Основно съдържание

Курс: 7. клас (България) > Раздел 3

Урок 1: Разлагане многочлени на множители чрез изнасяне на общ множител

Разлагане на многочлени чрез използване на общ множител

Научи как да намираш общ множител на полиномен израз. Например коефициентът 6x²+10x като 2x(3x+5).

С какво трябва да си наясно, преди да започнеш този урок

НОД (най-голям общ делител) на два или повече едночлена е произведението на всички техни общи прости делители. Например НОД на

6 x

4 x^{2}

2 x

Ако това е нещо ново за теб, може да разгледаш нашата статия за най-големи общи делители на едночлени.

Какво ще научиш в този урок

В този урок ще научиш как да намираш общите делители на многочлени.

Разпределителното свойство: $a (b + c) = a b + a c$ ‍

За да разбереш как да разложиш на общи делители, трябва да разбереш разпределителното свойство.

Например можеш да използваш разпределителното свойство, за да намериш произведението на

3 x^{2}

4 x + 3

, както е показано по-долу:

3 \overset{⏜}{\overset{⏜}{x^{2} (4 x + 3) = 3} x^{2} (4 x) + 3} x^{2} (3)

Забележи как всеки член в двучлена е умножен по общ коефициент

3 x^{2}

Но тъй като разпределителното свойство е равенство, обръщането на този процес също е вярно!

3 \overset{⏜}{x^{2} (4 x) + 3 \overset{⏜}{x^{2} (3) = 3}} x^{2} (4 x + 3)

Ако започнем с

3 x^{2} (4 x) + 3 x^{2} (3)

, можем да използваме разпределителното свойство, за да разложим

3 x^{2}

и да получим

3 x^{2} (4 x + 3)

Полученият израз е в разложен вид, защото е записан като произведение на два многочлена, докато първоначалният израз е сума на два члена.

Провери знанията си

Задача 1

Запиши $2 x (3 x) + 2 x (5)$ ‍ в разложен вид.

Намиране на най-голям общ делител (НОД)

За да намерим НОД на един многочлен, правим следното:

Намери НОД за всички членове в многочлена.
Запиши всеки член като произведение на НОД и друг делител.
Използвай разпределителното свойство, за да намериш НОД.

Нека да намерим НОД на

2 x^{3} - 6 x^{2}

Стъпка 1: Намери НОД

$2 x^{3} = 2 \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$6 x^{2} = 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x$ ‍

Така че НОД на

2 x^{3} - 6 x^{2}

2 \cdot x \cdot x = 2 x^{2}

Стъпка 2: Запиши всеки член като произведение на $2 x^{2}$ ‍ и друг множител.

$2 x^{3} = (2 x^{2}) (x)$ ‍
$6 x^{2} = (2 x^{2}) (3)$ ‍

Можем да намерим липсващия множител като разделим всеки член на най-големия общ делител

(2 x^{2})

Първият ще бъде $\frac{2 x^{3}}{2 x^{2}} = x$ ‍.
Вторият член ще бъде $\frac{6 x^{2}}{2 x^{2}} = 3$ ‍.

Обърни внимание, че тези изрази се състоят от останалите делители във всеки едночлен:

$2 x^{3} = 2 \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$6 x^{2} = 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x$ ‍

Така че многочленът може да бъде записан като

2 x^{3} - 6 x^{2} = (2 x^{2}) (x) - (2 x^{2}) (3)

Стъпка 3: Намери НОД

Сега можем да приложим разпределителното свойство, за да намерим

2 x^{2}

2 \overset{⏜}{x^{2} (x) - 2 \overset{⏜}{x^{2} (3) = 2}} x^{2} (x - 3)

Проверка на резултата

Можем да проверим разлагането чрез умножаване на

2 x^{2}

обратно в многочлена.

2 \overset{⏜}{\overset{⏜}{x^{2} (x - 3) = 2} x^{2} (x) - 2} x^{2} (3)

Тъй като това е същото като първоначалния многочлен, нашето разлагане е правилно!

Провери знанията си

Задача 2

Изнеси пред скоби най-големия общ делител в израза $12 x^{2} + 18 x$ ‍.

Задача 3

Изнеси пред скоби най-големият общ делител в следния многочлен.

10 x^{2} + 25 x + 15 =

Задача 4

Изнеси пред скоби най-големият общ делител в следния многочлен.

x^{4} - 8 x^{3} + x^{2} =

Можем ли да бъдем по-ефективни?

Ако се чувстваш сигурно в процеса на намиране на НОД, може да използваш по-бърз метод:

Щом намерим НОД, разложеният вид е просто произведение на този НОД и сумата от членовете в първоначалния многочлен, разделена на НОД.

Виж например как използваме този бърз метод да разложим

5 x^{2} + 10 х

, чийто НОД е

5 x

5 x^{2} + 10 x = 5 x (\frac{5 x^{2}}{5 x} + \frac{10 x}{5 x}) = 5 x (x + 2)

Разлагане на делители-двучлени

Не е задължително общият делител в един многочлен да бъде едночлен.

Например разгледай многочлена

x (2 x - 1) - 4 (2 x - 1)

Обърни внимание, че двучленът

2 x - 1

е общ за двата члена. Може да го изнесем пред скоби, като използваме разпределителното свойство:

x (2 x \overset{⏜}{- 1) - 4 (2 x \overset{⏜}{- 1) = (x - 4) (2 x -}} 1)

Провери знанията си

Задача 5

Изнеси пред скоби най-големият общ делител в следния многочлен.

2 x (x + 3) + 5 (x + 3) =

Различни видове разлагания

Може да изглежда, че сме използвали израза "разлагане", за да опишем няколко различни процеса:

Ние разложихме едночлените, като ги записахме като произведение на други едночлени. Например $12 x^{2} = (4 x) (3 x)$ ‍.
Намерихме НОД на многочлени, като използвахме разпределителното свойство. Например $2 x^{2} + 12 x = 2 x (x + 6)$ ‍.
Изнесохме пред скоби общите множители-двучлени и получихме израз, равен на произведението на двата двучлена. Например:

x (x + 1) + 2 (x + 1) = (x + 1) (x + 2)

Макар че използвахме различни техники, във всеки един случай записвахме многочлена като произведение на два или повече множителя. Така че и в трите примера наистина разложихме многочлена.

Задачи с повишена трудност

Задача 6

Изнеси пред скоби най-големият общ делител в следния многочлен.

12 x^{2} y^{5} - 30 x^{4} y^{2} =

Задача 7

Голям правоъгълник с площ

14 x^{4} + 6 x^{2}

кв.м. е разделен на два по-малки правоъгълника с площ

14 x^{4}

6 x^{2}

квадратни метра.

Ширината на правоъгълника (в метри) е равна на най-големия общ делител на

14 x^{4}

6 x^{2}

Каква е дължината и широчината на големия правоъгълник?

Ширина =

метра

Ширина =

метра

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

7. клас (България)

Курс: 7. клас (България) > Раздел 3

С какво трябва да си наясно, преди да започнеш този урок

Какво ще научиш в този урок

Разпределителното свойство: a(b+c)=ab+ac‍

Провери знанията си

Намиране на най-голям общ делител (НОД)

Провери знанията си

Можем ли да бъдем по-ефективни?

Разлагане на делители-двучлени

Провери знанията си

Различни видове разлагания

Задачи с повишена трудност

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Разпределителното свойство: $a (b + c) = a b + a c$ ‍