2013 AMC 10 A #21 / AMC 12 A #17

В задачата се казва, че дванадесет пирати искат да разделят един сандък със златни монети. Ето как смятат да го разделят. Първият пират взима 1/12 от златото в сандъка. Вторият пират взима 2/12 части от това, което е останало в сандъка, след като първият пират е взел своята част. Третият пират взима 3/12 от остатъка след втория пират и така нататък. Да видим какво се случва тук. Броят на монетите, взети от всеки пират, е положително цяло число, а броят на монетите в сандъка е най-малкият брой монети, който позволяват броят на монетите, взети от всеки пират, да е положително цяло число, когато се прилага този начин на подялба. Първо ще сложа х, защото той е началото, х е броят на монетите, които са в сандъка в самото начало. След като първият пират взима 1/12, в сандъка остават 11/12 части за следващия пират. Следващият, вторият пират, взима 2/12 и оставя 10/12 от количеството за следващите пирати. Значи вторият пират идва и намира голямо количество монети. Той оставя 10/12 от тези монети за следващия пират. Следващият пират идва и взима 3/12, като оставя 9/12 за този след него. И така нататък, и така нататък до последните пирати. Единайсетият пират взима 11/12 и оставя 1/12 от количеството, останало след предния пират, а последния, 12-ият пират взима всичко, което е останало. Търсим точно това – колко взима последния пират? Значи трябва да намерим стойността на този израз. Можем да го запишем по-кратко като х по 11! върху 12 на степен 11. Искаме да намерим тази стойност. х е най-малката стойност, за която стойността на този израз е цяло положително число. Всъщност х е най-малката стойност, за която е сигурно, че всеки пират взима монети, чийто брой е цяло положително число. Но засега не се тревожи за това. Сега ни интересува последният пират и да намерим какво получава той. Добре, ако х... ако просто изберем х да е 12 на степен 11, тогава това ще е цяло положително число. Но 11! не е никой от тези отговори, така че трябва да опростим тази дроб. Можем да изнесем пред скоби всички кратни на 2 и на 3 от това 11! и да видим какво ще остане. Ще ни остане множител 11. После ще имаме тези две петици от 5 и от 10. После ще имаме това седем ето тук. След това трябва да намерим... ще опростим тази дроб, ще изнесем множителите 2 и можем да спрем дотук, просто да сметнем това и да приемем резултата за отговор, но мен ме притеснява това, че всеки пират трябва да получи монети, чийто брой е цяло положително число. Но да опростим тази дроб. Броят на двойките в 11! е броят на кратните на 2, имаме 2, 4, 6, 8, 10 – това са пет числа. Имаме още една двойка от тази четворка, имаме още две двойки от това 8. Значи имаме 8 двойки. Тук долу двойките са 22. Така в знаменателя получаваме 2 на степен 14. Да видим кратните на 3. Имаме три, шест и девет. Имаме една допълнителна тройка в девет. Така имаме четири пъти 3. Тук долу в знаменателя имаме 11 тройки. Така в знаменателя остава 3 на седма степен. Сега можем да умножим в числителя 7 по 11. Това дава 77 по 25. Добре, 80 по 25 е 2000. Значи 77 по 25 е 1925, което е чудесно, защото виждам 1925 сред отговорите. Тук можеш да си позволиш просто да оградиш това 1925, да кажеш отговорът е D и да продължиш. Но ето тук виждаме 3850, което малко ме плаши, защото ми напомня, че всеки пират трябва да получи монети, чийто брой трябва да е цяло число, така че може би има причина да трябва да умножим по 2 някъде. Единият начин да проверим отговора е просто да заместим. Нека х да е 2 на 14-та степен по 3 на 7-а степен, и да видим дали всеки пират ще получи монети, чийто брой е цяло число. Ако заседнеш тук по време на изпит, трябва просто да оградиш D и да продължиш, и вероятно това е правилното нещо, защото изглежда, че ще получиш цяло положително число за броя на монетите във всяка стъпка. Но да направим една бърза проверка. Започваме с 2 на 14-а степен по 3 на 7-а степен. Какво се случва? Искаме да се уверим, че накрая ще получим 1925, и искаме да сме сигурни, че всеки пират взима монети, чийто брой е цяло, положително число. Започваме с 2 на 14 степен по 3 на 7 степен. Ще оградя това, защото ще ни трябва още място. Първият пират взима 1/12 от това количество. Това пасва чудесно, а остават 11 по 2... 11/12 от това, 11 по 2 на 12 степен, по 3 на 6 степен. Сега виждаш защо трябва да се притесняваме. Ще се сблъскваме с тези степени на 2 и на 3. Не искаме да получим дробен брой монети. Следващият пират получава 2/12, т.е. 1/6 от това количество. Това е чудесно, остават 5/6 от това количество, така тук получаваме множител от 5/6, но тук ще изнесем друг множител 2, и още един множител 3. Следващият пират взима 1/4 от монетите, а оставя 3/4 от тях. Тук отново се появява още един множител 3, но пък се съкращават две двойки. Остават ни тези монети. Следващият пират взима 1/3, това е 4/12, а остават 2/3 от тази величина, тук отпада един множител 3, а получаваме още един множител 2. Сега идва друг пират, взима 5/12, остават 7/12, така че това е 7 по 55. Сега "избиваме" два множителя 2 и един множител 3. Идва следващият пират, той взима половината, остава 1/2. Това е много лесно, просто отпадат още два множителя 2. Следващият взима 7/12, оставя 5/12, а ние знаем колко е 5 по 7 по 55. Вече сметнахме това. 1925 по 2 на пета степен, по 3 на трета степен. Следващият пират взима 8/12, а оставя 4/12 от това количество, така че оставя 1/3 от това, оставя 1925 по 2 на пета степен, по 3 на квадрат. Почти сме готови. Следващият пират взима 3/4, а оставя 1/4 от това количество. Идва следващият, това е този ето тук, който взима 10/12, а оставя 2/12 или 1/6 от това количество. Виждаш, че на всяка стъпка пиратът, който взима част от плячката, взима монети, чийто брой е цяло число. И накрая последният пират взима 11/12 от това количество, което е каквото ни трябва. Получаваме цяло число брой монети, защото имаме този множител 12 ето тук, а остава остатък 1/12, което е 1925 монети. Така че ако просто си оградил/а D и си продължил/а, това е напълно правилно. И задачата е решена.