Стоящи вълни на струни

Ако имаш среда и я нарушиш, можеш да създадеш вълна. И ако създадеш вълна в среда, която няма граници – с други думи, среда, която е толкова голяма, че тази вълна никога няма да срещне границата, тогава нищо не те спира да направиш вълна с каквато да е дължина на вълната или честота. Тоест няма естествено предпочитани дължини на вълните, всички са толкова добри, колкото всяка друга дължина на вълната. Но ако затвориш тази вълна в среда, която има граници, вълната ще се отрази, когато срещне границата и това означава, че ще се припокрие със себе си. И когато това се случи, можеш да създадеш нещо, което се нарича стояща вълна. И след малко ще говорим какво означава това, но причината да ни интересуват е, понеже когато се получат стоящи вълни, те избират предпочитани дължини на вълните и честоти. Само определени дължини на вълните и честоти ще създадат тези стоящи вълни и в крайна сметка се получава това, че тези често стават доминиращи. Ето защо е важно да учим за стоящите вълни. Нека проучим някои стоящи вълни. Нека вземем един пример. Да кажем, че имаш една нишка – опа, не толкова много нишки. Една нишка тук и я заковаваш в двата края. Така ще предотвратиш всякакво движение на края на тази нишка. Нишката може да се извива в средата, но не може да се извива в крайните точки. Това не е толкова налудничаво. Една струна на китара по същество е нишка, фиксирана в двата края. Струните на пианото са нишки, фиксирани в двата края. Физиката зад стоящите вълни определя видовете ноти, които ще получиш на всички тези инструменти. И между другото, тази точка тук – по същество се уверяваме, че никакво няма движение. Под това, че я заковаваме, имам предвид, че няма да има движение в тази крайна точка и няма да има движение в тази крайна точка. Вместо да наричат тези "точки без движение", физиците са измислили име за това. Наричат ги възли на стоящата вълна. Възел е малко засукана дума, която казва, че в тази точка няма движение. За тази нишка ще има възли във всеки край. И ще видим, че когато създадеш една стояща вълна, е възможно да има възли в средата, но не е нужно да има такива. За тази нишка обаче трябва да се уверим, че ще има възли във всеки край. Защо се получава една стояща вълна и как се получава? Да кажем, че дърпаш края на нишката и причиняваш смущение. Това смущение ще се движи надолу по правата, понеже това правят вълните. Ще дойде ето тук. След като срещне граница, тя ще се отрази обратно наляво. Оказва се, че когато една нишка стигне до граница, където е фиксирана – с други думи, когато стигне до възел тя се преобръща. Може да си опитвал/а това с маркуч. Изпращаш пулс надолу по правата и опитваш да видиш как ще се отрази той – бива отразен обърнат надолу. Няма голямо значение за нашите цели, но всеки път, когато се отрази, той обръща посоката си и продължава да отскача. Да кажем, че вместо да изпратим един-единствен пулс, изпращаме множество пулсове. Изпращаме ги като проста хармонична вълна. Когато това нещо се отрази, то ще се отрази върху себе си, понеже този водещ ръб ще бъде отразен наобратно насам и ще срещне останалата част от вълната зад себе си. И ще се припокрие с нея, създавайки обща вълна, която ще е съставена от вълната, движеща се надясно, плюс вълната, движеща се наляво. И можеш да използваш суперпозиция и интерференция, за да откриеш какво е това, което, за повечето дължини на вълните, ще е пълна каша. Ако просто изпратиш каквато дължина на вълната искаш и я оставиш да се отрази обратно към себе си, общата вълна, която ще получиш, може да не е нищо специално. Може да е някаква каша. Нищо кой знае колко интересно. Но ще има определени дължини на вълните, които създават стояща вълна и след малко ще ти покажа как изглежда това. Как намираш тези специални дължини на вълните? Просто се питаш: "Какви дължини на вълната мога да начертая на тази нишка, така че във всеки край да има възел? Каква дължина на вълната ще побера в тази област и ще имам възли и в двата края?" Вместо да се опитваме да съберем сложна суперпозиция вълни, можем да намерим специалните дължини на вълните, просто като ги начертаем и видим кои се побират. Нека пробваме това. Нека се отървем от това. Какви дължини на вълната ще се поберат тук? Знаем как изглежда една проста хармонична вълна. Изглежда ето така. Въпросът, който трябва да зададем, е: "Ако започнем от точка 0, понеже искаме да се уверим, че в левия край има възел, как може да изглежда формата на тази графика, така че и в другия край да стигна до възел?" Първата възможност, погледни – ако започна от възел, кога отново стигам до възел? Стигам до възел, когато това приеме тази форма тук. Тук има друг възел. Първата възможност, която ще е най-дългата, най-голямата възможност, ще е вълна, която изглежда ето така. Изглежда като въже за скачане. Това ще е първата възможна стояща вълна, която можеш да поставиш на тази нишка. И това означава, че е специална – нарича се фундаментална дължина на вълната. Това е голямото момче. То доминира над всички останали дължини на вълните, които ще срещнем. Да, има други стоящи вълни, които можеш да поставиш тук, но тази е най от значение. И ако оставиш тази нишка да вибрира както си иска, тя ще избере фундаменталната дължина на вълната. Какво ще видим да се случи? Тази нишка няма просто да увисне във въздуха ето така. Тя ще се движи наоколо. Но тези се наричат стоящи вълни, понеже този връх вече не изглежда сякаш се движи надясно или наляво. Този връх просто ще се движи нагоре и надолу, така че много пъти, когато начертаем тези стоящи вълни, чертаем прекъсната линия отдолу, която е отражение на удебелената линия, понеже този връх просто ще премине от горе до долу, а после обратно до горе. Просто ще трепти. Ще изглежда като въже за скачане, но няма да се върти. Просто ще се движи нагоре, после надолу, после нагоре, после надолу. Приема тази форма, после ще е плоско, после може да изглежда ето така. После слиза тук долу, после се връща тук горе и продължава да се движи нагоре и надолу. Наричаме я стояща вълна, но повече прилича на танцуваща. Малко прилича на танцуваща вълна, но наричаме тези вълни стоящи, понеже тези върхове не се движат надясно или наляво. Това е фундаменталната дължина на вълната. Как ще изглежда следващата възможност? Да видим, трябва да тръгнем от възел. Знаем, че трябва да минем от един възел чак до друг възел. Това беше първият. Нека продължим и да стигнем до следващия Това ще е следващата възможно стояща вълна, понеже ще трябва да се побере тук. Как ще изглежда това? Ще дойде нагоре, ще слезе надолу, а после ще се върне обратно нагоре, така че да срещне този възел в другия край. Това ще е следващата дължина на вълната. Понякога се нарича втора хармонична вълна. Втора, понеже е втората възможност, хармонична, понеже тези са резонанси, и този термин много се използва, когато говориш за резонанси при музикалните инструменти. Как ще изглежда третата хармонична вълна? Трябва да започнем от някой възел и да стигнем до този. Това беше фундаменталната вълна, това е втората хармонична вълна, така че това ще е третата хармонична вълна. Тази ще дойде нагоре, ще слезе надолу, ще се върне обратно нагоре, а после ще слезе обратно надолу и това ще е третата хармонична вълна. И можеш да видиш, че можеш да продължиш. Можеш да създадеш безброй много такива. Но нека анализираме какво се случва. Какво всъщност се случва при тези стоящи вълни? Забележи, че ще има точки, както ето тук на тази трета хармонична вълна, и ако начертая нейното огледално изображение, така че да мога да получа това... Ще изглежда ето така може би малко след – всъщност точно половин период след тази плътна линия. Чакаш малко, този връх се мести тук долу, тази долина се мести нагоре до този връх, този връх се мести надолу до тук, те трептят назад-напред. Но забележи, че тази точка тук просто си стои на едно място. Няма да се движи. Това е възел, както и тази точка тук. Тези точки се получават, понеже когато тези вълни се подредят обратно горе, спомни си – тази вълна се движи надясно, отскача обратно наляво и в тази точка тук и тази точка тук получаваш деструктивна интерференция между тези две вълни. Подобно, в тези точки, когато получаваш максималното преместване, двете вълни се подреждат по такъв начин, че се получава конструктивна интерференция. Възлите са деструктивните точки, където вълната се унищожава. Това е логично, понеже тук не се случва нищо, няма движение. А тези точки на максимално преместване са конструктивните точки. Трябва да им дадем име. Как мислиш ги наричаме? Ако предположи "върхове", позна. Те се наричат върхове на стоящата вълна понеже тук има най-много движение. Често ще трябва да намериш математически, по отношение на дължината на нишката, какви са реалните дължини на вълните, които можеш да получиш. Чертаенето на картинката ти позволява да ги намериш. Но как ги получаваш математически? Тук създадох ужасна каша. Нека поразчистя. Извинявай за това. Нека се отърва от всичко това. Нека просто добавя няколко нишки тук. И за да не става това твърде абстрактно, нека кажем, че дължината на тази нишка – доста е голяма – да кажем, че е 10 метра. Много дълга нишка. Застопоряваш я в двата края. Първата стояща вълна изглеждаше ето така. Подобно на въже за скачане – ето така. Ако нишката има дължина от 10 метра, каква ще е дължината на тази вълна? Може да кажеш 10 метра, но не е така. Помни, това не е една цяла дължина на вълната. Ако погледнем този модел на вълната, който имахме ето тук, който използвахме, това е една цяла дължина на вълната. Трябваше да преминеш чак дотук, за да преминеш през една цяла дължина на вълната. Това беше само половин дължина на вълната. Това въже за скачане е само половин дължина на вълната. Как ще изглежда една цяла дължина на вълната? Това ще се удължи чак дотук, чак обратно догоре, не мога да стигна дотам, за да не изляза от екрана. Това ще е една цяла дължина на вълната. Това ще е 10 метра и още 10 метра. Това означава, че дължината на тази вълна, въпреки че една цяла дължина на вълна не се събира тук, ако тук имаше една цяла дължина на вълната на тази нишка, тази дължина на вълната ще е 20 метра. Каква беше следващата вълна? Изглеждаше ето така. Имаше един възел в средата, докато първата фундаментална дължина на вълната нямаше възли в средата. И отново – ако тази нишка е 10 метра, на колко е равна тази дължина на вълната? Това е лесно. Това е една цяла дължина на вълната. Това просто ще е 10 метра. Дължината на вълната тук ще е 10 метра, понеже една цяла дължина на вълната точно се събира в дължината на нишката от 10 метра. И третата хармонична вълна изглежда подобно на това. Има два възела в средата. Забележи, продължаваш да избираш друг възел в средата. Фундаменталната няма възли в средата. Втората хармонична вълна има един възел в средата. Третата хармонична ще има две. Четвъртата ще има 3 и така нататък. Каква е тази дължина на вълната? На хората им е много по-трудно да намерят това. Нека я разгледаме. Една дължина на вълната е чак дотук. Това е една дължина на вълната. Но нашата нишка е толкова дълга. Каква част от тази дължина е дължината на тази вълна? Погледни, дължината на тази вълна е 2/3 от цялата дължина на нишката. Това означава, че можем просто да кажем, че тази дължина на вълната е 2/3 от 10 метра, което е – можем да го запишем като 20 метра върху 3 и ще продължим тук. Ще начертая останалите. Това е четвъртата хармонична вълна. Колко голяма е тази дължина на вълната? Тази дължина на вълната покрива половината от нишката. Тази дължина на вълната ще е половината дължина на нишката и това ще е половината от 10, което е 5 метра. И можем да продължим. Мога да начертая петата хармонична вълна тук долу. Ще изглежда ето така и можеш да се запиташ колко голяма е тази дължина на вълната. Тази дължина на вълната, да видим. 1, 2, 3, 4, 5, имаме 5 от тези издатини тук. Дължината на тази вълна ще е 2/5 от цялата тази дължина. Ще запиша, че ламбда ще 2 по 10, което ще е 20 метра – 2/5 от 10 ще е 20 метра върху 5 – което можем да опростим до 4 метра. Но какво ще правиш, ако те попитат за 43-тата хармонична вълна? Ако те попитат каква е дължината на вълната на 43-тата хармонична вълна? Не искам да сядам и да чертая 43 от тези неща и да опитвам да намеря каква част е. И не е нужно. Тук има един модел. Нека ти покажа модела. Това ще изглежда странно, но ще запиша тази първа фундаментална дължина на вълната като 2 по 10 метра върху 1. И после ще запиша втората хармонична вълна като 2 по 10 метра върху 2. И ще запиша тази трета хармонична вълна като 2 по 10 метра върху 3. Тази четвърта хармонична вълна ще е 2 по 10 метра върху 4. Тази пета хармонична вълна еквивалентно може да бъде записана като 2 по 10 метра върху 5, тъй като това е 20/5. Надявам се, че сега виждаш модела. Осъзнаваш, че виждаш какво става тук. Ако искаш дължината на вълната на n-тата хармонична вълна, n може да е първата, втората, третата, n е цяло число – 1, 2, 3 и така нататък. Мога да намеря каква ще е дължината на тази вълна, просто като взема две по дължината на нишката – ще запиша това като L, това се прилага към всяка нишка с всякаква дължина, стига да има възлови точки в крайните точки. Взимам 2 по L и после просто деля на n. С други думи, ако искам дължината на вълната на 84-тата хармонична вълна, просто ще взема 2 по дължината на нишката ми и ще разделя на 84. Ако искам 33-тата хармонична вълна, ще взема 2 по дължината на нишката върху 33 и това ще ми даде дължината на вълната на тази хармонична вълна. Сега трябва да помниш, че когато извлякохме това уравнение, начертахме тези картинки и всички тези картинки приемат, че крайните точки са възли. Това уравнение приема, че имаш възел Възел, стояща вълна на нишка, което, честно казано, почти винаги е така, тъй като при всички струнни инструменти двата края са фиксирани. Да обобщим, когато затвориш една вълна в определена област, вълната ще се отрази от границите и ще се припокрие със себе си, водейки до конструктивна и деструктивна интерференция. За определени дължини на вълните можеш да създадеш стояща вълна, което означава, че вълната просто трепти нагоре-надолу, вместо отляво-надясно. При тези стоящи вълни точките, в които няма движение, се наричат възли. А точките на максимално преместване се наричат върхове на стоящите вълни. Можеш да намериш възможните дължини на вълната на една стояща вълна на нишка, фиксирана в двата края, като се увериш, че стоящата вълна приема формата на проста хармонична вълна и има възли в двата края. Ако направиш това, ще получиш формулата за възможните дължини на вълните за стояща вълна с два възела като два пъти дължината на нишката, делено на номета на хармоничната вълна, която те интересува.