Системи от уравнения с елиминиране: картофен чипс

Всички в кралството са много впечатлени от твоята способност да помагаш при планирането на партита, освен този господин тук. Това е Арбегла. Той е пръв съветник на краля, както и главен уредник на партита. Изглежда твоята дарба е заплаха за него при решаването на тези нерешими по друг начин задачи, или поне от негова гледна точка, понеже той продължава да поръчва повече, или недостатъчно количество кексчета. И той казва, "Кралю, тази задача за кексчета беше лесна." "Попитай ги за задачата за картофения чипс..." "понеже никога не можем да приготвим картофения чипс правилно." А кралят казва, "Арбегла, това е добра идея. Трябва правилно да приготвим картофения чипс." Така че той идва при теб и пита: "Как да разберем колко картофен чипс е нужен за партито?" За да направим това, трябва да намерим средното количество, изконсумирано от всеки мъж и жена. Може би питаш: "А децата?" Кралят отговаря: "В нашето кралство картофеният чипс е забранен за деца." Ти казваш: "О, това е... винаги е добро. Но кажете ми какво се е случвало на минали празненства." И кралят отговаря, "Може би си спомняш, че на последното празненство, всъщност на последните две празненства, възрастните бяха 500. Последният път 200 от тях бяха мъже, а 300 бяха жени, и общо изядоха 1200 пакета чипс." " А преди това?" - уточняваш ти. Той казва: "Имахме голям брой жени. Имахме само 100 мъже и 400 жени. И тогава всъщност бяха изконсумирани само 1100 пакетчета чипс." Ти казваш: "Кралю и Арбегла, това изглежда донякъде разбираемо, нека определя няколко променливи, за да представя нашите неизвестни. И продължаваш: "Нека m е броят пакетчета, консумирани от един мъж. Можем да ги представим средно, защото вероятно всички мъже в кралството ядат горе-долу еднакво количество чипс. И нека w e броят пакетчета, консумирани от една жена. Нека сега да представим информацията в зелено алгебрично. Какъв е общият брой пакетчета, консумирани от мъжете. Имаме 200 мъже... нека малко отида по-насам... и всеки от тях е изконсумирал m пакетчета. Така че мъжете на това парти колективно са изконсумирали 200 по m пакетчета. Ако m е 10 пакетчета на мъж, тогава тук броят им ще е 2000. Ако m е 5 пакетчета, тогава ще е 5000. Не знаем колко е m, но 200 пъти по m е общо консумираното количество от мъжете. Същата логика прилагаме за жените. 300 жени по броя на пакетчетата, които всяка жена изяжда, е равно на 300w. Сега общото количество за мъжете и за жените е 1200 пакетчета. Това е тази информация, представена алгебрично, с помощта на променливите. Сега нека направим същото с втората част от информацията. Нека помислим как да я представим алгебрично. Логиката е същата. Мъжете общо на това парти са били 100 и са изяли 100 по m пакетчета чипс. Приемаме, че m е същото като на предишното парти. Мъжете изяждат винаги еднакво количество пакетчета чипс. Колко са изяли жените на второто празненство? Жените са били 400 и средно ядат по w пакетчета чипс, така че жените са изяли 400 по w пакетчета чипс. Събираме тези двете и получаваме общият брой, който са изяли възрастните на това празненство. Така че това е равно на 1100 пакетчета общо. Така че сега получи нещо познато. Това е система от две уравнения с две неизвестни. Опитваш се да я решиш. И виждаш нещо много интересно. Последният път тук имахме много удобни числа. Тук имахме 500 и тук имахме 500 възрастни. Беше много лесно да унищожим тези променливи. Този път обаче изглежда по-трудно. Коефициентите тук на m са различни. Различни са и коефициентите на w. Сигурно се питаш как можем да променим тези уравнения, за да стане по-лесно да се унищожат тези. Какво ще стане, ако например.. взема това синьо уравнение тук и го умножа по –2? И ти сигурно се чудиш защо го правя. Правя го, защото като умножа по –2, това 100m тука ще стане –200m и ще се унищожи с това 200m тук, когато съберем двете уравнения. Така че нека да видим какво ще стане. Нека умножим по –2 синьото уравнение тук. Нека малко скролна... Да припомня, че когато умножаваме едно уравнение, трябва да умножим и двете му страни, за да се запази равенството. Така че –2 по 100m е –200m, –2 по 400w е –800w, Сега направихме лявата страна, но трябва също така да умножим и дясната страна. Имаме –2 по 1100, което е –2200. Нека пак да повторя - това уравнение, което получихме тук, съдържа същата информация като това изходно уравнение, ние го променихме, като умножихме двете страни по –2, но това е същата зависимост, която не се промени. Сега можем да вземем това зелено уравнение, първото 200m + 300w = 1200 Ето защо умножих по –2, за да мога сега като събера двете уравнения, да се отърва от тази променлива. Нека го направим. Нека съберем левите страни и после десните страни. Можеш да гледаш на това като да прибавим към лявата страна на синьото уравнение лявата страна на жълтото уравнение, и след това да съберем и десните страни. Знаем, че това е равно на това, затова можем да съберем страните. Нека да видим какво се получава. Чудесно е, че умножихме по –2, така че сега тези двете се съкращават. Събираме тези двете, и получаваме 0m или просто 0. Имаме –800w + 300w, което е –500w. И след това от дясната страна имаме –2200 плюс 1200. Това е –1000. И сега това е много лесно. Едно уравнение, с едно неизвестно... съвсем лесно уравнение. Разделяме двете страни на коефициента пред w. Делим на –500 отляво и на –500 отдясно И оставаме само с w е равно на 2. Средно една жена изяжда 2 пакетчета чипс на тези празненства. Приемаме, че това е еднакво за всички празненства. Сега остава да намерим средно колко пакетчета изяжда един мъж. За да го намерим, просто се връщаме към някое от тези уравнения. В предишните клипове използвах първото уравнение. Сега ще покажа, че и второто уравнение върши работа. Могат да се използват и двете. Нека да заместим във второто уравнение. Можеш да избереш това или това. Аз ще избера първоначалното уравнение. Тук имаме 100 по m, което търсим, плюс 400 по w, което току-що намерихме и знаем, че е 2, това е 800, цялото равно на 1100. Така че имаме 100m + 800 = 1100. И сега, за да намерим m, изваждаме 800 от двете страни. И оставаме със 100m = 300. Делим двете страни на 100. и оставаме с m, което е средното количество пакетчета чипс, които изяжда един мъж, и е равно на 3. Задачата на Арбегла е решена, което той си мислеше, че е много трудно, реши я с помощта на магичната сила на алгебрата. Ти каза на краля, който планираше своето празненство, че средното количество чипс, което изяжда един мъж, е три пакетчета, а жените изяждат средно по 2 пакетчета картофен чипс.