Разясняване на втората част на фундаменталната теорема на анализа

Нека е дадена функция s от t, която представлява местоположението (позицията) като функция от времето. Ще изобразя една възможна функция s от t ето тук. Хоризонталната ос представя времето. Просто ще начертая нещо. Ще изглежда като парабола. Можеше да използвам някакъв общ случай, но искам да опростя нещата за себе си. Чертая графика на функция, подобна на парабола. Тази ос е оста у. Може дори да означим функцията y равно на s от t. Това е графиката на позицията като функция на времето. Нека сега помислим какво се случва, ако разгледаме промяната на позицията между два момента t. Нека единият момент е a, което е ето тук, а след това този момент тук е момент b. Момент b е ето тук. Какво е изменението на позицията между момент а и момент b? В момент b се намираме в позиция s от b. А в момент а се намираме в позиция s от а. Тогава изменението на позицията между момент а и момент b е следното – ще го запиша, може би за теб е очевидно, но нека да го запишем. Изменението между моментите a и b ще бъде равно на s от b, т.е тази позиция, минус ето тази позиция, или минус s от а. Това не е нещо неочаквано дотук. Нека сега помислим обаче какво се случва, ако търсим производната от тази функция тук. Какво се случва, когато намерим производната от позицията като функция на времето? Припомни си, че производната представлява наклонът на допирателната към графиката във всяка една точка от графиката на функцията. Нека изберем ето тази точка тук и да покажем наклона на допирателната. За едно много малко изменение във времето t – преувеличавам го визуално – за едно много, много малко изменение във времето t, какво е изменението на позицията? Означаваме го като ds/dt, което е и производната на функцията на позицията в произволен момент от времето. Когато говорим за скоростта, с която се променя позицията спрямо времето, то как се нарича това? Това представлява скоростта на движение. Ето този израз е равен на скоростта на движение. Нека обаче използвам различни означения за това. Този израз е функция на времето. Можем да запишем, че е равен на s' от t. Това са просто два различни начина да запишем производна на s спрямо времето t. По този начин става малко по-ясно, че това представлява функция на времето. Знаем, че този израз е абсолютно същото нещо като скоростта, която е функция на времето, и я записваме като v от t. Нека покажем ето тук долу как би изглеждала v от t. Нека я начертаем. Ще начертая още една координатна система тук долу. Изглежда много сходно на първоначалната. Осигурявам си малко повече място, така че да изглежда наистина добре. И сега да изобразя v от t. Отново, това е оста у, а това оста t, и ще изобразя у равно на v от t. Ако функцията у наистина е парабола, то тогава наклонът ето тук е 0, т.е. скоростта на изменение е 0, а след това продължава да нараства. Наклонът става все по-стръмен и по-стръмен. Тогава v от t би могла да изглежда ето така. Това е графиката на y равно на v от t. Като използваме тази графика, да помислим как да представим разстоянието, или изменението на позицията между момент а и момент b. Нека отново си припомним Римановите суми и да помислим какво представя площта на един много малък правоъгълник Нека разделим тази площ на множество правоъгълници. Ще ги направя сравнително големи правоъгълници, само за да имаме място за работа, а ти си представи, че са много по-малки. Ще използвам лява Риманова сума, само защото сме правили много такива. Можеш да използваш и десни Риманови суми. Може да използваме и суми на трапци. Можем да използваме всичко, което искаме. След това продължаваме ето така. Засега ще направя само три броя. Тук ще направя три. Това действително е много грубо приближение, но можеш да си представиш, че може да е още по-точно. Какво представлява площта на всеки един от тези правоъгълници? На какво е приближение? За този ето тук имаме f от а или мога да кажа v от а. Скоростта в момент а е височината в тази точка. А разстоянието ето тук е изменението на времето t, което е ∆t. Площта на този правоъгълник е скоростта в дадения момент по изменението на времето. На какво е равно произведението на скоростта в този момент по изменението на времето? Това ще бъде равно на изменението на позицията. Получаваме приблизително големината на изменението на позицията в ето този интервал от време. Тогава площта на ето този правоъгълник отново е приближение на изменението на позицията в следващия интервал ∆t. След това можеш да си представиш, че това ето тук, е приближение на изменението на позицията в следващия интервал ∆t. Ако наистина искаш да намериш изменението на позицията между a и b, можеш да използваш римановата сума като приближение. Тогава намираме сумата от v от t за интервала от i = 1 до i = n. Ще използваме лява риманова сума, но можеш да използваш средна точка, или трапеци, или дясна риманова сума. Просто ще използвам обаче лява сума, защото това изобразих ето тук: v от t от i минус 1. Това ще бъде t0 или точка а. Това е първият правоъгълник. За първия правоъгълник използваме функцията, изчислена в t0. За втория правоъгълник използваме функцията, изчислена в t1. Това вече сме го правили в множество видео уроци. След това умножаваме по всяко едно от измененията във времето. Това ще бъде приближение на цялата площ. Нека да го изясня – ∆t е равно на b минус а върху броя интервали, които имаме. Вече знаем от предишните видео уроци, че когато разглеждаме римановите суми, че те са приближение на две неща. Току-що говорихме за приближение на изменението на позицията. Това обаче е приближение и на нашата площ. Записвам го ето тук. Искаме да получим приблизителната стойност на промяната на позицията. Това е равно и на изменението на площта под кривата. Надявам се, че това те удовлетворява. Можеш да изчислиш площта под кривата, което в случая би било много лесно, защото е трапец. Но дори това да е някаква странна функция, все още е валидно, че когато изчисляваш площта под кривата на функцията на скоростта, то всъщност намираш изменението на позицията. Това са двете неща. Вече знаем какво можем да направим, за да намерим точната площ под кривата, или да получим точното изменение на позицията. Просто използваме много правоъгълници. Вземаме границата от броя на правоъгълниците, които имаме, когато броят клони към безкрайност. Намираме границата, когато n клони към безкрайност. Когато n клони към безкрайност, понеже ∆t е равно на (b – a), разделено на n, то ∆t ще бъде безкрайно малка стойност. Ще бъде равно на dt и това един от начините да го разглеждаш. Вече знаем как математически да запишем това. Това е един от начините да разглеждаш риманов интеграл. Просто използваме лява риманова сума. Припомням, че можем да използваме дясна риманова сума и т.н., и т.н. Можехме да използваме по-общ вид на римановата сума, но този също ще свърши работи. Тогава този израз е равен на определен интеграл от v от t, dt, между а и b. Това е един от начините да кажем, че ако търсим точната площ под кривата на скоростта– което е равно на точното изменение на позицията между a и b, то можем да го представим по този начин. Това е границата на тази риманова сума, когато n клони към безкрайност, или определен интеграл от a до b, v от t, dt. Какво обаче установихме току-що? Припомни си следното. Можем да наречем този интеграл точното изменение на позицията между моментите a и b. Вече намерихме на какво е равно точното изменение на позицията между моментите a и b. Равно е на този израз ето тук. Сега вече става интересно. Разполагаме с начин за изчисление на този определен интеграл. Като идея знаем, че това е точното изменение на позицията между моментите a и b. Вече обаче открихме начин за намиране на точното изменение на позицията между моментите a и b. Нека запиша всичко това. Знаем, че определеният интеграл между a и b от v от t, dt, е равен на s от b минус s от а – нека го запиша с нов цвят – където s от t е следното. Знаем, че v от t е производната на s от t, така че можем да заявим, че s от t е примитивната функция на v от t. Това означение, въпреки че съм го записал по много нестандартен начин чрез скоростта, е втората част на фундаменталната теорема на математическия анализ. Може би се чудиш коя е първата. Ще я разгледаме в друг урок. Това обаче е много полезен начин за изчисление на определен интеграл и намиране на площ под крива, тоест чрез втората част на фундаменталната теорема на анализа, която е много тясно свързана с първата част на фундаменталната теорема, която няма да разглеждаме сега. Защо това е толкова важно? Нека да го запиша в по-общ вид, т.е. по начин, по който може би си свикнал/а да го виждаш в учебника ти по анализ. Теоремата гласи, че за да намерим площта под графиката на функцията f от х, dx между две точки a и b от оста х – можем да използваме ето този начин за представяне на площта под кривата между тези две точки. Нека направя един чертеж, за да покажа в общ вид за какво говоря. Ето това тук може да бъде f от x. Искаме да намерим площта под кривата между a и b. Ако искаме да намерим точната площ под кривата, то можем да намерим примитивната функция на f. Нека кажем, че главно F от x е примитивната функция – или е една примитивна функция, защото може да имаме множество функции, версии на функцията F от x плюс някаква константа (изместени версии на F(x). Нека това е примитивната функция F, тогава просто следва да изчислим примитивната функция в крайните точки и да намерим разликата. Първо записваме стойността в крайната точка. Изваждаме изчислената стойност на примитивната функция в първата точка от изчислената стойност на примитивната функция в крайната точка. Тоест получаваме главно F от b минус главно F от a. Следователно, ако искаме да намерим точната площ под крива, то намираме нейната примитивна функция, изчисляваме я в крайната точка, а след това от тази стойност изваждаме стойността ѝ в началната точка. Надявам се, че разбираш представената идея на практика. В следващите няколко урока ще разгледаме как се прилага.