Диференцируемост в точка: графично зададена функция

Графиката на функцията f е дадена по-долу. Има вертикална допирателна в точката (3; 0). В (3; 0) има вертикална допирателна. Нека да го начертая. Има вертикална допирателна точно ето там и хоризонтална допирателна в точката (0; –3). В (0; –3), т.е. има хоризонтална допирателна точно там. А също така има хоризонтална допирателна в (6; 3). (6; 3), нека да начертая хоризонталната допирателна. Ето така. Избери всички стойности x, за които функцията f не е диференцируема. Избери всички, които изпълняват условието. f'...Ще го запиша в съкратен вид. Казваме, че не може да има f', когато са изпълнени три условия. Относно първото условие можеш да кажеш, че имаме вертикална допирателна. Вертикална допирателна. Защо вертикалната допирателна е място, където е трудно да се определи нашата производна? Припомни си, че нашата производна, е реално търсене на скоростта на изменение по y спрямо x. Но когато имаш вертикална допирателна, и изменяш x много малко, имаш безкрайно изменение по y, в положителна или в отрицателна посока. Това е ситуация, в която нямаш производна. Казват ни къде имаме вертикална допирателна, или това е, където x = 3. Нямаме... f не е диференцируема в точката x = 3, поради вертикалната допирателна. Може би ще кажеш: а какво става с хоризонталните допирателни? Хоризонталните допирателни са си съвсем наред. Хоризонталните допирателни са места, където производната е равна на нула. f'(6) = 0. f'(0) = 0. Къде има други случаи? Друг случай, където няма да можеш да определиш производна, е където графиката е прекъсната. Прекъсната е. Виждаме ето тук, че за x = –3 графиката е прекъсната. В точката x = –3 графиката е прекъсната. Това са единствените места, където f не е диференцируема, които ни дават като възможности. Не знаем какво прави графиката наляво или надясно. Тези там предполагам, че ще бъдат интересни случаи. Но не са ни дали тези възможности тук. Вече казахме, че за x = 0 производната е 0. Дефинирана е. Там е диференцируема. За x = 6 производната е 0. Имаме хоризонтална допирателна. И там е дефинирана. Нека да направим друг пример от тези. Всъщност, не включих...Но мисля, че тук ще стане ясно. Има и трети случай, където имаме нещо, което наричам "остър завой". Остър завой. Това не е точна математическа дефиниция, но е лесно да се разпознае. Остър завой е нещо като това или като...О, не. Това не изглежда твърде остро или повече като това. Причината да имаш тези остри извивки, или остри завои, обратно на нещо, което изглежда по-заоблено като това. Причината функцията да не е диференцируема там, е, че когато се приближаваме към тази точка от която и да е страна, то имаме различни наклони. Забележи, че нашият наклон е положителен ето тук, когато x нараства, тук и y нараства. Докато наклонът ето тук е отрицателен. Когато се опитваш да намериш границата на нашия наклон, когато се приближаваш към тази точка, тя няма да съществува, защото е различна от лявата и от дясната страна. Ето защо острите завои... Всъщност не виждам остри завои тук, така че това не е приложимо за този пример. Нека да решим още един пример. Всъщност този вече има остри завои. Това може да е интересно. Графиката на функцията f e дадена отляво ето тук. Има вертикална асимптота в точката x = –3. Виждаме го. Има и хоризонтална асимптота в точката y = 0. От този край на кривата, когато x клони към минус безкрайност, изглежда, че y клони към 0. Има и друга хоризонтална асимптота в точката y =4. Когато x клони към безкрайност, изглежда, че графиката ни слиза надолу към y = 4. "Изберете стойностите x, за които f не е диференцируема." Първо, можем да помислим за вертикални допирателни. Не изглежда да има някакви вертикални допирателни. Тогава можем да помислим къде f е прекъсната. Определено е прекъсната там, където имаме тази вертикална асимптота ето тук. Прекъсната е, когато x = –3. Прекъсната е също и за x = 1. Последната ситуация, където няма да е диференцируема, е когато имаме остър завой, или може да гледаш на него като на остър връх на графиката. Виждам остър връх точно ето тук. Забележи, че когато се приближаваме отляво, наклонът изглежда постоянен. Не знам, но може би е нещо като +3/2. Докато, когато тръгнем от дясната страна на това, изглежда, че наклонът става отрицателен. Ако искаше да намериш границата на наклона, когато се приближаваме от различните страни, което действително е това, което се опитваме да направим, то когато се опитваш да намериш производната, тя няма да може да се определи, защото е различна от двете страни. f също не е диференцируема за това x, където получаваме този остър връх ето тук. Ако искаше да онагледиш производната, което ще направим в бъдещи уроци, ще видиш, че производната е прекъсната в тази точка. Нека да отбележа това. След това може да проверим x = 0. x = 0 е напълно добре. Намираме се в точка, където нашата допирателна определено не е вертикална. Определено е непрекъсната там. Определено нямаме остри върхове или ръбове. Напълно диференцируема е за x = 0.