Деление на квадратни изрази на линейни изрази (без остатък)

Ако някой те срещне на улицата и ти даде следния израз: (х^2 + 7х + 10) делено на (х + 2) и поиска от теб да го опростиш. Спри видеото на пауза и опитай да го опростиш. Един начин да разсъждаваме за тази задача е: колко е (х^2 + 7х + 10) делено на (х + 2) на колко ще е равно? Добре, има два начина, по които можем да подходим. Единият е да опитаме да разложим числителя и да видим дали не съдържа множител, който е общ със знаменателя. Да опитаме. Правили сме го много, много пъти. Ако ти изглежда непознато, ти препоръчвам да преговориш разлагането на многочлени в другите материали в Кан Академия. Кои две числа имат сбор 7, а когато ги умножим, получаваме 10? Това могат да са числата 2 и 5. Можем да преработим този числител като (х + 2) по (х + 5). А в знаменателя, естествено, пак си имаме (х + 2). Сега е очевидно, че има общ множител. Когато х не е равно на –2, защото, ако х е равно на –2, целият израз е недефиниран, тъй като ще получим 0 в знаменателя . Така че, когато х е различно от –2, тогава можем да разделим числителя и знаменателя на (х + 2). Повтарям, причината да поставим това условие, е, че не можем да разделим числителя и знаменателя на 0. За всяка друга стойност на х (х + 2) е различно от 0, и тогава можем да разделим числителя и знаменателя на (х + 2), тези се съкращават, и ни остава само (х + 5). Това е друг начин да се мисли за това какво представлява този израз. Оригиналният израз може да се разглежда като (х + 5) за всяко х, което не е равно на –2. Другият начин да решим тази задача е чрез алгебрично деление, което е много аналогично на аритметично деление с опашка, което може би си спомняш, ако не се лъжа, от 4-ти клас. Това, което правиш, е да разделиш на (х + 2) (х^2 + 7х + 10). При този начин разглеждаме членовете с най-висока степен. Тук имаме х, а тук имаме х^2. И си задаваме въпроса колко пъти х се съдържа в х^2. Съдържа се х пъти. Записвам това в тази колона, защото х е просто х на първа степен. Можем да я разглеждаме като колоната на първата степен. Това е аналогично на позициите на цифрите, които учихме в началото, когато учихме числата, или как да групираме цифрите по позиции. А тук можеш да го разглеждаш като места на степените или нещо подобно. После взимаме това х и го умножаваме по целия израз. Значи х по 2 е 2х. Поставяме го в колоната на първата степен. х по х е х^2. После изваждаме тези неща тук, които са в жълто, от това, което имахме в началото в синьо. Можем да го направим по този начин. После ни остава 7х минус 2х, което е 5х. После х^2 минус х^2 е равно на 0. И пренасяме долу това +10. Повтарям, гледаме члена с най-висока степен. х се съдържа в 5х пет пъти. Това е нулева степен. Това е константа, така че записвам в колоната с константите. 5 по 2 е равно на 10. Пет по х е 5. После изваждаме тези от това, което имаме тук отгоре. Обърни внимание, че нямаме остатък. Интересното за това деление с опашка е, както вероятно сме показвали в друго видео или две, че всъщност можем да имаме остатък. Това е подходящо за случаи, при които техниката за разлагане не дава резултати сама по себе си. В този случай първият начин беше по-лесен, но вторият е различен начин да го решим. Можеш да кажеш: "Виж, (х + 2) по (х + 5) е равно на това." Ако искаш да преработиш този израз по начина, по който го направих тук, казваш: "този израз е равен на (х + 5), но трябва да наложим ограничение на дефиниционното множество, и казваш, че за да бъдат тези изрази напълно идентични, това се отнася за всички стойности на х, които са различни от минус 2.