Намиране на обем чрез напречни сечения: полукръгове

Това е графиката на функцията х + у = 1. Нека областта под тази графика, но все още в първи квадрант, да е основата на тримерно тяло. Значи тази област ето тук е основата на тримерно тяло. За това тримерно тяло знаем, че ако направим сечения, които са перпендикулярни на оста х, за тези сечения можем да кажем, това е успоредно на оста у, да кажем, че тук ето така правим сечение, и знаем, че то е с формата на полукръг. Ако имаме малко по-различна гледна точка към същото тримерно тяло, ще видим нещо такова. Координатната система сега лежи тук отдолу, и ние гледаме отгоре. Това сечение, ако гледаме под ъгъл, и ако тялото е прозрачно, това тук е това сечение. Може да е това сечение тук, което има форма на полукръг. Ако направим сечение тук, по протежение на оста у, това ще е това сечение. По-голям полукръг. Като имаш предвид казаното, те насърчавам да спреш видеото и да опиташ самостоятелно да намериш обема на това, което съм щриховал. Обемът на това тяло, което направих. Това тримерно тяло, което се опитвам да илюстрирам. Предполагам, че опита. Един начин за разсъждение е да разгледаме всяко от тези сечения, да разделим тялото на много такива дискове. Ако намерим обема на всеки от тези дискове, и после ги сумираме, това ще е доста добро приближение за обема на цялото тяло. После, ако вземем границата, като имаме безкраен брой такива дискове, които са безкрайно тънки, тогава ще получиш точния обем. Първо да видим случая с приближението. Да кажем, че точно тук на оста х, ще имаме диаметър на диска х. Сега просто трябва да преработим х + у = 1. Това е същото като функцията f(х) или у = 1 – х. Диаметърът на този кръг тук, само да поясня – диаметърът на този кръг е тази височина, която е равна на разликата между у = 1 – х и оста х, или между 1 – х и х = 0. Това ще бъде, като функция от х, диаметърът ще бъде 1– х. Сега, за да намерим повърхнината на кръг, или ако искаме да намерим площта на кръг, знаем, че тя е равна на πr^2. За полукръг трябва да я разделим на две. Значи колко ще бъде радиусът? Само да увелича малко. Колко е радиусът на един от тези полукръгове? Можем да начертаем радиуса ето така. Това е най-добрият ми опит да го направя. Ще изглежда като нещо такова. Опитвам се да го направя под ъгъл. Радиусът е половината на диаметъра, нали? Диаметърът е 1– х. Радиусът ще бъде (1–х)/2. Значи това разстояние е (1 – х)/2, също и това. Това разстояние е (1 – х)/2. Значи (1 – х)/2 е равно на радиуса. Каква е площта на тази страна ето тук? Ако това е пълен кръг, ще бъде πr^2, за полукръг ще бъде πr^2/2. Ще го запиша, площта е равна на πr^2/2, защото това е полукръг. По отношение на х площта е функция от х, ще го запиша така: площта е функция от х, равна е на π/2 по ((1 – х)/ 2)^2. И ако търсим обема само на този диск, тогава умножаваме тази площ по дебелината. Просто умножаваме по дебелината. Можем да означим това като dх, или делта х. Можем да наречем дебелината делта х. Само да поясня – това е площта. Обемът на един от тези дискове е равен на... ще използвам един и същ цвят, е равен на π/2 по ((1 – х)/2)^2, по височината. Площта по височината. Това е обемът на един от тези полудискове. Обемът на цялото тяло можем да намерим приблизително, като съберем тези, или като вземем граница за нашето делта х, което е много, много малко и имаме безкраен брой от тези супер тънки дискове. Ако вземем границата, ще съставим определен интеграл. Можем да вземем определен интеграл, така че обемът, който търсим, обемът на това тяло, ще бъде равен на определен интеграл от х = 0 до х = 1. Тук пресичаме оста х. х = 0 и х = 1, после интегрираме безкраен брой от тези дискове, които са безкрайно тънки. Става π/2, и колко е (1 – х)^2? Ще го реша за чисто удоволствие. Това е равно на (х – 1)^2. Това ще стане х^2 – 2х + 1. и после 2 на квадрат е 4, върху 4. Вместо делта х, ще запиша dх. Ще запиша dх, защото търся границата, тъй като тези стават безкрайно малки, а имаме безкрайно много. Събираме безкрайно голям брой от тях. Обемът ще бъде – само трябва да решим този интеграл. Ако усещаш прилив на вдъхновение, спри видеото и опитай да решиш интеграла. Нека да изнесем част от тези константи. Тук ще стане π/8. Обемът ще бъде равен на π/8 по определен интеграл от нула до 1 от (х^2 – 2х + 1)dх, което е равно на π/8... Примитивната функция на това е х^3/3 – х^2 + х. Ще го изчислим за 0 и за 1. Това ще бъде равно на π/8... Когато го сметнем за 1, получаваме 1/3 –1 + 1. Това е 1/3. Когато го сметнем за нула, получаваме 0 – 0 + 0. Това е нула, така че става просто π/8 (1/3), което е π/24 и сме готови.