Примери с теоремата на Безу

Дадена е графиката на функцията у равно на Р от х. Мога да го запиша ето така: у = Р(х). И после ни питат колко е остатъкът, когато разделим Р(х) на (х + 3). Постави видеото на пауза и опитай да го решиш самостоятелно, като в условието ни казват, че отговорът трябва да е цяло число. Предполагам, че си се досетил/а, че решението включва теоремата на Безу (за остатъка при делението на многочлени), според която, ако разделим многочлена Р(х) на израза (х + 3), какъвто и остатък да получим, този остатък можем да кажем, че е равен на k. Тази стойност k ще е това, което получаваме, когато изчислим многочлена за стойност на х, при която (х + 3) е равно на 0, или това се получава, когато изчислим стойността на многочлена за х = –3. Тук трябва да внимаваш много, защото понякога се допускат грешки. Често хората казват +3, а после изчисляват многочлена за х = +3, за да намерят остатъка. Не! Ако тук има плюс 3, тогава изчисляваш многочлена за х = –3, и ще получиш k. Колко е остатъкът, когато разделим Р(х) на (х + 3)? Той ще е равен на Р(–3). Р(–3) от графиката изглежда, че е равно на –2. Това е равно на –2, значи остатъкът е равен на –2 в този случай. Да решим още един пример. Всъщност ще са няколко примера. Тук ни казват, че Р(х) е равно на целия този израз, в който k е неизвестно цяло число – това е много интересно. Р(х) се дели на (х – 2) с остатък 1. Каква е стойността на k? Постави видеото на пауза и опитай да го решиш самостоятелно. Добре, тук във второто изречение ни казват, че Р(х) делено на (х – 2) има остатък 1. Това означава, че Р, но не от –2, а от +2, за всяка стойност на х, за която този израз ще бъде нула, тогава Р(2) е равно на 1. Можем да използваме горната информация, за да намерим колко е Р(2). Това е 2 на четвърта степен, минус 2 по 2 на трета степен, плюс k по 2 на втора степен. Значи по 2^2 минус 11, всичко това е Р(2) ето тук, което е равно на 1. 2 на четвърта степен е 16, после минус 2 по 2 на трета степен, това е отново 2 на четвърта степен, значи минус 16, плюс 4 по k минус 11, това е равно на 1, тези се унищожават. Да видим, ако добавим 11 към двете страни на равенството, получаваме 4k равно на 12. Делим двете страни на 4 и получаваме k равно на 3. Готови сме с решението. Да решим друг пример, всъщност нека са още два, защото това е толкова забавно. В следващата задача ни казват, че многочленът Р(х) се дели на различни неща, и ни питат какъв ще е остатъкът, когато разделим Р(х) на тези различни изрази. Трябва да намерим следните стойности на Р(х): Р от –4 и Р от 1. Спри видеото и опитай самостоятелно да решиш задачата. Добре, да видим, Р(–4), това е равно на остатъкът, когато Р(х) е разделено на колко? Може би се изкушаваш да кажеш (х –4), но те умишлено се опитват да те заблудят. Това ще е остатъкът, когато Р(х) е делено на (х + 4). Тук ни казват, че Р(х), делено на (х + 4) има остатък 3. Значи това тук е 3. По същия начин, Р(1), това е остатъкът, когато Р(х) е разделено не на (х + 1), а на (х – 1). Когато разделим Р(х) на (х – 1), остатъкът е 0. Да решим още един пример. Отново Р(х) е многочлен, после ни дават няколко стойности на Р(х). Питат ни какъв е остатъкът, когато разделим Р(х) на (х – 3). Спри видеото и помисли самостоятелно. Добре, правили сме това много пъти, остатъкът, когато разделим Р(х) на (х – 3), това не е Р(–3), това е Р(3). Каквато е стойността на х, която прави този израз (делител) равен на 0. Значи Р(3) е равно на 5. Същата ситуация – колко е остатъкът, всъщност не е същото, това е интересно. Колко е остатъкът, когато разделим Р(х) на х? Знам, че сигурно се чудиш с какво число работим тук. Но ако преработим този израз и вместо да кажем делено на х, ако кажем делено на (х + 0), тогава вероятно веднага ще се досетиш. Или ако напиша делено на (х – 0), сигурно веднага ще ти просветне. Това ще бъде Р(0), като тук няма плюс или минус 0, това е Р(0). Дадено е, че Р(0) е равно на –1, и сме готови с решението.