Извличане на трансформациите на Лоренц, част 1

Във всички наши видеа за специалната теория на относителността дотук правихме този малък мисловен експеримент, при който се нося в пространството и точно при време равно на 0 една приятелка прелита край мен в своя космически кораб. Тя пътува в положителна посока х, скоростта е равна на x и чертаем пространствено-времеви диаграми за двама ни. Първо чертая моята пространствено-времева диаграма в бяло, а после нанасям нейната пространствено-времева диаграма. И ъгълът, който се образува между осите на времето и осите на позицията ето тук ще бъде продиктуван от това каква е стойността на v, колко бързо се движи тя. И даваме пространствено-времевата диаграма от нейната отправна система, виждаме малките чертички тук. Едно нещо, за което може би мислеше през всички тези видеа, е: "Ако възприема нейното движение в положителна посока х със скорост v, ако вземем нейната гледна точка" и това имам тук... Ако тя гледа на себе си като просто носеща се в пространството, когато тя ме види при време t = 0, аз ще кажа, че е точно при t' = 0. Казваме, че t' = 0 и t = 0 съвпадат. Точно в този момент тя ще ме види да прелитам в отрицателна посока х с -v. Отново – няма абсолютна отправна система. Тези отправни системи са абсолютни... Извинявай, тези отправни системи са относителни. Можеш да си представиш как ще изглежда това, понеже ако начертаем нейната пространствено-времева диаграма, при която нейните оси ct' и x' са перпендикулярни една на друга, въз основа на това моята пространствено-времева диаграма ще е под ъгъл. Тя е под ъгъл, ето така. Можеш да видиш, че положителната ос ct е във втория квадрант тук, понеже се движа със скорост -v, но тези ъгли ще са еднакви. Това ще е алфа и това ще е... нека запиша това... това ще е алфа, а това ето тук също ще е алфа. В това видео искам да използвам тази симетрия, да използвам тези две идеи, за да намерим трансформацията на Лоренц, или трансформациите на Лоренц. Начинът, по който можем да започнем – и това е логичен начин, по който да намерим трансформациите на Лоренц – е да кажем: "Добре, можем да започнем с Галилеевата трансформация, при което можем да кажем, че Галилеевата трансформация ще е x' ще е равно на х минус v*t. v*t." Вече знаем, че ако използваш Галилеевата трансформация, скоростта на светлината няма да е абсолютна, няма да е една и съща във всяка отправна система. Трябва да премахнем ограниченията, че времето и пространството са абсолютни, така че ще участва някакъв вид коефициент на мащабиране. Наричаме този коефициент на мащабиране гама. Можем да кажем: "Нека просто постулираме, че x', ако приемем, че скоростта на светлината е абсолютна, ще е някакъв коефициент на мащабиране, гама, по х - vt." Можеш да направиш същия аргумент и наобратно. Ако разгледаш това от нейната отправна система и се опиташ да разгледаш това спрямо моите координати, можеш да кажеш: "Вместо просто да използваме Галилеевата трансформация, че х ще е равно на х', а сега вместо v, имаме -v." Ако извадиш -v, всъщност нека просто го запиша така: x - (-v)t'... това е Галилеевата трансформация, но какъвто и коефициент на мащабиране да използваме тук, тук има симетрия. Не е нужно да използвам различен коефициент, ако приема, че съм в различна отправна система. Ако приемем абсолютността на скоростта на светлината, ще имаме някакъв друг коефициент, ето така, или можем да преобразуваме това като х... нека направя това в същия цвят – можем да преобразуваме това като х е равно на този коефициент... Днес ми е много трудно да сменям цветовете. Това ще е равно на този коефициент на мащабиране по x' и изваждаме минуса, става +vt'. И ако игнорираш коефициента тук, това е Галилеевата трансформация от отправната система с "прим" към обикновената отправна система. Едно интересно нещо би било какъв е този коефициент. Как да открием какъв ще е този коефициент на мащабиране? Можем да направим малко интересни изчисления тук. Можем да направим следното. Нека запиша това, което току-що записах, точно тук отдолу. Можем да кажем, че х... Сменянето на цветовете отново е трудно. Можем да запишем, че х е равно на нашия коефициент, гама, по x' + vt'. И сега, за да имаме уравнение, което включва всички интересни променливи, ще умножа двете страни на това уравнение по – това е един начин да мислим за това – ще умножа двете страни на горното уравнение по х. Ако умножа лявата страна по х, ще имам х по x', х*x'. И, после, мога да умножа дясната страна на уравнението по х, но х е същото нещо. То е същото нещо като гама по всичко това. Просто ще умножа лявата страна на уравнението и ще умножа дясната страна на уравнението. Ако умножа дясната страна на уравнението, получавам гама на квадрат по... и тук ще имам един голям израз, тук просто прилагам разпределителното свойство два пъти, х*x', х*x'. А после х по +vt. Това прим (') не изглежда като прим. х*x' плюс х по +vt плюс х по... всъщност трябва да кажа vt', тук трябва да внимавам. х по +vt', а после имам -vt по x'. Това ще е -vt по х'. А после ще имам -vt по +vt'. Мога да запиша това като отрицателен знак. Нека запиша това като vt^2. Извинявай, -v^2. Всъщност нека изтрия тези скоби. Не искам да скупчвам нещата без основателна причина. Ще имам -v*v, тоест това е -v^2, а после по t, по t'. По t'. И нека сега сложа скобите. Как мога да използвам това шантаво нещо, за да намеря гама? Тук ще се върнем обратно към един от основните постулати, едно от предположенията на специалната теория на относителността, и това е, че скоростта на светлината е абсолютна. Като я измериш, тя ще е еднаква във всяка отправна система. За да помислим за това, нека си представим едно събитие, което е свързано с началната точка с един светлинен лъч. Нека да кажем, че точно при време t и t' равно на 0 включа фенерчето си и, да кажем, че то стигне до нещо в някаква точка. Гледаме някакво събитие тук и те са свързани от лъч светлина, от фотони. Нека ги свържа. Ако кажеш – и, отново, може да включвам фенерчето си и това може да е фотонът някъде в бъдещето, на разстояние напред и напред в бъдещето, може да е при някаква позиция или може би стига до нещо, полага началото на някакъв вид реакция. Кой знае какво прави, но ще говорим за това събитие тук. Координатите на това събитие в отправната ми система ще са х и ct. И тъй като знаем, че скоростта на светлината е абсолютна и, по начина, по който направих тези диаграми, пътят на светлината винаги ще е под 45 градуса, или под ъгъл от -45 градуса, знаем, че х ще е равно на ct. х ще е равно на ct за този определен случай. Мога да го начертая и на тази диаграма, ако искам. Нека го начертая, за да покажа, че мога. Може да е ето така. Ще изглежда така и отново ще имаме х да е равно на ct. Как ще разчетеш това? За да получиш координатата х, преминаваш успоредно на оста ct. Това ще е координатата х на тази диаграма. А за координатата ct преминаваш успоредно на оста х. Ето така. Но, отново, х ще е равно на ct и, подобно, понеже скоростта на светлината ще е абсолютна във всяка отправна система, ако погледнем x' – x' ще е същото – трябва да е равно на ct'. Ако погледнем тук, x' ще е равно на ct'. Отново, понеже светлината – това ще е под ъгъл от 45 градуса. x' е равно на ct'. Те са свързани от светлинни събития. Ако вземеш промяната в х и я разделиш на промяната във времето, това ще е скоростта на светлината. Можем да използваме тази информация за това определено събитие, ако гама ще е вярно за всички трансформации, тя определено ще е вярна за това определено събитие. Мога да използвам тази информация, за да заместя и после да намеря гама. Точно това ще направя в следващото видео, но те окуражавам да го изпробваш самостоятелно, преди да гледаш следващото видео.