Работен пример: Приближение с локална линеаризация

Знаем, че функцията f е двойно диференцируема и f(2) = 1, f'(2) = 4, a f''(2) = 3. Каква е приблизителната стойност на f(1,9), като използваш допирателната към графиката на f в точката x = 2? Спри видеото и провери дали можеш да се справиш самостоятелно. Тази задача е взета от предишен тест по математически анализ. Добре, нека сега да я решим заедно. Ако действително я решавах на изпит, щях просто да се заема със същността на задачата и да намеря уравнението на допирателната, която минава през точката (2; 1). След това щях да си задам въпроса: "Добре, когато x = 1,9, каква е стойността на y?". И това ще бъде моето приближение. Но за целите на учебния процес и вникване в логиката, нека се уверим, че разбираме какво се случва. Нека да начертая това. Нека да кажем, че това е оста y, а това е оста x. Това е x = 1. Това е x = 2. Това е y = 1. Знаем, че точката (2; 1), е на графиката на y = f(x). Знаем, че това е ето тази точка тук. Знаем също и наклона (ъгловия коефициент) на допирателната. Наклонът на допирателната е 4, така че ще изглежда по подобен начин. Вероятно ще е дори по-стръмна от това. Наклонът на допирателната ще изглежда по следния начин. Не знаем много за допирателната. Знаем втората производна тук, но според условието не знаем как действително изглежда функцията. Функцията може да изглежда по следния начин. Нека просто да начертая нещо. Функцията може да изглежда по следния начин. Опитваме се да намерим колко е f(1,9). Ако x = 1,9, т.е. f(1,9), и функцията изглежда по този начин, то това може да е стойността ето тук. Но не знаем със сигурност, защото не знаем много за функцията. Но това, което предлагат да направим, е да използваме тази допирателна. Ако знаем уравнението на тази допирателна тук, бихме могли да се запитаме: "Как изглежда допирателната в точката x = 1,9?". Когато x = 1,9, това e ето тази точка тук. Тогава бихме могли да използваме това като приближение за f(1,9). За да направим това обаче, трябва да знаем уравнението на допирателната. За целта може да използваме уравнение по дадени точка и ъглов коефициент Трябва просто да запишем y минус, а стойността y, която знаем, лежи на тази права, т.е. точката (2; 1), която знаем, е върху правата. Така че y – 1 ще бъде равно на наклона на допирателната, който знаем, че ще бъде равен на 4, умножен по x минус стойността за x, която отговаря на тази стойност за y, т.е. x – 2. Сега просто трябва да заместим x = 1,9, за да получим приблизителна стойност за f(1,9). Може да запишем, че y – 1 = 4 * (1,9 – 2). 1,9 – 2 = – 0,1 И нека да видим 4 * (– 0,1) се опростява до –0,4. Сега прибавяш 1 към двете страни и след това получаваш, че y = 0,6. Не съм го начертал в мащаб, т.е. 0,6 може да е някъде по-близо до тук, но ето, че го получихме. Това е нашето приближение за f(1,9), което е отговор B. И сме готови. Интересно нещо, което да отбележим, е, че не се наложи да използваме всички данни, които имаме. Не се наложи да използваме данните за втората производна, за да решим задачата. Ако попаднеш в подобна ситуация, не се съмнявай много в себе си. Понякога в задачите дават ненужна информация.