Деление на квадратни изрази на линейни изрази с остатък: неизвестен член х

Оказва се, че делението на многочлени е много по-забавно, отколкото може да се очаква. Затова да продължим. Да кажем, отново, че някой те срещне на улицата и те попита: "Колко е (х^2 + 1), делено на (х + 2)?" Постави видеото на пауза и опитай самостоятелно. Искам да те предупредя обаче – това е малко по-сложно, отколкото очакваш. Добре, тук има два начина за решаване. Или можем да преработим числителя по такъв начин, че да съдържа (х + 2) по някакъв начин, или можем да използваме алгебрично деление. Да го направим по първия начин. Значи х^2 + 1, на пръв поглед не е ясно как можем да го разложим. Но можем да напишем някакъв израз, който съдържа множител (х + 2), и, доста интересно, не съдържа членове от първа степен. Защото не искаме тук никакви странни членове от първа степен. Най-доброто, за което се сещам, е да направим разлика на квадрати, като използваме (х + 2). Знаем, че (х + 2) по (х – 2) е равно на х^2 – 4. Ако тук напишем х^2 – 4, а после само трябва да добавим 5, за да получим +1. Ако напишем х^2 – 4, а после добавим плюс 5, този израз и този израз ето тук са напълно еквивалентни. Защо направих това? Сега мога да представя х^2 – 4 като (х + 2) по (х – 2). Мога да преработя целия израз като (х + 2) по (х – 2), всичко това върху (х + 2) плюс 5 върху (х + 2). При условие, че х не е равно на –2, тогава можем да разделим числителя и знаменателя на (х + 2). Тогава ще ни остане (х – 2) плюс 5/(х + 2), като добавяме това условие, ако искаме да кажем, че този израз е еквивалентен на първия израз, тогава х не трябва да е равно на –2. И тук можем да кажем: "Хей! х^2 + 1, делено на (х + 2) е равно на (х – 2), а после имаме остатък 5. Сега да отговорим на същия въпрос, или да преобразуваме този израз, като използваме алгебрично деление. Ще видим дали наистина то ще е по-лесно. Делителят е (х + 2), делимото е (х^2 + 1). Когато записвам това, трябва да внимавам много с различните места за различните степени. В израза х^2 + 1 няма член от първа степен, така че тук ще запиша 1. Втора степен, няма член от първа степен, а после имаме 1, което е от нулева степен или константа. Така правим същото упражнение – колко пъти се съдържа х в х^2? Гледаме членовете с най-висока степен. х се съдържа в х^2 х пъти, това е първа степен, затова го поставям в колоната за първа степен. х по 2 е 2х. х по х е х^2. Сега ще извадим. На какво е равно това? x^2 и –х^2 се унищожават. После изваждаме –2х, това може да разглеждаме като 0 по х тук горе, плюс 1, и ни остава –2х. После пренасяме отдолу 1, това е плюс 1. х се съдържа в –2х –2 пъти. Поставяме го в колоната с константите. –2 по 2 е –4. После –2 по х е –2х. Сега трябва да внимаваме много, защото искаме да извадим –2х –4 от –2х + 1. Можем да го разглеждаме по този начин или можем просто да умножим по –1. Така това става +2х + 4. После, 2х и –2х се унищожават. 1 плюс 4 е 5, като няма очевиден начин да разделим 5 на (х + 2), така че го наричаме остатък, както преди. Когато извършваме алгебрично деление, получаваме (х – 2) и остатък 5.