Определяне на фокусите на хипербола, зададена с уравнение

. В последното видео научихме, че една елипса може да бъде определена като геометричното място на всички точки, където сбора от разстоянията до две специални точки, наречени фокусни - и нека начертая всичко това, това е моята ос x - сборът от разтоянията до тези две специални точки, наречени фокуси или фиксирани точки, е константа. Така че, ако това е моята елипса - ще я начертая, това изглежда точно, където искам да бъде, това изглежда горе-долу добре - тя е центрирана в началото, не е нужно да бъде, но за нашите цели, нека я направя центрирана в началото. Ако това тук е една фокусна точка и това е друга фокусна точка, тази елипса може да бъде определена, като набора от всички точки или мястото на всички точки, където ако взема разстоянието от всяка една от тези точки, които съществуват на елипсата и взема разстоянието до всяко едно от местата - съжалявам, всеки един от фокусите - ако взема това - не, не искам да правя това - ако взема това разстояние и го прибавя към това разстояние, така че нека наречем това d1 - не, прекалено дебело е - нека наречем това d1, това е d2 - това ще бъде равно на дадено константно число по дължината на цялата елипса. Така че, ако избера произволна точка по дължината на елипсата, казваме, че вземам тази точка тук и ако трябваше да добавя това разстояние към това разстояние - нека наречем това d3, това е d4 - сборът от тези разстояния до фокуса по дължината на тази елипса ще бъде константа. Така че, в този случай d2 плюс d1, това плюс това, ще бъде равно на d3 плюс d4. d3 плюс d4 И цялото това ще бъде вярно, където и да отидете по цялата елипса и ние научихме в последното видео, че тази стойност всъщност ще бъде равна на 2а, където а е разстоянието на радиуса на главната полуос. Ако това е формулата за елипса, това е откъдето идва а. х на квадрат върху а на квадрат, плюс y на квадрат върху b квадрат е равно на 1. И ние научихме, че фокусът, фокусното разстояние - или разстоянието от центъра на елипсата, което е това разстояние ето тук - това фокусно разстояние е просто квадратния корен от разликата между тези две числа. Ако това е фокусното разстояние от тук до тук, то е просто равно на квадратния корен от - ако а е по-голямо, тогава то ще бъде а квадрат минус b квадрат, какъвто е случаят с тази елипса. Ако имаме вертикална елипса и аз наистина не го обхванах в последното видео, но нека просто ви покажа, как ще изглежда това. Да речем, че елипсата изглеждаше нещо като това. Да видим. Добре. Ще използвам синьо. Да речем, че елипсата изглежда по този начин. В този случай нашият главен радиус сега е в у посоката, това е b, това е а и в този случай b е по-голямо от а, защото елипсата е висока и слаба. В този случай, фокусите винаги ще лежат по протежението на главната ос. В този случай главната ос е вертикалната ос, така че фокусите ще се намират тук и тук, и в този случай фокусните разстояния ще бъдат вертикално надолу от началото и вертикално нагоре от началото и получаваме, вместо това да бъде а на квадрат минус b на квадрат, сега тъй като b е по-голямо от а, фокусното разстояние, което е това, ще бъде равно на b квадрат минус а квадрат. Достатъчно ясно. Сега, направих всичко това, за да го сравня един вид с това, което ще обхванем в този клип, което е фокусните точки или фокуса на хипербола. А хиперболата е много близка до елипса, бихте могли вероятно да предположите това, защото, ако тове е уравнението за елипса, това е уравнението за хипербола. х на квадрат върху а на квадрат, минус y квадрат върху b квадрат е равно на 1. Или можем да ги разменим, където минусът е пред x, вместо пред y. И ние ще обхванем това след секунда. Но тази хипербола изглежда по следния начин. Нека да видим, дали ще мога да я начертая. Ако начертая осите и след това искам да начертая асимптотите - бихте могли да го докажете, можете да гледате някои от предишните клипове, но асимптотите за тази хипербола ще бъдат y е равно на плюс или минус b върху ax, така че тя ще изглежда - просто ще ги начертая един вид като наклонени прави, така че тя ще изглежда по следния начин. Нещо като - не. Искам да я направя като нещо подобно. Тези са - но тази е центрирана в началото, защото не е била изместена и после това са тези две прави ето там. И тогава, това е, което аз наричам вид хоризонтална хипербола. Начина, по който можете да мислите за нея е - добре, ако намерите y, ще видите, че винаги ще бъдете малко по-ниско от асимптотата. Другият вариант е да кажете - Добре, може ли x или y да са равни на 0? Ами ако y е равно на 0, това ни поставя по х-оста и получавате x на квадрат върху а на квадрат е равно на 1, което означава, че x на квадрат е равно на а на квадрат, което означава, че х е равно на плюс или минус а. Така че точките а,0 и точката -а,0 са и двете на тази хипербола. И тъй като те трябва по някакъв начин да бъдат въздържани от тези асимптоти, никога да не минават през тях, знаете че това ще бъде хипербола, която се отваря от ляво и дясно, така че тя ще прилича на нещо като това. Нека използвам този цвят. Така че, тя ще изглежда - това е трудната част - тя ще отива по-близо и по-близо от тази страна и след това можете един вид да разглеждате това като един от върховете на хиперболата, и той ще върви така. Където това разстояние - и забележете приликата тук с елипсата - това разстояние тук - нека го направя в по-ярък цвят - това разстояние тук, между тези двете, предполагам че можете да ги наричате лактите на двете елипси - това разстояние ето там, това е а и това е също а. Така че имате разстояние 2а, което е много подобно на тази ситуация, където това разстояние е а и това разстояние е а. И така, вашето разстояние между двете лява и дясна точки в хоризонтална елипса е същото, като разстоянието между двете лява и дясна точки на хиперболата. Това е просто хипербола отворена навън, докато елипсата се отваря навътре. Достатъчно ясно. Но целият смисъл на това видео е да обсъдим фокуса и може би се досещате - аз го засегнах в последното видео - че хиперболата също има фокуси, но те са отворени. Те ще бъдат надясно и наляво от тези две точки, така че това е а - нека ги направя в светъл цвят, защото искам да ги виждате - да речем, че това са двата фокуса - и хипербола, това е - и забележете разликата. Елипса - едно от определенията за елипса беше, траекторията на всички точки или множеството от всички точки, където разстоянието от всяка една от тези точки, сборът от разстоянието от всяка една от тези точки до два фокуса е константа. Сега определението за хипербола, едно от определенията за хипербола може да бъде, мястото на всички точки, където вземате разликата - не сбора, вземате разликата от разстоянията между двата фокуса, така че ако - нака напиша това отдолу. Това е d1, а това е d2, така че имате ситуация - и ние можем да вземем абсолютната стойност на разликата, тъй като те могат да бъдат, може в някои случаи d1 да бъде по-дълго от d2, ако сте на тази крива. Ако сте на тази крива, d1 ще бъде по-късо от d2 - така че d1 минус d2, абсолютната стойност ще бъде равна на константа. В ситуацията с елипса d1 плюс d2 беше константа. Така че, те са много тясно свързани. В елипсата вие вземате сбора от разстоянията на фокусните точки и казвате, че е константа. В хиперболата вземате разликата от разстоянията до фокусните точки и казвате, че е константа. Така че, това число тук ще бъде точно същото нещо като, ако взема една точка тук - и аз избирам тези точки произволно, стига те да са на хиперболата, ако нарека тези две точки d3 и d4, разликата между d1 и d2 е същата, като разликата между d3 минус d4. Това ще бъде константа по целия път около елипсата. И така, следващият въпрос е, на какво ще бъде равна тази константа? И това е мястото, където е полезно да намерим точка, където можете един вид да се сетите и ние го направихме с елипсите, Когато казахме, че ако вземем тези точки, използвахме логиката в последното видео, за да кажем: О, сборът от разстоянието между тази и тази, сборът ще бъде равен на, видяхме, че ще бъде равен на 2a или разстоянието от главната полуос. Тъй като това разстояние беше същото като това разстояние, това плюс това е същото нещо, като това плюс това, което е 2а. Така че цялото време, съдържанието, сборът от разстоянията до двата фокуса беше равно на 2а. Сега в хиперболата, каква е разликата от разстоянията до двата фокуса? И така, нека вземем тази точка тук на хиперболата и казваме колко е - нека го направя с добър цвят - колко е пурпурното разстояние - това е разстоянието до този фокус - минус това - нека избера друг цвят - минус това светло синьото разстояние? Това пурпурно разстояние минус това светло синьо разстояние. Можем да използваме много подобен аргумент, който използвахме в ситуацията с елипса. Това светло синьо разстояние е същото, разстоянието от този връх или от тази най-лява точка на тази дясно отворена хипербола до този фокус е същото, като това разстояние. Защото хиперболата е симетрична около началото или фокусното разстояние е същото и от двете страни на центъра на хиперболата, в зависимост от това, как я разглеждате, но аз мисля, че това не нищо повече от разшираване на твърдението, за да го приемете. И така, ако това разстояние е същото като това разстояние, тогава пурпурно разстояние минус това синьо разстояние, ще бъде равно на това зелено разстояние. Нали? А колко е това зелено разстояние? Това е 2а. Видяхме това в началото на това видео. Така че това, още веднъж, е също равно на 2а. Както и да е, ще ви оставя тук сега. Всъщност нека само направим една задача, просто защото искам да направя една конкретна. Защото ви казах в началото, че ако искахте да намерите - ако имате елипса - ако имате - това е една елипса, х на квадрат върху а на квадра, плюс у на квадрат, върху b квадрат е равно на 1, научихме, че - това е върху b квадрат - това е една елипса. Научихме, че фокусното разстояние е равно на корен квадратен от а на квадрат, минус b на квадрат. Сега за хипербола, може един вид да видите, че има много близка връзка между елипсата и хиперболата, но това до известна степен е нещо забавно, върху което да помислим. А уравнението за хипербола изглежда така. х на квадрат върху а на квадрат, минус y на квадрат, върху b на квадрат или може да бъде y на квадрат върху b на квадрат, минус x на квадрат, върху а на квадрат е равно на 1. Оказва се и аз ще ви го докажа в следващото видео, че това е малко сложна математическа задача, където фокусното разстояние на хипербола е равно на корен квадратен от сбора от тези две числа, е равно на сбора от а на квадрат плюс b на квадрат. Така че, ако ви бях дал - забележете разликата. Това е само една разлика в знака. Вземате разликата от тези два знаменателя, а сега вземате сумата от двата знаменателя. Така че, ако ви бях дал следната хипербола. x на квадрат върху 9, плюс y на квадрат върху 16 е равно на 1. Първото нещо, което правите е - въпреки че никога не - добре, можем просто да намерим фокусното разстояние просто като го включим във формулата. Фокусното разстояние е равно на квадратния корен от а на квадрат плюс b на квадрат. Това е квадрат, нали? а е три. b е 4. И така, 9 плюс 16 е 25, което е равно на 5. И ако трябваше да начертаем това - това е моята у-ос, това е моята ос x - а фокусното разстояние е разстоянието до, в този случай, отляво и отдясно на началото. Ако това беше един вид нагоре и надолу отворена хипербола, тя щеше да бъде над и под началото, така че това е а - о, извинете, това не трябва да бъде плюс. Ние се занимаваме с хипербола, това би трябвало да бъде минус. Не искам да ви обърквам. Това което бях написал преди с плюс, това щеше да бъде елипса. Минусът е хипербола. Така че, двете асимптоти - това е центрирано в началото, то не е било изместено - ще бъдат 16 върху 9, така че ще бъдат доста стръмни асимптоти, ще изглежда като нещо подобно и това са двете асимптоти. Двете връхни точки са в 2 по а. а е три, нали? а на квадрат е равно на 9, b на квадрат е равно на 16, така че това е центъра, така че двете връхни точки, това е 3 минус 3, а след това фокусните точки ще бъдат в - от центъра - 5 надясно, така че това ще бъде ето тук, това са 5,0 и минус 5,0. Това е минус 3, а това е 3, така че ако я бяхме начертали, тя щеше да изглежда по подобен начин. щеше да изглежда по подобен начин. Ето. И ако вземете произволна точка от тази хипербола и вземете това разстояние, и извадите това от това разстояние, това ще бъде постоянно число, което ще бъде равно точно на 2a или равно точно на 6, в този конкретен пример. Както и да е. Дано не съм ви объркал твърде много с тази малка грешка в знака в края на клипа, но в следващото видео, аз ще ви докажа тази формула, която е малко част от сложна алгебра, но независимо от това е забавно да се направи. .