Основно съдържание

Курс: 7. клас (България) > Раздел 3

Урок 1: Разлагане многочлени на множители чрез изнасяне на общ множител

Въведение към делители и делимост

Научи какво означава това полиноми да бъдат делители на други полиноми или да бъдат делими на тях.

Какво трябва да знаеш за този урок

Едночлен или едночлен е израз, който е произведение на някаква константа и

x

на степен цяло неотрицателно число, като

3 x^{2}

. Многочлен или полином е израз, който представлява сума от едночлени като

3 x^{2} + 6 x - 1

Какво ще научиш в този урок

В този урок ще изследваме връзката между делители и делимост на многочлените и ще научим също как да определим дали един многочлен е делител на друг.

Делители и делимост на цели числа

Най-общо казано, две цели числа, чието произведение дава трето число, са делители на това получено трето число.

Например, тъй като $14 = 2 \cdot 7$ ‍, то $2$ ‍ и $7$ ‍ са делители на $14$ ‍.

Едно число е кратно на друго число, ако резултатът от делението е цяло число.

Например, тъй като $\frac{15}{3} = 5$ ‍ и $\frac{15}{5} = 3$ ‍, то $15$ ‍ е кратно на $3$ ‍ и на $5$ ‍. Но тъй като $\frac{9}{4} = 2, 25$ ‍, то $9$ ‍ не е кратно на $4$ ‍.

Обърни внимание на взаимните връзки между делители и делимост:

Тъй като

14 = 2 \cdot 7

(което означава, че

2

е делител на

14

), то

\frac{14}{2} = 7

(което означава, че

14

е кратно на

2

Обратно, тъй като

\frac{15}{3} = 5

(което означава, че

15

е кратно на

3

), то знаем, че

15 = 3 \cdot 5

(което означава, че

3

е делител на

15

Това е вярно и в общия случай: Ако

a

е делител на

b

, тогава

b

е кратно на

a

и обратно.

Делители и делимост на многочлени

Това познание може да се приложи и към многочлените.

При умножението на два или повече многочлена, наричаме всеки един от тези многочлени делител на произведението.

Например знаем, че $2 x (x + 3) = 2 x^{2} + 6 x$ ‍. Това означава, че $2 x$ ‍ и $x + 3$ ‍ са делители на $2 x^{2} + 6 x$ ‍.

Също така, един многочлен се дели на друг многочлен, ако частното също е многочлен.

Например тъй като $\frac{6 x^{2}}{3 x} = 2 x$ ‍ и $\frac{6 x^{2}}{2 x} = 3 x$ ‍, тогава $6 x^{2}$ ‍ се дели на $3 x$ ‍ и $2 x$ ‍. Но тъй като $\frac{4 x}{2 x^{2}} = \frac{2}{x}$ ‍, знаем, че $4 x$ ‍ не се дели на $2 x^{2}$ ‍.

Същата връзка между делители и делимост, която беше отбелязана с цели числа, може да се направи и тук:

По принцип, ако

p = q \cdot r

за многочлените

p

q

r

, тогава знаем следното:

$q$ ‍ и $r$ ‍ са делители на $p$ ‍.
$p$ ‍ се дели на $q$ ‍ и $r$ ‍.

Провери знанията си

1) Довърши изречението за отношението, изразено чрез $3 x (x + 2) = 3 x^{2} + 6 x$ ‍.

x + 2

3 x^{2} + 6 x

3 x^{2} + 6 x

x + 2

2) Учителят пише следното произведение на дъската:

(3 x^{2}) (4 x) = 12 x^{3}

Майлс прави заключение, че

3 x^{2}

е делител на

12 x^{3}

Джуд прави заключението, че

12 x^{3}

се дели на

4 x

Кой е прав?

Когато два или повече многочлена се умножават помежду си, наричаме всеки един от тях делител на полученото произведение. Освен това казваме, че това произведение се дели на всеки един от тези многочлени.

Тъй като

(3 x^{2}) (4 x) = 12 x^{3}

, знаем, че

3 x^{2}

4 x

са делители на

12 x^{3}

. Знаем също така, че

12 x^{3}

се дели на

3 x^{2}

4 x

И Майлс, и Джуд са прави.

Определяне на делители и делимост

Пример 1: Дали $24 x^{4}$ ‍ се дели на $8 x^{3}$ ‍?

За да отговорим на този въпрос, можем да намерим и опростим

\frac{24 x^{4}}{8 x^{3}}

. Ако резултатът е едночлен, то

24 x^{4}

се дели на

8 x^{3}

. Ако резултатът не е едночлен, то

24 x^{4}

не се дели на

8 x^{3}

$\begin{aligned} \frac{24 x^{4}}{8 x^{3}} & = \frac{24}{8} \cdot \frac{x^{4}}{x^{3}} \\ = 3 \cdot x^{1} & \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} \\ = 3 x \end{aligned}$ ‍

Тъй като резултатът е едночлен, то заключаваме, че

24 x^{4}

се дели на

8 x^{3}

. (Това също така означава, че

8 x^{3}

е делител на

24 x^{4}

Пример 2: Дали $4 x^{6}$ ‍ е делител на $32 x^{3}$ ‍?

Ако

4 x^{6}

е делител на

32 x^{3}

, то

32 x^{3}

се дели на

4 x^{6}

. Така че нека да намерим и опростим

\frac{32 x^{3}}{4 x^{6}}

$\begin{aligned} \frac{32 x^{3}}{4 x^{6}} & = \frac{32}{4} \cdot \frac{x^{3}}{x^{6}} \\ = 8 \cdot x^{- 3} & \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} \\ = 8 \cdot \frac{1}{x^{3}} & a^{- m} = \frac{1}{a^{m}} \\ = \frac{8}{x^{3}} \end{aligned}$ ‍

Обърни внимание, че членът

\frac{8}{x^{3}}

не е едночлен, тъй като това е частно, а не произведение. Следователно можем да направим заключението, че

4 x^{6}

не е делител на

32 x^{3}

Обобщение

По принцип, за да определим дали един многочлен

p

се дели на друг многочлен

q

, или съответно дали

q

е делител на

p

, трябва да намерим и изследваме

\frac{p (x)}{q (x)}

Ако опростеният вид е многочлен, тогава

p

се дели на

q

q

е делител на

p

Провери знанията си

3) Дали $30 x^{4}$ ‍ се дели на $2 x^{2}$ ‍?

4) Дали $12 x^{2}$ ‍ е делител на $6 x$ ‍?

Задачи с повишена трудност

5*) Кои от следните едночлени са делители на $15 x^{2} y^{6}$ ‍?

	Множител	Не е делител
$3 x^{2} y^{5}$ ‍
$5 x$ ‍
$10 x^{4} y^{3}$ ‍

Можем да определим дали едночленът

A

е делител на

15 x^{2} y^{6}

, като разделим

15 x^{2} y^{6}

на

A

и проверим частното:

Нека да опитаме това с дадените едночлени!

\begin{aligned} \frac{15 x^{2} y^{6}}{5 x} & = 3 x y^{6} \\ \frac{15 x^{2} y^{6}}{3 x^{2} y^{5}} & = 5 y \\ \frac{15 x^{2} y^{6}}{10 x^{4} y^{3}} & = \frac{3 y^{3}}{2 x^{2}} \end{aligned}

Тъй като

3 x y^{6}

5 y

са два едночлена, можем да направим заключението, че

5 x

3 x^{2} y^{5}

са делители на

15 x^{2} y^{6}

Обърни внимание, че членът

\frac{3 y^{3}}{2 x^{2}}

има

x^{2}

в знаменателя, така че не е едночлен. Следователно можем да направим заключението, че

10 x^{4} y^{3}

не е делител на

15 x^{2} y^{6}

6*) Площта на правоъгълник с широчина

x + 1

единици и дължина

x + 4

единици е

x^{2} + 5 x + 4

квадратни единици.

Кои са делителите на $x^{2} + 5 x + 4$ ‍?

Знаем, че площта

(A)

на един правоъгълник е

дължината (д) \cdot широчината (ш)

За този правоъгълник имаме:

$\begin{aligned} A & = l \cdot w \\ x^{2} + 5 x + 4 & = (x + 4) (x + 1) \end{aligned}$ ‍

Въз основа на последното уравнение знаем, че

x + 4

x + 1

трябва да бъдат делители на

x^{2} + 5 x + 4

Защо се интересуваме от разлагане на многочлени?

Точно както разлагането на цели числа се оказа много полезно за редица приложения, така е и с разлагането на многочлените!

И по-конкретно, разлагането на многочлените е много полезно в решаването на квадратни уравнения и опростяването на рационални изрази.

Ако искаш да видиш това, провери следните статии:

Какво следва?

Следващата стъпка в процеса на разлагане включва научаване на това как се разлагат едночлени. Можеш да научиш за това в следващата статия.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

7. клас (България)

Курс: 7. клас (България) > Раздел 3

Какво трябва да знаеш за този урок

Какво ще научиш в този урок

Делители и делимост на цели числа

Делители и делимост на многочлени

Провери знанията си

Определяне на делители и делимост

Пример 1: Дали 24x4‍ се дели на 8x3‍ ?

Пример 2: Дали 4x6‍ е делител на 32x3‍ ?

Обобщение

Провери знанията си

Задачи с повишена трудност

Защо се интересуваме от разлагане на многочлени?

Какво следва?

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Пример 1: Дали $24 x^{4}$ ‍ се дели на $8 x^{3}$ ‍?

Пример 2: Дали $4 x^{6}$ ‍ е делител на $32 x^{3}$ ‍?