Основно съдържание

Курс: Алгебра 2 > Раздел 2

Урок 5: Умножение на комплексни числа

Умножение на комплексни числа

Научи как да умножиш две комплексни числа. Например умножи (1+2i)⋅(3+i).

Комплексно число е всяко число, което може да бъде написано като

a + b i

, където

i

е имагинерната единица, а

a

b

са реални числа.

Когато умножаваме комплексни числа, е полезно да запомним, че свойствата, които използваме при извършването на аритметични действия с реални числа, действат по подобен начин при комплексните числа.

Понякога разглеждането на

i

като променлива, подобна на

x

, е полезно. Тогава само с няколко корекции в края можем да умножим точно по начина, по който сме очаквали да го направим. Нека разгледаме по-подробно това, като решим няколко примера.

Умножение на реално по комплексно число.

Пример

Умножи

- 4 п о (13 + 5 i)

. Представи полученото число във вида

a + b i

Решение

Ако инстинктът ти подсказва да разкриеш скобите и да умножиш по

- 4

, това е правилно! Да го направим!

\begin{aligned} - 4 (13 + 5 i) & = - 4 (13) + (- 4) (5 i) \\ = - 52 - 20 i \end{aligned}

Това е всичко! Използвахме разпределителното свойство, за да умножим едно реално число по комплексно число. Нека опитаме нещо малко по-сложно.

Умножение на имагинерно число по комплексно число

Пример

Умножи

2 i п о (3 - 8 i)

. Представи полученото число във вида

a + b i

Решение

Отново ще започнем с разкриване на скобите и умножаване на

2 i

по всеки член в скобите.

\begin{aligned} 2 i (3 - 8 i) & = 2 i (3) - 2 i (8 i) \\ = 6 i - 16 i^{2} \end{aligned}

На този етап отговорът не е във вида

a + b i

, тъй като съдържа

i^{2}

Знаем обаче, че

i^{2} = - 1

. Нека заместим и да видим докъде ще ни отведе това.

\begin{aligned} = 6 i - 16 i^{2} \\ = 6 i - 16 (- 1) \\ = 6 i + 16 \end{aligned}

Като използваме комутативното свойство, можем да представим отговора като

16 + 6 i

и по този начин получаваме

2 i (3 - 8 i) = 16 + 6 i

Провери знанията си

Задача 1

Умножи $3 п о (- 2 + 10 i)$ ‍.
Представи отговора си във вида $a + b i$ ‍.

Задача 2

Умножи $- 6 i п о (5 + 7 i)$ ‍.
Представи отговора си във вида $a + b i$ ‍.

Чудесно! Сега сме готови да продължим дори още по-нататък! Това, което следва, е най-типичният случай, който ще видиш, когато трябва да умножаваш комплексни числа.

Умножаване на две комплексни числа

Пример

Извърши умножението:

(1 + 4 i) (5 + i)

. Представи полученото число във вида

a + b i

Решение

В този пример някои намират за много полезно да разглеждат

i

като променлива.

Всъщност процесът на умножение на тези две комплексни числа е много подобен на умножението на два двучлена! Умножи всеки член на първото число по всеки член на второто число.

\begin{aligned} (1 + 4 i) (5 + i) & = (1) (5) + (1) (i) + (4 i) (5) + (4 i) (i) \\ = 5 + i + 20 i + 4 i^{2} \\ = 5 + 21 i + 4 i^{2} \end{aligned}

Тъй като

i^{2} = - 1

, заместваме

i^{2}

- 1

, за да получим желания вид

a + b i

\begin{aligned} = 5 + 21 i + 4 i^{2} \\ = 5 + 21 i + 4 (- 1) \\ = 5 + 21 i - 4 \\ = 1 + 21 i \end{aligned}

Провери знанията си

Задача 3

Извърши умножението: $(1 + 2 i) (3 + i)$ ‍.
Представи отговора си във вида $a + b i$ ‍.

Задача 4

Умножи $(4 + i) (7 - 3 i)$ ‍.
Напиши отговора си във вида $a + b i$ ‍.

Започни като умножиш всеки член от първото число по всеки член от второто число.

\begin{aligned} (4 + i) (7 - 3 i) & = 4 (7) + 4 (- 3 i) + i (7) + i (- 3 i) \\ = 28 - 12 i + 7 i + (- 3 i^{2}) \\ = 28 - 5 i - 3 i^{2} \end{aligned}

Тъй като

i^{2} = - 1

, заместваме

i^{2}

- 1

, за да получим желания вид

a + b i

\begin{aligned} = 28 - 5 i - 3 i^{2} \\ = 28 - 5 i - 3 (- 1) \\ = 28 - 5 i + 3 \\ = 31 - 5 i \end{aligned}

Задача 5

Умножи $(2 - i) (2 + i)$ ‍.
Напиши отговора си във вида $a + b i$ ‍.

Задача 6

Умножи $(1 + i) (1 + i)$ ‍.
Напиши отговори си във вида $a + b i$ ‍.

Задачи с повишена трудност

Задача 1

Нека $a$ ‍ и $b$ ‍ са реални числа. Колко е $(a - b i) (a + b i)$ ‍?

Задача 2

Извърши посоченото действие и опрости. $(1 + 3 i)^{2} \cdot (2 + i)$ ‍
Напиши отговора си във вида $a + b i$ ‍.

(1 + 3 i)^{2} \cdot (2 + i)

означава

(1 + 3 i) (1 + 3 i) (2 + i)

. За да намерим произведението, нека умножим първите две числа. След това можем да умножим резултата по

(2 + i)

\begin{aligned} (1 + 3 i)^{2} \cdot (2 + i) & = (1 + 3 i) (1 + 3 i) (2 + i) \\ = (1 + 3 i + 3 i + 9 i^{2}) (2 + i) \\ = (1 + 6 i + 9 i^{2}) (2 + i) \\ = (1 + 6 i + 9 (- 1)) (2 + i) \\ = (- 8 + 6 i) (2 + i) \\ = - 16 - 8 i + 12 i + 6 i^{2} \\ = - 16 + 4 i + 6 (- 1) \\ = - 22 + 4 i \end{aligned}

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.