If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

7. клас (България)

Курс: 7. клас (България) > Раздел 3

Урок 1: Разлагане многочлени на множители чрез изнасяне на общ множител
Математика
7. клас (България)
Разлагане на многочлени на множители
Разлагане многочлени на множители чрез изнасяне на общ множител
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Въведение към делители и делимост

Класна стая на Google
Научи какво означава това полиноми да бъдат делители на други полиноми или да бъдат делими на тях.

Какво трябва да знаеш за този урок

Едночлен или едночлен е израз, който е произведение на някаква константа и x на степен цяло неотрицателно число, като 3, x, squared. Многочлен или полином е израз, който представлява сума от едночлени като 3, x, squared, plus, 6, x, minus, 1.

Какво ще научиш в този урок

В този урок ще изследваме връзката между делители и делимост на многочлените и ще научим също как да определим дали един многочлен е делител на друг.

Делители и делимост на цели числа

Най-общо казано, две цели числа, чието произведение дава трето число, са делители на това получено трето число.
Например, тъй като 14, equals, 2, dot, 7, то 2 и 7 са делители на 14.
Едно число е кратно на друго число, ако резултатът от делението е цяло число.
Например, тъй като start fraction, 15, divided by, 3, end fraction, equals, 5 и start fraction, 15, divided by, 5, end fraction, equals, 3, то 15 е кратно на 3 и на 5. Но тъй като start fraction, 9, divided by, 4, end fraction, equals, 2, comma, 25, то 9 не е кратно на 4.
Обърни внимание на взаимните връзки между делители и делимост:
Тъй като start color #e07d10, 14, end color #e07d10, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, 7 (което означава, че 2 е делител на 14), то start fraction, start color #e07d10, 14, end color #e07d10, divided by, start color #11accd, 2, end color #11accd, end fraction, equals, 7 (което означава, че 14 е кратно на 2).
Обратно, тъй като start fraction, start color #e07d10, 15, end color #e07d10, divided by, start color #11accd, 3, end color #11accd, end fraction, equals, 5 (което означава, че 15 е кратно на 3), то знаем, че start color #e07d10, 15, end color #e07d10, equals, start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, 5 (което означава, че 3 е делител на 15).
Това е вярно и в общия случай: Ако a е делител на b, тогава b е кратно на a и обратно.

Делители и делимост на многочлени

Това познание може да се приложи и към многочлените.
При умножението на два или повече многочлена, наричаме всеки един от тези многочлени делител на произведението.
Например знаем, че 2, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 2, x, squared, plus, 6, x. Това означава, че 2, x и x, plus, 3 са делители на 2, x, squared, plus, 6, x.
Също така, един многочлен се дели на друг многочлен, ако частното също е многочлен.
Например тъй като start fraction, 6, x, squared, divided by, 3, x, end fraction, equals, 2, x и start fraction, 6, x, squared, divided by, 2, x, end fraction, equals, 3, x, тогава 6, x, squared се дели на 3, x и 2, x. Но тъй като start fraction, 4, x, divided by, 2, x, squared, end fraction, equals, start fraction, 2, divided by, x, end fraction, знаем, че 4, x не се дели на 2, x, squared.
Същата връзка между делители и делимост, която беше отбелязана с цели числа, може да се направи и тук:
По принцип, ако p, equals, q, dot, r за многочлените p, q и r, тогава знаем следното:
  • q и r са делители на p.
  • p се дели на q и r.

Провери знанията си

1) Довърши изречението за отношението, изразено чрез 3, x, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, equals, 3, x, squared, plus, 6, x.
x, plus, 2 е
3, x, squared, plus, 6, x и 3, x, squared, plus, 6, x е
x, plus, 2.

2) Учителят пише следното произведение на дъската:
left parenthesis, 3, x, squared, right parenthesis, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, equals, 12, x, cubed
Майлс прави заключение, че 3, x, squared е делител на 12, x, cubed.
Джуд прави заключението, че 12, x, cubed се дели на 4, x.
Кой е прав?
Избери един отговор:

Определяне на делители и делимост

Пример 1: Дали 24, x, start superscript, 4, end superscript се дели на 8, x, cubed?

За да отговорим на този въпрос, можем да намерим и опростим start fraction, 24, x, start superscript, 4, end superscript, divided by, 8, x, cubed, end fraction. Ако резултатът е едночлен, то 24, x, start superscript, 4, end superscript се дели на 8, x, cubed. Ако резултатът не е едночлен, то 24, x, start superscript, 4, end superscript не се дели на 8, x, cubed.
24x48x3=248⋅x4x3=3⋅x1aman=am−n=3x\begin{aligned}\dfrac{24x^4}{8x^3}&=\dfrac{24}{8}\cdot\dfrac{x^4}{x^3}\\ \\ &=3\cdot x^1&&\small{\gray{\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}}\\ \\ &=3x \end{aligned}
Тъй като резултатът е едночлен, то заключаваме, че 24, x, start superscript, 4, end superscript се дели на 8, x, cubed. (Това също така означава, че 8, x, cubed е делител на 24, x, start superscript, 4, end superscript.)

Пример 2: Дали 4, x, start superscript, 6, end superscript е делител на 32, x, cubed?

Ако 4, x, start superscript, 6, end superscript е делител на 32, x, cubed, то 32, x, cubed се дели на 4, x, start superscript, 6, end superscript. Така че нека да намерим и опростим start fraction, 32, x, cubed, divided by, 4, x, start superscript, 6, end superscript, end fraction.
32x34x6=324⋅x3x6=8⋅x−3aman=am−n=8⋅1x3a−m=1am=8x3\begin{aligned}\dfrac{32x^3}{4x^6}&=\dfrac{32}{4}\cdot\dfrac{x^3}{x^6}\\ \\ &=8\cdot x^{-3}&&\small{\gray{\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}}\\ \\ &=8\cdot \dfrac{1}{x^3}&&\small{\gray{a^{-m}=\dfrac{1}{a^m}}}\\ \\ &=\dfrac{8}{x^3} \end{aligned}
Обърни внимание, че членът start fraction, 8, divided by, x, cubed, end fraction не е едночлен, тъй като това е частно, а не произведение. Следователно можем да направим заключението, че 4, x, start superscript, 6, end superscript не е делител на 32, x, cubed.

Обобщение

По принцип, за да определим дали един многочлен p се дели на друг многочлен q, или съответно дали q е делител на p, трябва да намерим и изследваме start fraction, p, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, q, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction.
Ако опростеният вид е многочлен, тогава p се дели на q и q е делител на p.

Провери знанията си

3) Дали 30, x, start superscript, 4, end superscript се дели на 2, x, squared?
Избери един отговор:

4) Дали 12, x, squared е делител на 6, x?
Избери един отговор:

Задачи с повишена трудност

5*) Кои от следните едночлени са делители на 15, x, squared, y, start superscript, 6, end superscript?
Множител
Не е делител
3, x, squared, y, start superscript, 5, end superscript
5, x
10, x, start superscript, 4, end superscript, y, cubed

6*) Площта на правоъгълник с широчина x, plus, 1 единици и дължина x, plus, 4 единици е x, squared, plus, 5, x, plus, 4 квадратни единици.
Кои са делителите на x, squared, plus, 5, x, plus, 4?
Избери всички правилни отговори:

Защо се интересуваме от разлагане на многочлени?

Точно както разлагането на цели числа се оказа много полезно за редица приложения, така е и с разлагането на многочлените!
И по-конкретно, разлагането на многочлените е много полезно в решаването на квадратни уравнения и опростяването на рационални изрази.
Ако искаш да видиш това, провери следните статии:

Какво следва?

Следващата стъпка в процеса на разлагане включва научаване на това как се разлагат едночлени. Можеш да научиш за това в следващата статия.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.