Доказателство: произведение на рационално и ирационално число е ирационално число

Искам в това видео да докажа набързо, Това, което искам да направя във видеото, че ако имаме рационално число и го умножим по ирационално число, това ще ни даде ирационално число. Препоръчвам ти да спреш видеото на пауза и да се опиташ да го докажеш самостоятелно. Ще ти дам подсказка. Можеш да го докажеш, като допуснеш противното. Допусни, че рационално число по ирационално ти дава рационално число. След това го преобразувай и виж дали няма да установиш, че това рационално число всъщност е ирационално. Приемам, че си опитал. И така, нека помислим малко. Казах, че ще го направим чрез доказване на противното. Нека да допуснем, че рационално по ирационално ни дава рационално число. Това рационално число ще изразим като отношение на две цели числа, а върху b. Това ирационално число ще означа просто с х... Твърдим, че а/b по х може да ни даде рационално число. Нека го наречем m/n. Нека кажем, че това е равно на m/n. И така, приемам, че едно рационално число, което може да бъде изразено като отношение на две цели числа, умножено по ирационално число, може да ни даде друго рационално число. Да видим дали можем да намерим някакво противоречие. Нека намерим ирационалното число. Най-добрият начин да го намерим, е да умножим и двете страни по реципрочното на това число ето тук. И така, нека умножим това по b/a. И с какво ще останем? Получаваме, че ирационалното число х е равно на m по b. Или можем да напишем това просто като mb/na. Защо това е интересно? Ами m е цяло число, b е цяло число, така че целият числител е цяло число. И после този целият знаменател е някакво цяло число. Така че тук имам отношение на две цели числа. Току-що изразих това, което допуснахме, че е ирационално число, като отношение на две цели числа. Така че сега имаме, че х трябва да бъде рационално. И това е нашето противоречие, защото приехме, че х е ирационално. И тъй като това предположение ни води до това противоречие ето тук, това предположение е грешно. Доказахме, че рационално по ирационално число е ирационално число.