Основно съдържание

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 3

Урок 4: Оптимизиране на функции на много променливи (статии)

Примери: Критерий на вторите частни производни

Класна стая на Google

Кратко упражнение върху критерия на вторите частни производни за определяне на критични точки.

Преговор

Критерий на втората производна за определяне на вида на критични точки

Цел на статията

Имам предизвикателство за теб.

В този урок ще разгледаме две примерни задачи за определяне на максимуми и минимуми на функции. В днешно време такива задачи лесно се решават от компютър, но единственият начин да разбереш дали наистина разбираш критерия на втората производна за определяне на вида на критичните точки, е да решиш няколко такива задачи на ръка.

Все пак някой ден може да ти се наложи да напишеш компютърна програма, която да решава такива задачи, и за тази цел трябва да познаваш критерия изключително добре.

Предизвикателството е следното: опитай самостоятелно да намериш отговора на всяка стъпка от статията, за да провериш дали разбираш всичко.

Критерий на втората частна производна за определяне вида на критичните точки (преговор)

Първо намираме точка

(x_{0}; y_{0})

, в която и двете частни производни на

f

са

0

\begin{array}{r} f_{x} (x_{0}; y_{0}) = 0 \\ f_{y} (x_{0}; y_{0}) = 0 \end{array}

Критерият на втората частна производна за определяне на вида на критичната точка е алгоритъм за определяне на вида на критичната точка

(x_{0}; y_{0})

- локален минимум, локален максимум или седлова точка. Първо пресмятаме стойността на следния израз:

H = f_{x x} (x_{0}; y_{0}) f_{y y} (x_{0}; y_{0}) - (f_{x y} (x_{0}; y_{0}))^{2}

където

f_{x x}

f_{y y}

f_{x y}

са вторите производни на

f

Ако

H < 0

, тогава точката

(x_{0}; y_{0})

е седло на

f

Ако

H > 0

, тогава точката

(x_{0}; y_{0})

е локален екстремум и трябва да намерим знака на

f_{x x} (x_{0}; y_{0})

, за да разберем дали е минимум или максимум.

Ако $f_{x x} (x_{0}; y_{0}) > 0$ ‍, тогава точката е локален минимум.
Ако $f_{x x} (x_{0}; y_{0}) < 0$ ‍, тогава функцията $f$ ‍ има локален максимум в точката.

Ако

H = 0

, вторите производни не носят достатъчно информация, за да определим вида на критичната точка.

Пример 1: Критични точки

Задача: Намери всички критични точки на функцията

\begin{array}{r} x^{4} - 4 x^{2} + y^{2} \end{array}

и за всяка от тях провери дали е локален максимум, локален минимум или седлова точка.

Стъпка 1: Намираме всички критични точки

Критичните точки на функцията са всички точки

(x_{0}; y_{0})

, за които и двете частни производни са равни на

0

. Първо пресмятаме двете производни

f_{x} (x; y) =

f_{y} (x; y) =

След това намираме точките

(x_{0}; y_{0})

, за които и двете частни производни са

0

, тоест решаваме системата от уравнения

\begin{aligned} f_{x} (x_{0}; y_{0}) & = 0 \\ f_{y} (x_{0}; y_{0}) & = 0 \end{aligned}

Кои от следните наредени двойки са решение на системата?

Стъпка 2: Прилагаме критерия на втората производна за определяне вида на критични точки

Първо намираме трите втори частни производни на функцията

f (x; y) = x^{4} - 4 x^{2} + y^{2}

f_{x x} (x; y) =

f_{y y} (x; y) =

f_{x y} (x; y) =

Търсим стойността на израза

f_{x x} (x; y) f_{y y} (x; y) - (f_{x y} (x; y))^{2}

Каква функция на

x

y

получаваме, когато заместим получените втори производни?

f_{x x} (x; y) f_{y y} (x; y) - (f_{x y} (x; y))^{2} =

За да определим вида на критичните точки, заместваме в този израз и проверяваме знака.

Критична точка 1:
За $(x; y) = (0; 0)$ ‍ получаваме
$\begin{array}{r} 24 x^{2} - 16 = 24 (0)^{2} - 16 = - 16 \end{array}$ ‍

Резултатът е отрицателен, тоест точката

(0; 0)

Критична точка 2: Когато заместим $(x_{0}; y_{0}) = (\sqrt{2}; 0)$ ‍, получаваме
$\begin{aligned} 24 x^{2} - 16 & = 24 (\sqrt{2})^{2} - 16 \\ = 48 - 16 \\ = 32 \end{aligned}$ ‍

Резултатът е положителен. Освен това,

\begin{aligned} f_{x x} (\sqrt{2}; 0) & = 12 (\sqrt{2})^{2} - 8 \\ = 24 - 8 \\ = 16 \end{aligned}

Следователно точката

(\sqrt{2}; 0)

Критична точка 3: Можем да заместим $(- \sqrt{2}; 0)$ ‍ както с предишните точки, но няма нужда. Функцията $f (x; y) = x^{4} - 4 x^{2} + y^{2}$ ‍ е симетрична - ако заместим $x$ ‍ с $- x$ ‍ стойността ѝ не се променя:
$(- x)^{4} - 4 (- x)^{2} + y^{2} = x^{4} - 4 x^{2} + y^{2}$ ‍

Следователно точката $(- \sqrt{2}; 0)$ ‍ е същата като $(\sqrt{2}; 0)$ ‍

Ето как изглежда графиката на

f (x; y)

с двата локални минимума и седловата точка, които определихме.

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Пример 2: За напреднали

Не всички задачи за оптимизиране са лесни и бързи и могат да се решат на ръка. В някои от тях се налага да решаваме далеч не тривиални уравнения.

Задача: Намери всички критични точки на следната функция

\begin{array}{r} f (x; y) = x^{2} y - y^{2} x - x^{2} - y^{2} \end{array}

и за всяка от тях провери дали е локален максимум, локален минимум или седлова точка.

Стъпка 1: Намираме всички критични точки

Първо пресмятаме двете първи производни на

f (x; y) = x^{2} y - y^{2} x - x^{2} - y^{2}

f_{x} (x; y) =

f_{y} (x; y) =

За да намерим критичните точки, трябва да решим системата от уравнения

\begin{aligned} 2 x y - y^{2} - 2 x & = 0 \\ x^{2} - 2 x y - 2 y & = 0 \end{aligned}

Както и в предишния пример, можем да въведем системата в компютър или калкулатор, и той ще я реши вместо нас. Но за да се упражним, нека решим тази малко по-сложна система на ръка.

Общият подход към подобни системи е следният:

В едното уравнение изразяваме $y$ ‍ чрез $x$ ‍.
Заместваме в другия израз и получаваме уравнение само с $x$ ‍.
Намираме $x$ ‍.
Заместваме подред всяко решение за $x$ ‍ и решаваме системата за $y$ ‍.
Проверяваме дали получените двойки $(x; y)$ ‍ действително са решения на системата.

С тази система обаче този директен подход не е подходящ, тъй като уравненията съдържат

y

x

на втора степен. Ако приложим този подход, накрая ще получим уравнение от

4

-та степен, което не можем да решим на ръка.

В нашата система уравненията са симетрични, така че чрез събиране и изваждане на двете уравнения може да опростим системата:

\begin{aligned} 2 x y - y^{2} - 2 x & = 0 \\ + x^{2} - 2 x y - 2 y & = 0 \\ x^{2} - y^{2} - 2 (x + y) & = 0 \\ (x + y) (x - y) - 2 (x + y) & = 0 \\ (x + y) (x - y - 2) & = 0 \end{aligned}

Какво ни казва това уравнение за зависимостта между

x

y

? (Изрази всеки отговор като уравнение за

x

y

)

Кое да е от двете

или

Сега можем да изразим

x

чрез

y

в явен вид и от получените уравнения да намерим

y

Например, ако заместим

x = - y

в първото уравнение

2 x y - y^{2} - 2 x

, получаваме квадратно уравнение за

y

. Какви са решенията на това уравнение?

Тъй като получихме този отговор за случая, когато

x = - y

, съответните стойности

x

са съответно

x = - 0

x = - \frac{2}{3}

. Така получаваме първите две решения на системата:

\begin{aligned} (x; y) = (0; 0) \\ (x; y) = (- \frac{2}{3}; \frac{2}{3}) \end{aligned}

Аналогично, ако заместим

x = y + 2

в израза

2 x y - y^{2} - 2 x

, получаваме квадратно уравнение за

y

. Кои са корените на това уравнение?

Тъй като допуснахме, че

x = y + 2

, съответните стойности на

x

са

\begin{array}{r} x = 2 - 1 + \sqrt{5} = 1 + \sqrt{5} \\ x = 2 - 1 - \sqrt{5} = 1 - \sqrt{5} \end{array}

Получихме другите две решения:

\begin{array}{r} (x; y) = (1 + \sqrt{5}; - 1 + \sqrt{5}) \\ (x; y) = (1 - \sqrt{5}; - 1 - \sqrt{5}) \end{array}

Единствените два възможни случая, които получихме в началото, са

x = - y

x = y + 2

, така че сме намерили всички решения на системата.

Стъпка 2: Прилагаме критерия на втората производна за определяне вида на критични точки

Всичко, което свършихме досега, беше с цел да намерим критичните точки. Сега е ред на вторите производни на дадената ни функция:

\begin{array}{r} f (x; y) = x^{2} y - y^{2} x - x^{2} - y^{2} \end{array}

f_{x x} (x; y) =

f_{y y} (x; y) =

f_{x y} (x; y) =

Според критерия на втората производна за определяне вида на критични точки, за да разберем какви са намерените критични точки, трябва една по една да ги заместим в израза

\begin{array}{r} f_{x x} (x; y) f_{y y} (x; y) - (f_{x y} (x; y))^{2} \end{array}

На колко е равен този израз след заместване на току-що пресметнатите втори производни?

Тъй като се интересуваме само от знака на този израз, можем да го опростим, като разделим на

4

(y - 1) (- x - 1) - (x - y)^{2} \leftarrow Ключов израз

Сега определяме знака на израза, като заместваме всяка една от получените критични точки.

Критична точка $(0; 0)$ ‍:

В точката

(x; y) = (0; 0)

ключовият израз по-горе е равен на

От това заключаваме, че точката

(0; 0)

е:

Сега,

(Избор А)
Готово.
(Избор Б)
Пресмятаме $f_{x x} (0; 0) = 2 (0) - 2 = - 2$ ‍ и получаваме, че точката $(0; 0)$ ‍ е локален максимум на $f$ ‍
(Избор В)
Пресмятаме $f_{x x} (0; 0) = 2 (0) - 2 = - 2$ ‍ и получаваме, че точката $(0; 0)$ ‍ е локален минимум на $f$ ‍

Критична точка $(- \frac{2}{3}; \frac{2}{3})$ ‍:

В точката

(x; y) = (- \frac{2}{3}; \frac{2}{3})

ключовият израз по-горе е равен на

От това заключаваме, че точката

(- \frac{2}{3}; \frac{2}{3})

е:

Сега,

(Избор А)
Готово.
(Избор Б)
Изчисляваме
$f_{x x} (- \frac{2}{3}; \frac{2}{3}) = 2 (\frac{2}{3}) - 2 = - \frac{2}{3}$ ‍
и заключаваме, че функцията $f$ ‍ има локален максимум в точка $(0; 0)$ ‍.
(Избор В)
Изчисляваме
$f_{x x} (- \frac{2}{3}; \frac{2}{3}) = 2 (\frac{2}{3}) - 2 = - \frac{2}{3}$ ‍
и заключаваме, че функцията $f$ ‍ има локален минимум в точката $(0; 0)$ ‍.

Критична точка $(1 + \sqrt{5}; - 1 + \sqrt{5})$ ‍:

В точката

(x; y) = (1 + \sqrt{5}; - 1 + \sqrt{5})

ключовият израз по-горе е равен на

От това заключаваме, че точката

(1 + \sqrt{5}; - 1 + \sqrt{5})

е:

Сега,

(Избор А)
Готово.
(Избор Б)
Изчисляваме
$f_{x x} (- \frac{2}{3}; \frac{2}{3}) = 2 (\frac{2}{3}) - 2 = - \frac{2}{3}$ ‍
и заключаваме, че функцията $f$ ‍ има локален максимум в точка $(0; 0)$ ‍.
(Избор В)
Изчисляваме
$f_{x x} (- \frac{2}{3}; \frac{2}{3}) = 2 (\frac{2}{3}) - 2 = - \frac{2}{3}$ ‍
и заключаваме, че функцията $f$ ‍ има локален минимум в точката $(0; 0)$ ‍.

Критична точка $(1 - \sqrt{5}; - 1 - \sqrt{5})$ ‍:

Този случай е аналогичен на предишния.

Всъщност, този случай не е просто аналогичен на предния, а еквивалентен. Това е резултат от симетрията в дефиницията на

f

, по-точно

\begin{array}{r} f (x; y) = f (- y; - x) \end{array}

Опитай самостоятелно, за да разбереш защо!

Ако заместим

(x; y) \to (- y; - x)

в третата критична точка

(1 + \sqrt{5}; - 1 + \sqrt{5})

, получаваме четвъртата,

(1 - \sqrt{5}; - 1 - \sqrt{5})

, така че двете точки са от един и същи вид.

Симетрията е явна на графиката по-долу.

Ето как изглежда графиката на

f (x; y) = x^{2} y - y^{2} x - x^{2} - y^{2}

. Виждаме трите седла и единия локален максимум, които получихме.

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Поздравления!

Ако четеш това, значи си решил/а тези две не съвсем кратки задачи. Браво!

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.