провери знанията си

3) Дали $30 x^{4}$ ‍ се дели на $2 x^{2}$ ‍?

[Имам нужда от помощ!]

4) Дали $12 x^{2}$ ‍ е делител на $6 x$ ‍?

[Имам нужда от помощ!]

Задачи с повишена трудност

5*) Кои от следните едночлени са делители на $15 x^{2} y^{6}$ ‍?

	Множител	Не е делител
$3 x^{2} y^{5}$ ‍
$5 x$ ‍
$10 x^{4} y^{3}$ ‍

[Имам нужда от помощ!]

6*) Площта на правоъгълник с широчина

x + 1

единици и дължина

x + 4

единици е

x^{2} + 5 x + 4

квадратни единици.

Кои са делителите на $x^{2} + 5 x + 4$ ‍?

[Имам нужда от помощ!]

Защо се интересуваме от разлагане на многочлени?

Точно както разлагането на цели числа се оказа много полезно за редица приложения, така е и с разлагането на многочлените!

И по-конкретно, разлагането на многочлените е много полезно в решаването на квадратни уравнения и опростяването на рационални изрази.

Ако искаш да видиш това, провери следните статии:

Какво следва?

Следващата стъпка в процеса на разлагане включва научаване на това как се разлагат едночлени. Можеш да научиш за това в следващата статия.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

7. клас (България)

Курс: 7. клас (България) > Раздел 3

Какво трябва да знаеш за този урок

Какво ще научиш в този урок

Делители и делимост на цели числа

Делители и делимост на многочлени

Провери знанията си

Определяне на делители и делимост

Пример 1: Дали 24x4‍ се дели на 8x3‍ ?

Пример 2: Дали 4x6‍ е делител на 32x3‍ ?

Обобщение

Провери знанията си

Задачи с повишена трудност

Защо се интересуваме от разлагане на многочлени?

Какво следва?

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Пример 1: Дали $24 x^{4}$ ‍ се дели на $8 x^{3}$ ‍?

Пример 2: Дали $4 x^{6}$ ‍ е делител на $32 x^{3}$ ‍?