Обратими матрици и трансформации

Дадени са две матрици с размери 2 х 2. В други видеа сме разглеждали как матрица 2 х 2 може да представя трансформация на координатната равнина, на двумерна координатна равнина, в която това е оста х, а това е оста у. В това видео ще покажа тези трансформации и ще видим нагледно защо е оправдано, че матрицата А има матрица А обратна, или защо матрица А е обратима, както и защо не е логично матрица В да има матрица В обратна, т.е. матрица В е необратима матрица. Само да припомним – тези матрици на трансформация по същество ни казват какво се случва с единичните вектори. Например имаме единичния вектор [1; 0] и първият стълб на всяка от двете матрици ни казва по какъв начин ще се трансформира единичният вектор, векторът, който е с дължина единица в посока х, как ще се трансформира този вектор при всяка от тези две трансформации. После имаме единичният вектор с дължина 1 в посока у, който е [0; 1], и вторите стълбове на тези две матрици ни показват как ще се трансформира този единичен вектор. Първо да разгледаме матрицата А, която трансформира вектора [1; 0] във вектор [2; 1], който изглежда ето така. (чертае го в червено) Първата матрица трансформира единичния вектор [0; 1] във вектор [2;3], който изглежда ето така. (чертае) Един начин да подходим е, вместо да използваме тази мрежа, която виждаме в момента, която съдържа стандартните координатни оси, да дефинираме нова мрежа, която би изглеждала по следния начин: ще дефинирам тази мрежа, като взимам кратните на вектора, в който е трансформиран единичният вектор [1;0], и също така от кратните, в които е трансформиран векторът [0;1]. Например, ако взема тази точка ето тук преди трансформацията, (поставя бяла точка) тя има по един от всички тези вектори, а след първата трансформация това ще бъде един от всеки от тези вектори. (очертава ги с бяло) Това са единичният вектор [1; 2] плюс единичният вектор [2;3], така че тази точка ще се изобрази в тази точка, а по същата логика тази точка ето тук, (поставя друга точка) която е с една единица повече спрямо оста х, сега тя ще има една единица повече в посоката, в която е трансформиран единичният вектор по оста х. Тази точка ето тук, по същата логика, ще е с една единица повече в посоката, в която е бил трансформиран единичният вектор у, значи ще бъде ето тук. Тази точка тук, по същата логика, се трансформира в тази точка. Тази област, която защриховам в бяло, ще се трансформира в тази област. Тук има няколко очевидни неща. Една двумерна площ се трансформира в друга двумерна област, която по същество изглежда, че е мащабирана, за което сме говорили в други видеа, относно мащабиращия коефициент, който е равен на абсолютната стойност на детерминантата на матрицата А. Честно казано, тя трябва не само да е различна от нула, но образът очевидно изглежда по-голям от първоначалната област, която мащабираме, но самият факт, че детерминантата не е равна на нула, означава, че мащабираме от двумерна област в друга двумерна област. Така че е съвсем оправдано да можем да се върнем обратно, да можем да намерим трансформация, която ни отвежда от втората област до първоначалната област. Това ни дава увереност, че съществува матрица А обратна. Сега, като противоположен пример, да разгледаме матрицата В. Матрицата В трансформира единичния вектор [1; 0] в единичния вектор [2; 1], т.е. трансформира в този единичен вектор, което е много подобно на това как матрицата А го трансформира. Но сега да видим какво се случва с единичния вектор [0; 1] – трансформира го в този вектор [4; 2], като обърни внимание, че векторът [4;2] е просто два пъти вектора [2; 1] – има същата посока, но различна дължина. В този случай взимаме обектите от двумерното пространство и ги трансформираме в комбинация от обекти, които лежат в същата посока. Всичко в две измерения ще се изобрази в нещо по протежение на тази права ето тук. Значи тази област, ако приложим трансформацията В, ще бъде област върху тази права ето тук, всичко, което изобразим с помощта на тази матрица В ще се изобрази върху тази права, така че тръгваме от обект, който има площ, и го изобразяваме в обект, който няма площ, следователно мащабиращият коефициент трябва да е нула. Знаем, че щом абсолютната стойност на детерминантата на матрицата В е нула, като можем с основание да твърдим, че детерминантата на матрицата В е равна на нула, тогава ще съществува ли матрица В обратна? Как можем да имаме нещо, което мащабира от нулева площ до нещо, което има площ? Знаем, че матрицата В обратна не съществува, няма трансформация, която да ни върне обратно. Тук има няколко неща, които потвърждават идеята, че ако детерминантата на една матрица на трансформацията е равна на нула, тогава не съществува обратна матрица, матрицата е необратима. Другото нещо, което трябва да отбележим, е, че закономерностите в самата матрица – тук видяхме, че вторият стълб е просто кратно на първия стълб, той е просто две по първия стълб – 2 по 2 е 4, 1 по 2 е 2, което можем да разглеждаме и по обратния начин – първият стълб е кратно на втория стълб, и можеш да го покажеш математически, ако искаш, за да го обобщим и да видим дали в такъв случай детерминантата винаги ще е равна на нула. А това е така, защото ако разглеждаме матрицата като трансформация, тя ще изобрази областта в права и ще загубим цялата площ. Ако разглеждаме това като образ на лявата страна на система от уравнения, можеш да си представиш, че това са прави, които имат еднакъв наклон, но за това ще говорим в други видео уроци.