Проекцията е най-близкият вектор в едно подпространство

Дадено е някакво подпространство V, което е равнина в R3. Ще се опитам да го начертая относително добре. Ще начертая някаква равнина в R3. Може би ще изглежда приблизително така. Това е нашето подпространство. Мисля, че се получи. Да видим мога ли да го начертая малко по-добре от това. Ето така. Това е нашата равнина в R3. Това е V. Това е подпространството. Да кажем, че имам някакъв друг вектор х, произволен вектор в R3. Вектор х изглежда ето така. Това е вектор х. В това видео искам да ти покажа, че проекцията на вектор х в нашето подпространство – да кажем, че това е нулевият вектор ето тук. Искам да ти покажа, че проекцията на вектор х в нашето подпространство е най-близкият вектор до вектор х в това подпространство. Ще направя чертеж и може би тогава ще стане по-ясно. Проекцията на вектор х в подпространстото ще изглежда горе-долу така. Ще изглежда приблизително така. Това ето тук, този зелен вектор, е проекцията на вектор х в нашето подпространство V. Това е нашият вектор х. Сега да вземем някакъв друг произволен вектор в нашето подпространство. Ще взема ето този. Това е някакъв друг произволен вектор в нашето подпространство. Ще го начертая малко по-различно. Ще го начертая ето така. Това е вектор v. Това очевидно е друг вектор в нашето подпространство. Той лежи в тази равнина. Сега искам да ти покажа, че разстоянието от вектор х до проекцията на вектор х във V е по-късо от разстоянието от вектор х до всеки друг вектор. От разстоянието от вектор х до всеки друг вектор. По начина, по който го начертах, изглежда много очевидно, че тази отсечка е по-къса от тази отсечка. Но това е един конкретен пример, който избрах. Сега да го докажем в общия случай. Искам да докажа, че това разстояние между вектор х и неговата проекция в подпространството V... можем да направим това, като просто вземем дължината на вектор х минус проекцията на вектор х в нашето подпространство. Тази дължина ето тук е тази дължина ето тук. Значи вектор х минус проекцията на вектор х във V, това ще бъде този вектор ето тук. Ще направя това с различен цвят. Не искам да повтарям цветовете толкова често. Това ще бъде този вектор ето тук. Можем да го наречем вектор а. Очевидно, той е в ортогоналното допълнение на V, защото е ортогонален на този вектор. Това е самото определение за проекция, на практика, така че това е равно на вектор а. Моето твърдение, което искам да ти докажа, е, че това разстояние е по-късо от всяко друго разстояние ето тук, по-малко или равно на разстоянието между вектор х и вектор v, който е произволен член на V. Значи това разстояние ето тук. Този вектор ето тук, това разстояние.... ще начертая този вектор. Вектор (х – v) изглежда ето така. Това е вектор (х – v), нали? Ако съберем вектор v плюс вектор (х – v), ще получим вектор х. Това, което искам да ти покажа, е, че това разстояние, дължината на вектор а, на разликата между вектор х и неговата проекция, винаги ще бъде по-малко от разстоянието между вектор х и всеки друг вектор в това подпространство. Значи това е вектор (х – v). Да видим можем ли да докажем това. Да вземем това разстояние на квадрат. Значи квадратът на разстоянието х... всъщност ще направя така. Ще го направя по следния начин. Интересува ни повдигнатата на квадрат дължина на вектор (х – v), като х е някакъв вектор в R3, а v е някакъв друг вектор в R3, който също принадлежи на нашето подпространство. Той лежи в тази равнина. Колко ще бъде тази дължина на квадрат? (х – v) е равно на този вектор. Ще начертая тук един нов вектор. Той е равен на... почакай, ще го начертая с жълто. Равно е на този вектор. Равно е на този жълт вектор плюс вектор а. Нали? (х – v) е този цикламен вектор, който започва тук и стига до тук... очевидно е равен на жълтия вектор плюс оранжевия вектор. Ще означа този жълт вектор като b. На какво е равен вектор b? Вектор b ще е равен на този зелен вектор, който е проекцията на вектор х във V, минус цикламения вектор. Минус този бледо лилав вектор. Минус вектор v. На това е равен вектор b. Значи можем да напишем, че вектор (х – v) е равен на сбора от вектор b плюс вектор а. Значи (х – v) = b + a. Ако повдигнем на квадрат дължината на вектор (х – v), това е равно на дължината на (b + а) на квадрат. Това е равно на скаларното произведение (b + а) по (b + а), което е равно на скаларното произведение на вектор b по вектор b... Ще го напиша малко по-прегледно. Ще го запиша ето тук. Това ще е равно на – ще сменя цветовете – на скаларното произведение на b по b... плюс скаларното произведение на b по а, плюс скаларното произведение на a по b, значи плюс 2 по скаларното произведение на а по b, плюс скаларното произведение на а по а. Очевидно е, че векторите а и b са ортогонални. Вектор b е разликата между двата вектора в нашето подпространство. Подпространството е затворено по отношение на събиране и изваждане. Значи вектор b принадлежи на нашето подпространство. Вектор а е ортогонален на всичко в нашето подпространство, по определение. Тъй като очевидно вектор а е ортогонален на вектор b, вектор а е – по определение – ще принадлежи на ортогоналното допълнение на подпространството V. Това произведение ще бъде нула. После това тук се опростява до дължината на вектор b на квадрат. После това тук е плюс дължината на вектор а на квадрат. Така получихме, че разстоянието между вектор х и някакъв произволен вектор от нашето подпространство, на квадрат, е равно на дължината на вектор b, ето тук, плюс дължината на вектор а, на квадрат. Вектор а беше разстоянието между нашия вектор х и неговата проекция, нали? Вектор а е това по определение, вектор а е разстоянието между вектор х и неговата проекция. Това разстояние ето тук ще бъде поне равно на нула или положително. Значи това тук определено ще е по-голямо от или равно на а на квадрат. Друг начин да кажем това е, че разстоянието между векторите х и v на квадрат определено ще е по-голямо или равно на дължината на вектор а на квадрат. Дължината на вектор (х – v)... това все пак ще е положителна величина, дължината винаги е положителна – е по-голяма от или равна на дължината на вектор а. А каква е дължината на вектор а? Вектор а е ето това тук. Ще запиша нашия резултат. Дължината на вектор (х – v), или разстоянието между вектор х и някакъв произволен вектор в подпространството, винаги ще бъде по-голямо от или равно на дължината на вектор а, който е просто разстоянието между вектор х и проекцията на вектор х в нашето подпространство. Това е. Показахме, като началният чертеж един вид ни подсказа, че проекцията на вектор х във V е най-близкият вектор до вектор х в нашето подпространство. Той е по-близко от всеки друг вектор във V до нашия произволен вектор в R3, вектор х. И доказахме това ето тук.