Въведение в обратни матрици

Учихме за събирането на матрици, изваждането и умножаването. Сигурно се питаш дали има еквивалент за деление на матрици. Преди да навлезем в това, нека те запозная с някои понятия. А после ще видим, че има нещо, което не е точно деление, но е аналогично. Преди да ти представя това, ще те запозная с понятието единична матрица. Единичната матрица е матрица, която бележим с главно I. Когато я умножим по друга матрица... Не съм сигурен, че трябва да пиша тази точка тук, но както и да е. Когато я умножим по друга матрица, получаваме пак другата матрица. Или ако умножа другата матрица по единичната матрица, получавам пак същата матрица. Важно е да разберем, че когато умножаваме матрици, последователността е от значение. Тук съм дал една информация, която не можем просто да приемем, както когато правим обикновено умножение. Това, че а по b винаги е равно на b по а. Когато умножаваме матрици е важно да потвърдим, че последователността, в която умножаваме, е от значение. Това важи и в двете посоки, само когато работим с квадратни матрици. Може да важи в едната посока или в другата, ако това не е квадратна матрица, но няма да важи и в двете. Можеш да помислиш защо става така само с нещата, които научихме за умножението на матрици. Както и да е. Дефинирах тази матрица. Как всъщност изглежда тази матрица? Доста е просто. Ако имаме матрица 2 х 2, единичната матрица ще е 1, 0, 0, 1. Ако искаме 3 х 3, ще е 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1. Виждаш какъв е моделът. Ако искаме 4 х 4, единичната матрица ще е 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1. Виждаш, че всяка матрица с определени размери има... Можем да разширим до n х n. Матрицата има единици по този диагонал, от горе ляво до долу дясно, а всичко останало е 0. Сега като ти го казах, хайде да докажем, че наистина работи. Да вземем тази матрица и да я умножим по друга матрица, и да докажем, че матрицата няма да се промени. Ако вземем 1, 0, 0, 1, нека умножим по една обща матрица. Просто да видиш, че работи за всички числа. а, b, c, d. На какво е равно това? Ще умножим този ред по тази колона. 1 по а, плюс 0 по с е а. А този ред по тази колона е 1 по b, плюс 0 по d. Това е b. После този ред по тази колона. 0 по а, плюс 1 по с, което е с. Накрая този ред по тази колона. 0 по b, плюс 1 по d. Това е просто d. Готово. Ще бъде интересно да се направи по обратния начин. Даже ще е още по-добро упражнение, ако се пробва с матрица 3 х 3. Ще видиш, че пак работи. Добро упражнение ще е да помислиш защо работи. Ако се замислиш, това е така, защото получаваш информацията за реда от тук, а информацията за колоната от тук. По същество всеки път, когато умножаваме, да кажем този вектор по този вектор, умножаваме съответстващите елементи и после ги събираме, нали? Следователно, ако имаш 1 и 0, нулата ще отстрани всички елементи без първия в този вектор стълб (колона). Затова оставаме само с а. И затова ще се нулира всичко освен първия елемент в този вектор колона. И затова оставаме само с b. По подобен начин това нулира всичко освен втория елемент. Затова остава само с тук. Това по това. Получаваме с. Това по това. Получаваме d. Същото нещо се прилага, когато имаме 3 х 3 или n х n вектори. Това е интересно. Имаме единичен вектор. Ако искаме да довършим нашето сравнение... Хайде да помислим малко. Знаем, че в стандартната математика, ако имаме 1 по а, получаваме а. Знаем също, че 1 върху а по а... това е просто обикновена математематика, няма нищо общо с матрици... е равно на 1. Знаем, че наричаме това реципрочното на а. Това е същото като да разделиш на числото а. Има ли аналогия при матриците? Нека да сменя цветовете, тъй като използвах това зелено твърде много пъти. Има ли матрица, която ако я умножа по друга матрица А... Ще нарека първата обратната (реципрочната) на А. Има ли такава матрица, при която ще остана не с числото 1, а с неговия еквивалент в света на матриците? След умножението да получа единична матрица. Ще бъде още по-хубаво, ако можех да разместя това умножение. А по реципрочната на А също трябва да е равно на единична матрица. Ако се замислим малко, ако тези две неща са верни, тогава не само обратната на А е реципрочна на А, а също и А е реципрочна на обратната на А. Взаимно са си реципрочни. Това исках да кажа. Оказва се, че съществува такава матрица. Нарича се обратна на А, както казах вече три пъти. Сега ще ти покажа как да я сметнеш. Хайде да го направим. Ще смятаме с 2 х 2 за по-просто. Може да си помислиш, че е малко мистериозно как хората са стигнали до механизма или алгоритъма на това. 3 х 3 става малко заплетено. 4 х 4 ще ти отнеме цял ден. При 5 х 5 е почти сигурно, че ще направиш несъзнателна грешка, ако смяташ обратната на 5 х 5 матрица. По-добре да го оставим на компютър. Как ще пресметнем матрицата? Хайде да го направим и после ще потвърдим, че наистина е реципрочна. Имаме матрица А, която е a, b, c, d, и искаме да намерим обратната ѝ матрица. Това ще изглежда малко като вуду. В бъдещи видеа ще дам повече информация как точно става това или ще покажа от къде е дошло. За сега е по-добре само да запомниш стъпките, просто за да имаш самочувствието, че знаеш как да намериш обратната матрица. Равна е на 1 върху това число по това (а по d), минус b по с. ad минус bc. Тези стойности тук долу, ad минус bc, се наричат детерминантата на матрицата А. Ще ги умножим по... Това е просто число. Това е просто скаларна стойност. Ще ги умножим по... Разменяме a и d. Разменяме горния ляв и долния десен. Получаваме d и а. Правим тези два елемента (долния ляв и горния десен) отрицателни. Следователно -с и -b. Пак казвам, че това е нещо, за което просто трябва да ми се довериш засега. Обещавам, че в бъдещи видеа ще разясня повече. Но всъщност е малко сложно да се разбере какво е детерминанта. Ако ти трябва за гимназиална математика, просто ти трябва да знаеш как да я сметнеш. Въпреки че не ми харесва да ти казвам това. Все пак на колко е равно това? Това също се казва детерминантата на А. Можеш да видиш на някой тест: Намери детерминантата на А. Така че нека само това да ти разясня. Това се бележи със знака за абсолютната стойност на А. Равно е на ad минус bc. По друг начин казано, това е 1 върху детерминантата. Можеш да запишеш обратната на А е равна на 1 върху детерминантата на А по d, -b, -с, а. Както и да го погледнеш. Хайде да го приложим в една истинска задача и ще видиш, че всъщност не е толкова трудно. Хайде да сменим буквите, за да знаем, че не винаги трябва да е А. Да кажем, че имам матрица В. Матрица В е 3... ще избера просто случайни числа... -4, 2, -5. Хайде да намерим обратната матрица на В. Обратната на В ще е равна на 1 върху детерминантата на В. Каква е детерминантата? Тя е 3 по -5, минус 2 по -4. 3 по -5 е -15, минус 2 по -4. 2 по -4 е -8. Ще извадим това. Получаваме 8. Плюс 8. Ще умножим това по какво? Разменихме тези два елемента. Следователно е –5 и 3. И просто правим тези два елемента отрицателни. –2 и 4. 4 беше –4, затова сега става 4. Да видим дали можем да опростим малко това. Обратната матрица на В е равна на –15 плюс 8. Това е –7. Следователно това е –1/7 Детерминантата на В е равна на –7. Получаваме -1/7 по -5, 4, -2, 3. Което е равно на... Това е само скалар, а това са само числа. Следователно ги умножаваме по всеки елемент. Това ще е равно на минус, минус, плюс. Това е 5/7. 5/7, –4/7. Да видим. Положителни 2/7. После –3/7. Малко е заплетено. Завършихме с дроби. Но нека да потвърдим, че това все пак е обратната на матрицата В. Хайде да ги умножим. Преди да направя това, трябва да си направя малко място. Това вече не ми трябва. Готово. Добре. Хайде да потвърдим, че това по това или това по това, всъщност е равно на единична матрица. Да го направим. Нека да сменя цветовете. Обратната матрица на В е 5/7... Ако не съм направил някоя несъзнателна грешка. –4/7. 2/7. И –3/7. Това е обратната на В. Хайде да я умножим по В. 3, –4. 2, –5. Това ще е получената матрица. Трябва ми малко място за сметките. Нека да сменя цветовете. Ще взема този ред по тази колона. Колко е 5/7 по 3? 15/7. Плюс –4/7 по 2. Следователно –4/7 по 2 е... Само да се уверя, че това е вярно. 5 по 3 е 15/7. –4/7 по 2, което е –8/7. Сега ще умножим този ред по тази колона. 5/7 по –4 е –20/7. Плюс –4/7 по –5. Това е 20/7. Мозъкът ми почва да се забавя, когато умножавам матрици с дроби и отрицателни числа. Но това е добра тренировка за много части на мозъка. Както и да е. Нека слезем надолу и сметнем този елемент. Сега ще умножим този ред по тази колона. 2/7 по 3 е 6/7. Плюс –3/7 по 2. Това е –6/7. Остана един елемент. Последната права. 2/7 по –4 е –8/7. Плюс –3/7 по –5. Тези минуси стават плюс и получаваме 15/7. Какво ще получим, ако опростим? 15/7 минус 8/7 е 7/7. Това е просто 1. Това е 0 очевидно. Това е 0. 6/7 минус 6/7 е 0. После –8/7 плюс 15/7, това е 7/7. Това пак е 1. И готово. Успяхме да направим обратната на тази матрица. И всъщност беше по-трудно да докажем, че тя е реципрочна чрез умножение, просто защото трябваше да смятаме всички тези дроби и отрицателни числа. Но се надявам, че това е било задоволително. Можеш да пробваш по обратния начин, за да докажеш, че ако умножиш в обратната последователност, пак ще получиш единична матрица. Както и да е. Така се намира обратната на матрица 2 х 2. Ще видим в следващото видео, че намирането на обратната матрица на матрица 3 х 3 е още по-забавно. До скоро.