Ако виждаш това съобщение, значи уебсайтът ни има проблем със зареждането на външни ресурси.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основно съдържание

Курс: Въведение в математическия анализ > Раздел 10

Урок 4: Пресмятане на граници чрез алгебрични свойства на границите: свойства на границите

Свойства на границите на функции

Каква е границата на сбора от две функции?  Ами на тяхното произведение? Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

В това видео ще разгледаме няколко свойства на границите, но тук няма да ги доказваме стриктно - за да имаме стриктно доказателство на тези свойства, ни е нужно строго определение за граница, а в настоящото ръководство не правим това - ще го направим в ръководството за епсилон-делта определение на граница - но повечето от тези ръководства трябва да са сравнително разбираеми, а ще са и доста полезни при опростяването на задачи с граници в бъдеще. Така, да кажем, че знаем, че границата на дадена функция f(x) при х, клонящо към c е равна на L, и нека също знаем това, че границата на дадена друга функция, нека тя е g(x), при х, клонящо към с, е равна на M. Така, при дадени тези неща, на какво ще е равна границата на f(x) плюс g(x) при х, клонящо към с? Така, това може да се види нагледно - ако погледнем графиките на двете произволни функции, всъщност прибавяме тези две функции - ще стане пределно ясно, че ще е налице равенство с - и пак да кажа, че не правя строго доказателство; тук предоставям само свойствата - това ще представлява границата на f(x) при х, клонящо към с плюс границата на g(x) при х, клонящо към с, което е равно на - това тук е - (ще използваме същия цвят) -това тук си е равно на L: ще е равно на L плюс М - това тук е равно на М. Не е толкова трудно. Често това го наричаме Правило на сумата или Свойство на сумата от граници, и можем да намерим подобно такова при разликите - границата, при х, клонящо към с от f(x) минус g(x) ще е равна на L минус M. Това е границата на f(x) при х, клонящо към с минус границата на g(x) при х, клонящо към с. Така че, тук изразът ще е L минус... L минус М. Често това правило е с названието "Правило на разликата" или Свойство за разлика на граници, и това са, пак да кажем много, много (да се надяваме) логично разбираеми свойства. А какво се случва ако разгледаме произведението на функциите? Границата на f(x) по g(x) при х, клонящо към с е...? Ами, за наша радост това ще е арвно на границата от f(x) при х, клонящо към с, умножена по границата от g(x) при х, клонящо към с. За щастие, това е едно сравнително разбираемо свойство на границите. Така че в този пример ще е равни на - това е L, умножено по М. L, умножено по... ...ще е равно на L по М. Имаме същото нещо, тук вместо функция, налице е константа. Един вид ако имахме само границата - (ще използвам същия цвят тук) - границата на k по f(x) при х, клонящо към с, където k е дадена константа. Ще е налице равенство с k по границата на f(x) при х, клонящо към с, което е равно на... ...това е равно на L... Това е равно на L, така че цялото това нещо се опростява като k, умножено по... ...k, умножено по L. А можем да направим същото с разликите - това свойство често е наричано Свойство на множителя константа - можем да направи същото нещо с разликите. Един вид ако имаме границата при х, клонящо към с от f(x), делено на g(x), това е равно на границата от f(x) при х, клонящо към с, делено на границата от g(x) при х, клонящо към с, което ще е равно на - - мисля, че сега става ясно - това ще е равно на L върху M. И накрая - това понякога го наричаме Свойство на коефициента - накрая, ще погледнем Свойството на степенния показател. Така че ако имам... ...ако имам границата - нека запиша по този начин - от f(x) на някаква степен - и нека всъщност я запиша дори като дробна степен - на степен r върху s, където r и s са цели числа - тогава границата на f(x) на степен r върху s при х, клонящо към с ще е абсолютно същата като границата от f(x) при х, клонящо към с, отново повдигната на степен r върху s, когато r и s и двете са цели числа, и s не е равно на нула, в противен случай този показатаел не би имал много смисъл, и това е същото като... това е равно на L... ...равно е на L на степен r върху s. Това е равно на L на... ...L на степен r върху s. И така, като използваме тези свойства, можем всъщност да намерим границата на много, много, много неща, и хубавото е, че свойствата на границите представляват това, което искаме да направим, и ако изобразим графично някои от тези функции, нещата стават доста разбираеми.