Решен пример: изчисляване на sin(0,4) с определяне границата на грешката по Лагранж

При апроксимация на функцията sin(0,4) с ред на Маклорен, коя е най-ниската степен на полинома, която гарантира грешка, по-малка от 0,001? Какво ни казват тук? Можем да вземем една функция и да я апроксимираме с ред на Маклорен от n-та степен, всъщност можем да разгледаме по-общия случай с ред на Тейлър, но нека просто да кажем, че това е ред на Маклорен от n-та степен, но това не е идеално приближение, тук ще има някаква грешка или остатък. Можем да наречем това остатък на този полином на Маклорен от n-та степен, който зависи от стойността на всяко х. Ако използваме конкретните данни в тази задача, можем да го перифразираме по следния начин. Казваме: ако вземем синус от 0,4 това ще е равно на ред на Маклорен от n-та степен, изчислен за 0,4 плюс остатъка, който има за n-та степен полином на Маклорен, изчислен за 0,4. Тук всъщност искаме да намерим за какво n, коя е най-ниската степен на полинома. Ще използвам различен цвят. Искаме да намерим най-малката стойност на n, кое е най-малкото n, за което остатъкът на този полином на Маклорен, изчислен за 0,4 е по-малък от тази стойност, по-малък от 0,001? Това е просто друг начин да формулираме задачата. Можем да решим това, като използваме т.нар. граница на грешка по Лагранж, което доказваме в други видеа, често се нарича и теорема на Тейлър (за остатъка). Първо ще го запиша и ще се опитам да обясня в същото време, но нещата ще станат много по-конкретни с примера. Теоремата на Тейлър за остатъка ни казва, че... или границата на грешката по Лагранж означава, че ако (n + 1)-вата производна на нашата функция f, ако абсолютната стойност на това е по-малко или равно на някакво М в един отворен интервал, съдържащ стойността, около която е развит нашият полином, в този случай това е 0, затова използваме ред на Маклорен, ако той съдържа нула и х, стойността на х, която ни интересува за тази задача е 0,4 но това се отнася за всяко х, ако това е вярно, ако (n + 1)-вата производна на функцията, ако абсолютната ѝ стойност е по-малко или равно на М в един отворен интервал, съдържащ стойността, около която сме центрирани, в общия случай това ще бъде някакво с, и х, значи това х ето тук, тогава... и сега следва полезната част, Лагранж, можем да твърдим, че остатъкът има граница, остатъкът за този полином от n-та степен. Това е (n + 1)-вата производна, това има граница, тогава можем да кажем, че за полинома от n-та степен, с който апроксимираме функцията, ще бъде по-малко или равно на това М, по х^(n + 1) върху (n +1)! Как можем да го приложим за тази конкретна задача? Да помислим за производната на функцията синус, знаем, че абсолютната стойност на синус е по-малко или равно на 1, производната е косинус от х, абсолютната стойност на това ще има граница, ще бъде по-малко или равно на 1, и независимо колко пъти поред намираме производната от синус х, абсолютната стойност на тази производна ще бъде по-малко или равно на едно. Можем да напишем принципно, че за тази конкретна f(х) за тази функция f(х) ето тук, можем да кажем, че абсолютната стойност на (n + 1)-вата производна, изчислена за всяко х, ще бъде по-малко или равно на 1. Ако в този случай функцията е синус, когато f е синус от х, като това реално е вярно за всеки интервал, не ни е нужен някакъв вид ограничен интервал, за който това важи. Знаем, че това е нашето М, този синус и производните му имат граници, и техните абсолютни стойности имат граница 1. И тук имаме нашето М и можем да използваме границата на грешката по Лагранж, можем да кажем, че остатъкът от нашата апроксимация на Маклорен от n-та степен за 0,4, нашето х в този конкретен пример е 0,4, не е нужно да намираме за всяко х, това ще бъде по-малко от или равно на – нашето М е 1, даже няма да го пиша, х е 0,4; 0,4 на степен (n + 1), върху (n + 1) факториел. И взимаме абсолютната стойност на всичко това. Това е границата на грешката по Лагранж, като искаме да намерим, ако успеем да намерим случай, в който това е по-малко от 0,001, тогава това със сигурност ще бъде по-малко от 0,001, защото остатъкът е по-малък от това, или по-малко от или равно на това, което е по-малко от това. Как ще намерим най-малкото n, за което това е вярно? Можем да заместим с някои стойности на n и да го увеличаваме, докато това стане по-малко от това. Да го направим, ще направя една таблица. Ще се постарая. Това ще бъде нашето n, после това ще бъде 0,4 на степен (n + 1), върху (n + 1) факториел. Да заместим с n = 1. Това ще бъде 0,4 на втора степен върху 2! това е 0,16 върху 2, което е равно на 0,08, което определено не е по-малко от 0,001. Да пробваме с n = 2, това става 0,4 на трета степен, върху 3!, което е равно на... колко е това, 0 цяло и ... Трябват ни три знака след десетичната запетая, 0,064 върху 6, това е малко повече от 0,01, значи n е доста голямо още. Да опитаме с 3, това става 0,04 на степен 3 плюс 1, което е четвърта степен, върху 4!, да видим, това ще е равно на това ще бъде, да видим, ще имаме четири знака след запетаята, значи 0,0256 върху 24, това е много близко, това е само малко над 0,001, така че и това не ни върши работа. Вече предполагам, че n = 4 ще свърши работа, но трябва да го проверим. Значи това ще бъде 0,04 на пета степен, върху 5! На колко е равно това? Да видим, 4 на пета степен е 1024, имаме пет знака след десетичната запетая, деля го на 5!, което е 120. Това тук вече със сигурност е по-малко от 0,001, определено е по-малко от една хилядна. Видяхме, че n е равно на 4, значи остатъкът ни за полином от четвърта степен, полином от четвърта степен на Маклорен, изчислен за х = 0,4 със сигурност е по-малко от 0,001. Това е полиномът от най-ниска степен, който гарантира, че грешката е по-малка от една хилядна.