Свойства на границите на функции

В това видео ще разгледаме няколко свойства на границите, но тук няма да ги доказваме стриктно - за да имаме стриктно доказателство на тези свойства, ни е нужно строго определение за граница, а в настоящото ръководство не правим това - ще го направим в ръководството за епсилон-делта определение на граница - но повечето от тези ръководства трябва да са сравнително разбираеми, а ще са и доста полезни при опростяването на задачи с граници в бъдеще. Така, да кажем, че знаем, че границата на дадена функция f(x) при х, клонящо към c е равна на L, и нека също знаем това, че границата на дадена друга функция, нека тя е g(x), при х, клонящо към с, е равна на M. Така, при дадени тези неща, на какво ще е равна границата на f(x) плюс g(x) при х, клонящо към с? Така, това може да се види нагледно - ако погледнем графиките на двете произволни функции, всъщност прибавяме тези две функции - ще стане пределно ясно, че ще е налице равенство с - и пак да кажа, че не правя строго доказателство; тук предоставям само свойствата - това ще представлява границата на f(x) при х, клонящо към с плюс границата на g(x) при х, клонящо към с, което е равно на - това тук е - (ще използваме същия цвят) -това тук си е равно на L: ще е равно на L плюс М - това тук е равно на М. Не е толкова трудно. Често това го наричаме Правило на сумата или Свойство на сумата от граници, и можем да намерим подобно такова при разликите - границата, при х, клонящо към с от f(x) минус g(x) ще е равна на L минус M. Това е границата на f(x) при х, клонящо към с минус границата на g(x) при х, клонящо към с. Така че, тук изразът ще е L минус... L минус М. Често това правило е с названието "Правило на разликата" или Свойство за разлика на граници, и това са, пак да кажем много, много (да се надяваме) логично разбираеми свойства. А какво се случва ако разгледаме произведението на функциите? Границата на f(x) по g(x) при х, клонящо към с е...? Ами, за наша радост това ще е арвно на границата от f(x) при х, клонящо към с, умножена по границата от g(x) при х, клонящо към с. За щастие, това е едно сравнително разбираемо свойство на границите. Така че в този пример ще е равни на - това е L, умножено по М. L, умножено по... ...ще е равно на L по М. Имаме същото нещо, тук вместо функция, налице е константа. Един вид ако имахме само границата - (ще използвам същия цвят тук) - границата на k по f(x) при х, клонящо към с, където k е дадена константа. Ще е налице равенство с k по границата на f(x) при х, клонящо към с, което е равно на... ...това е равно на L... Това е равно на L, така че цялото това нещо се опростява като k, умножено по... ...k, умножено по L. А можем да направим същото с разликите - това свойство често е наричано Свойство на множителя константа - можем да направи същото нещо с разликите. Един вид ако имаме границата при х, клонящо към с от f(x), делено на g(x), това е равно на границата от f(x) при х, клонящо към с, делено на границата от g(x) при х, клонящо към с, което ще е равно на - - мисля, че сега става ясно - това ще е равно на L върху M. И накрая - това понякога го наричаме Свойство на коефициента - накрая, ще погледнем Свойството на степенния показател. Така че ако имам... ...ако имам границата - нека запиша по този начин - от f(x) на някаква степен - и нека всъщност я запиша дори като дробна степен - на степен r върху s, където r и s са цели числа - тогава границата на f(x) на степен r върху s при х, клонящо към с ще е абсолютно същата като границата от f(x) при х, клонящо към с, отново повдигната на степен r върху s, когато r и s и двете са цели числа, и s не е равно на нула, в противен случай този показатаел не би имал много смисъл, и това е същото като... това е равно на L... ...равно е на L на степен r върху s. Това е равно на L на... ...L на степен r върху s. И така, като използваме тези свойства, можем всъщност да намерим границата на много, много, много неща, и хубавото е, че свойствата на границите представляват това, което искаме да направим, и ако изобразим графично някои от тези функции, нещата стават доста разбираеми.