Основно съдържание
Алгебра 2
Курс: Алгебра 2 > Раздел 9
Урок 4: Мащабиране на функцииХоризонтално мащабиране на функции: примери
Графиката на функцията f(k⋅x) е хоризонтално мащабираната графика на f. Виж различни примери как съпоставяме двете функции и техните графики, за да намерим стойността на k.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
Дадена е графиката на
функцията f. Добре. Функцията g е дефинирана
като g(х) равно на f(2х). Каква е графиката на g? Постави видеото на пауза
и опитай да отговориш самостоятелно. Добре, сега да го решим заедно. Начинът, по който
аз подхождам, е да направя таблица. Ще има колона за
стойностите на х, после колона за
стойностите на g(х). Разбира се, g(х) е равно
на f(2х). Значи, когато х е... да видим, нека х е... можем да изберем точка
като х равно на 0, така че g(х)
ще бъде f от 2 по нула. Значи това е f от 2 по 0, което е f от нула, което е равно на малко
повече от 4. Това е f(0). И двете графики ще имат
една и съща пресечна точка с оста у, но интересните неща
наблюдаваме в тези точки, които са по-отдалечени
от оста у, или когато х нараства
във всяка от двете посоки, или когато х става по-голямо
в двете посоки по отношение на нулата. Да помислим какво се случва,
когато х е равно на 2. Когато х е равно на 2, g(2) ще е равно на f от 2 по 2, 2 по 2 е равно на 4,
значи на f(4). Ние знаем стойността
на f от 4. f от 4 е равно на 0. Значи g(2) е равно на f(4),
което е равно на 0. Обърни внимание, съответстващите си
точки един вид стават сбити или сгъстени, или притиснати, в хоризонтална посока. Това, което виждаш,
че се случва, поне в едната страна
на графиката, е, че всичко се случва
малко по-бързо. Това, което се случва
при определена стойност на х, сега се случва за половината
от тази стойност на х. Значи тази част от графиката
ще изглежда приблизително... опитвам се да я начертая
колкото се може по-добре – ще изглежда като нещо такова. Всичко се случва
два пъти по-бързо. А какво се случва в
отрицателната посока? Да видим колко е g от –2. g(–2) е равно на f от 2 по –2, 2 по –2 е равно на –4, което пак е равно на 0. Значи g(–2) е равно на 0. Може би се чудиш
защо избрах 2 и –2. Логиката е, че нещата
стават по-компресирани. Всичко се случва
два пъти по-бързо. Това, което наблюдаваме
при х равно на 4, сега се случва при х = 2. Това, което се случва
при х = –4, сега се случва при х = –2. Забелязах, че в тези
точки е много ясно, че х = 4 и х = –4
при графиката на f, така че просто взимам половината
от тези стойности на х, така избрах стойностите
за х ето тук. И после нашата графика
ще изглежда приблизително така. Тя ще изглежда като
сбита версия отдясно и отляво. Да решим друг пример. Тук ни е дадена само
графиката на функцията f, даден ни е алгебричният ѝ израз. Каква е графиката на g(х), която е равна на
показания израз? Постави видеото на пауза
и опитай самостоятелно. Добре, ключовото тук е
да намерим връзката между f(х) и g(х). От това, което виждаме,
основната разлика е, че във f(х) имаме х,
а тук в g(х) имаме х/2. Значи навсякъде,
където има х, ще го заместим с х/2. Друг начин да разсъждаваме
е, че функцията g(х) е равна на f, но не от х,
а на f от х върху 2. Друг начин да го разглеждаме
е, че функцията g(х) е равна на f от 1/2 по х. Сега можем да направим
същото упражнение. Дадени са ни някои
интересни точки, точките 2... или точката х = 2,
точката х = 4 и точката х = 6. Да помислим. Миналия път, когато
g(х) беше равно на 2х, нещата се случваха
два пъти по-бързо. Сега нещата ще се случват
два пъти по-бавно. Това, което бих направил – ще направя тук една таблица. Интересните стойности
на х за мен са – ако взема половината
от стойността на х в тях, тогава ще получа
една от тези точки. Ще го запиша по следния начин –
половината, 1/2 по х, и сега мога да видя g(х), която е равна на f от 1/2 по х,
какви стойности ще има. Значи искам моето 1/2 х да е... да видим, може да е
две, четири, шест. Защо избирам тези стойности? Защото в тези точки стойността
на f се вижда много добре. Значи, ако 1/2 по х е равно на 2,
тогава х е равно на 4. Ако 1/2 е 4, тогава х е 8. И ако х е 12, тогава
1/2 по х е 6. Сега можем да кажем,
че g(4) е равно на f(2), което е равно на 0. Ето затова избрах
2, 4 и 6. Много лесно е да намерим
f от 2, f от 4 и f от 6. Тези точки са дадени
много ясно. Значи g от 8 ще е равно на f от 1/2 по 8, или на f от 4, което е равно на –4. После g от 12 е равно
на f от 6, 6 е половината на 12,
и е равно на 0 отново. Сега можем да нанесем
тези точки, и ще добием обща представа
за формата на графиката. Да видим. g от 4 е равно на 0. g от 8 е равно на –4, ето тук, а после g от 12 е отново 0. Значи всичко е
някак разтеглено. Ето така – всичко е
разпънато, поне в хоризонтална посока,
това е един начин да го опишем. Можеш да видиш, че
тази точка от графиката на f кореспондира на тази
точка от графиката на g. Тя е два пъти по-далеч от
началото на координатната система, защото всичко тук нараства
два пъти по-бързо. Въвеждаме х и получаваме
половината от него, а после го въвеждаме във f. После тази точка ето тук съответства на тази точка. Вместо това да се случва при х = 4,
точката, в която е този връх, това сега е при х = 8. И последно, но не по значение, тази точка ето тук
съответства на тази точка. Вместо това да е при х = 6,
сега е при х = 12. Всичко е разтеглено. Да решим още един пример. f е равна на този израз тук. Трябва да внимаваме,
защото тук има корен трети. g е хоризонтално мащабирана
версия на функцията f. Дадени са графиките на функциите, като
f е с плътна линия, а g е с пунктирана. Каква е формулата на
функцията g? Постави видеото на пауза и опитай
да я определиш самостоятелно. Добре, сега да го
решим з аедно. Изглежда, че са ни
дадени някои точки, които си съответстват
помежду си. За да отидем от f до g –
изглежда, че тези съответни точки са били сгъстени към
началото на координатната система. Това, което виждаме, е,
че f от –3 изглежда е равно
на g от –1. f от 6, ето тук, изглежда
е равно на g от 2. Друг начин да разглеждаме
този пример, е, че за всяка входна стойност
х за функцията g нейният еквивалент е 3 по х
като аргумент на функцията f. Значи g(х) е равно на f(3х). За да намерим уравнението
на функцията g, трябва просто да сметнем f(3х). Значи f(3х) ще е равно – можем просто тук
да сложим знак за равенство, f(3х) ще е равно на –3
по корен трети от – вместо х поставяме 3х, 3х плюс 2, и после,
извън корена, имаме плюс 1. Ето на това е равно g(х). Равно е на f(3х), което
е ето този израз. Заместваме х с 3х
и сме готови.