Хоризонтално мащабиране на функции: примери

Дадена е графиката на функцията f. Добре. Функцията g е дефинирана като g(х) равно на f(2х). Каква е графиката на g? Постави видеото на пауза и опитай да отговориш самостоятелно. Добре, сега да го решим заедно. Начинът, по който аз подхождам, е да направя таблица. Ще има колона за стойностите на х, после колона за стойностите на g(х). Разбира се, g(х) е равно на f(2х). Значи, когато х е... да видим, нека х е... можем да изберем точка като х равно на 0, така че g(х) ще бъде f от 2 по нула. Значи това е f от 2 по 0, което е f от нула, което е равно на малко повече от 4. Това е f(0). И двете графики ще имат една и съща пресечна точка с оста у, но интересните неща наблюдаваме в тези точки, които са по-отдалечени от оста у, или когато х нараства във всяка от двете посоки, или когато х става по-голямо в двете посоки по отношение на нулата. Да помислим какво се случва, когато х е равно на 2. Когато х е равно на 2, g(2) ще е равно на f от 2 по 2, 2 по 2 е равно на 4, значи на f(4). Ние знаем стойността на f от 4. f от 4 е равно на 0. Значи g(2) е равно на f(4), което е равно на 0. Обърни внимание, съответстващите си точки един вид стават сбити или сгъстени, или притиснати, в хоризонтална посока. Това, което виждаш, че се случва, поне в едната страна на графиката, е, че всичко се случва малко по-бързо. Това, което се случва при определена стойност на х, сега се случва за половината от тази стойност на х. Значи тази част от графиката ще изглежда приблизително... опитвам се да я начертая колкото се може по-добре – ще изглежда като нещо такова. Всичко се случва два пъти по-бързо. А какво се случва в отрицателната посока? Да видим колко е g от –2. g(–2) е равно на f от 2 по –2, 2 по –2 е равно на –4, което пак е равно на 0. Значи g(–2) е равно на 0. Може би се чудиш защо избрах 2 и –2. Логиката е, че нещата стават по-компресирани. Всичко се случва два пъти по-бързо. Това, което наблюдаваме при х равно на 4, сега се случва при х = 2. Това, което се случва при х = –4, сега се случва при х = –2. Забелязах, че в тези точки е много ясно, че х = 4 и х = –4 при графиката на f, така че просто взимам половината от тези стойности на х, така избрах стойностите за х ето тук. И после нашата графика ще изглежда приблизително така. Тя ще изглежда като сбита версия отдясно и отляво. Да решим друг пример. Тук ни е дадена само графиката на функцията f, даден ни е алгебричният ѝ израз. Каква е графиката на g(х), която е равна на показания израз? Постави видеото на пауза и опитай самостоятелно. Добре, ключовото тук е да намерим връзката между f(х) и g(х). От това, което виждаме, основната разлика е, че във f(х) имаме х, а тук в g(х) имаме х/2. Значи навсякъде, където има х, ще го заместим с х/2. Друг начин да разсъждаваме е, че функцията g(х) е равна на f, но не от х, а на f от х върху 2. Друг начин да го разглеждаме е, че функцията g(х) е равна на f от 1/2 по х. Сега можем да направим същото упражнение. Дадени са ни някои интересни точки, точките 2... или точката х = 2, точката х = 4 и точката х = 6. Да помислим. Миналия път, когато g(х) беше равно на 2х, нещата се случваха два пъти по-бързо. Сега нещата ще се случват два пъти по-бавно. Това, което бих направил – ще направя тук една таблица. Интересните стойности на х за мен са – ако взема половината от стойността на х в тях, тогава ще получа една от тези точки. Ще го запиша по следния начин – половината, 1/2 по х, и сега мога да видя g(х), която е равна на f от 1/2 по х, какви стойности ще има. Значи искам моето 1/2 х да е... да видим, може да е две, четири, шест. Защо избирам тези стойности? Защото в тези точки стойността на f се вижда много добре. Значи, ако 1/2 по х е равно на 2, тогава х е равно на 4. Ако 1/2 е 4, тогава х е 8. И ако х е 12, тогава 1/2 по х е 6. Сега можем да кажем, че g(4) е равно на f(2), което е равно на 0. Ето затова избрах 2, 4 и 6. Много лесно е да намерим f от 2, f от 4 и f от 6. Тези точки са дадени много ясно. Значи g от 8 ще е равно на f от 1/2 по 8, или на f от 4, което е равно на –4. После g от 12 е равно на f от 6, 6 е половината на 12, и е равно на 0 отново. Сега можем да нанесем тези точки, и ще добием обща представа за формата на графиката. Да видим. g от 4 е равно на 0. g от 8 е равно на –4, ето тук, а после g от 12 е отново 0. Значи всичко е някак разтеглено. Ето така – всичко е разпънато, поне в хоризонтална посока, това е един начин да го опишем. Можеш да видиш, че тази точка от графиката на f кореспондира на тази точка от графиката на g. Тя е два пъти по-далеч от началото на координатната система, защото всичко тук нараства два пъти по-бързо. Въвеждаме х и получаваме половината от него, а после го въвеждаме във f. После тази точка ето тук съответства на тази точка. Вместо това да се случва при х = 4, точката, в която е този връх, това сега е при х = 8. И последно, но не по значение, тази точка ето тук съответства на тази точка. Вместо това да е при х = 6, сега е при х = 12. Всичко е разтеглено. Да решим още един пример. f е равна на този израз тук. Трябва да внимаваме, защото тук има корен трети. g е хоризонтално мащабирана версия на функцията f. Дадени са графиките на функциите, като f е с плътна линия, а g е с пунктирана. Каква е формулата на функцията g? Постави видеото на пауза и опитай да я определиш самостоятелно. Добре, сега да го решим з аедно. Изглежда, че са ни дадени някои точки, които си съответстват помежду си. За да отидем от f до g – изглежда, че тези съответни точки са били сгъстени към началото на координатната система. Това, което виждаме, е, че f от –3 изглежда е равно на g от –1. f от 6, ето тук, изглежда е равно на g от 2. Друг начин да разглеждаме този пример, е, че за всяка входна стойност х за функцията g нейният еквивалент е 3 по х като аргумент на функцията f. Значи g(х) е равно на f(3х). За да намерим уравнението на функцията g, трябва просто да сметнем f(3х). Значи f(3х) ще е равно – можем просто тук да сложим знак за равенство, f(3х) ще е равно на –3 по корен трети от – вместо х поставяме 3х, 3х плюс 2, и после, извън корена, имаме плюс 1. Ето на това е равно g(х). Равно е на f(3х), което е ето този израз. Заместваме х с 3х и сме готови.