Графики на логаритмични функции

Тук имаме една графика и 4 потенциални задавания на функцията за тази графика. Може да спреш видеото и да помислиш коя от тези функции е представена чрез тази графика тук. Приемам, че се опита. Нека сега го решим заедно. Преди да помислим върху това, виждаме, че всички те имат логаритъм при основа 2 в задаването на функцията. Нека си припомним как изглежда у, равно на логаритъм от х при основа 2, а после можем да помислим какво се случва, ако добавим или извадим 1 от това, или ако го преместим малко. Нека помислим за някои интересни стойности. Нека помислим за някои интересни стойности. Нека помислим какво се случва. Ще имаме х и у. Нека помислим какво става, когато х е равно на 2. Избрах 2, понеже ако х е равно на 2, казваш "логаритъм от 2 при основа 2", и на каква степен трябва да повдигна 2, за да получа 2? Ще трябва да го повдигнем на първа степен. А какво да кажем за когато х е равно на... Нека направя няколко. Нека направим х = 8. Логаритъм от 8 при основа 2 е 3. Повдигам 2 на 3-та степен. Получавам 8. Нека направим 4. Логаритъм от 4 при основа 2 е 2. 2^2 е равно на 4. Нека направим 2, откъдето започнахме. Логаритъм от 2 при основа 2 ще е 1. 2^1 е равно на 2. Нека помислим за това, когато х е равно на 1. На колко трябва да повдигнем 2, за да получим 1? Трябва да го повдигнем на степен 0. 2^0 е равно на 1. Нека помислим как бихме получили 1/2. На колко трябва да повдигна 2, за да получа 1/2? 2^(-1) ще е равно на 1/2 и мога да продължа. Какво да кажем за 1/4? Това е 2^(-2) = 1/4. Мога да стигна до 1/8. 2^(-3) = 1/8. Нека нанесем някои от тези точки на графиката. Когато х = 8, у е 3. Когато х = 4, у е 2. Когато х = 2, у е 1. Когато х = 1, у е 0. Мисля, че виждаш вече цялостния образ. Когато х е 1/2, у е -1. Когато х е 1/4, у е -2. Мисля, че виждаш накъде отива това. Когато х е 1/8, у е -3. Имаме графика, която изглежда ето така. Изглежда ето така. Просто свързвам точките. Това е поведението, което бихме очаквали. Когато х става много, много, много голямо, мислиш на каква степен трябва да повдигнеш 2, за да получиш това х. Това ще се увеличава... но ще се увеличава с вечно намаляваща скорост. После виждаме, че когато х клони към 0 отдясно, за да стане по-близо и по-близо до 0, трябва да повдигнеш 2 на все по-отрицателни и по-отрицателни стойности, тоест когато доближаваме 0, логаритъмът става много, много, много, много, много отрицателен. Никога няма стигнем до точно х = 0. Ако въведеш точно 0 тук, на каква степен ще трябва да повдигнеш 2, за да получиш 0? Не можеш. Можеш да стигнеш близо до 0, като повдигнеш 2 на много, много, много отрицателно – много, много, много отрицателна стойност, а това тук няма да е дефинирано за неположителни стойности на х. Затова и не виждаме графиката тук за стойности по-малки или равно на 0. Това дефиниционно множество тук е само за положителни стойности на х. Това е логаритъм от х при основа 2. Как това нещо тук... как това тук изглежда различно? Очевидното нещо, което веднага забелязвам, е, че е обърнато през оста х, така че това е доста добър знак, че това ще... ще имаме отрицателен логаритъм от х при основа 2. Нека начертаем графиката. Нека начертаем тази графика. Как ще изглежда у, равно на отрицателен логаритъм от х при основа 2? Просто ще създадем симетричен образ на всяка от тези точки спрямо оста х, така че ще дойдем тук. Ще дойдем тук. Ще дойдем тук, а после това ще премине през тази точка ето тук, а после, да видим, вместо да е 1/2, това ще е ето така. у е равно на минус логаритъм от х при основа 2 ще изглежда ето така. Да видя дали мога да начертая това добре. Ще изглежда ето така, ето така. Доближаваме се до синята графика. Това е у, равно на минус логаритъм от х при основа 2. Каква е разликата между зелената графика и синята графика? Ако погледнеш внимателно, виждаш, че синята графика е зелената графика, преместена с 2 наляво, преместена наляво. Преместихме я наляво с 2. При всяка една от тези точки сме преместили с 2 наляво. Как преместваш с 2 наляво? Ще замениш х с (х + 2). Ще замениш х с (х + 2). Един начин да мислим за това е, че първоначалният отрицателен логаритъм от х при основа 2 – виждаме тази асимптота при х, равно на 0. Сега ще видим асимптотата, когато целият този израз, (х + 2), е равен на 0, х + 2 = 0, когато х е равно на -2. Когато х е равно на -2, виждаш асимптотата ето тук. Окуражавам те да изпробваш някои стойности, ако искаш. Можеш да вземеш всички тези стойности. Можеш да вземеш всички тези стойности и да извадиш 2 от тях, а после, когато добавиш 2, ще се върнеш обратно при тези стойности. Ако преместиш с 2 наляво, това е като да замениш х с (х + 2). Това представлява тази графика. Отново, изпробвай стойностите, ако не ми вярваш.