Връзка между ъглова скорост и скорост

Да кажем, че имаме някакъв обект, който се движи в кръг. Да кажем, че това е центърът на пътя на обекта, центърът на окръжността. Обектът се движи в кръг, който изглежда нещо подобно. Кръгов път, обратно на часовниковата стрелка – можеш да направиш това и по посока на часовниковата стрелка. Искам да помисля колко бързо се върти около този център. Как това е свързано със скоростта му? Да кажем, че това нещо тук прави пет обиколки всяка секунда. За една секунда прави 1, 2, 3, 4, 5. Всяка секунда прави по 5 обиколки. Как можем да свържем това с колко радиана изминава в секунда? Спомни си, че радианите са просто един начин да измерваме ъгли. Можеш да направиш това с колко градуси в секунда... Ако използваме градуси, всяка обиколка ще е 360 градуса. Ако го направим с радиани, знаем, че всяка обиколка е 2π радиана. Ако изминеш цялата окръжност, изминаваш 2π радиана, което просто казва, че изминаваш 2π радиуса, какъвто е радиусът на окръжността, и това всъщност е определението, от което произлизат радианите. Ако изминаваш 5 обиколки в секунда и имаме 2π радиана на обиколка, тогава можеш да направиш анализ на размерностите. Тези се съкращават и получаваш 5 по 2π, което ни дава 10π радиана в секунда. И анализът на размерностите върши работа и се надявам, че ти се вижда логично. Ако правиш 5 обиколки в секунда, всяка от тях е 2π радиана, тоест изминаваш 10π радиана в секунда. Изминаваш 1, 2, 3, 4, 5, това ни дава 10, или 2π, 2π, 2π, 2π, 2π радиана всеки път – правиш това 5 пъти в секунда, тоест изминаваш 10π радиана в секунда. Това тук е или 5 обиколки в секунда, или 10π радиана в секунда. И двете измерват едно и също нещо – колко бързо обикаляш около тази централна точка. И тази мярка за колко бързо обикаляш около една централна точка се нарича ъглова скорост. Нарича се ъглова скорост, понеже, ако помислиш за това, тя ни казва колко бързо се променя ъгълът ни, или големината на скоростта на ъгъла. Когато си имаш работа с това в две измерения и така обикновено работим по задачи от ранен курс по физика... Въпреки че се нарича ъглова скорост, обикновено се третира като ъглова големина на скоростта. Това всъщност е векторна величина и е малко нелогично – векторът всъщност излиза от страницата. Това всъщност е псевдо вектор и ще говорим повече за това в бъдеще. Това е векторна величина и посоката на вектора зависи от посоката на въртенето на това. Например когато се върти в посока, обратна на часовниковата стрелка, реалният ъглов вектор излиза от страницата. Започваме да мислим за действия в три измерения. И ако се движи по часовниковата стрелка, векторът на ъгловата скорост ще е към страницата. Начинът да мислиш за това е с правилото за дясната ръка. Свий пръстите на дясната си ръка в посоката, в която това се върти, и палецът ти сочи в посоката, в която ще е насочен векторът. Няма да мислим много за това. За целите ни, когато мислим само за двумерната равнина, можем да мислим за ъгловата скорост като – официалният термин е псевдоскаларна – но можем да включим това като скаларна величина, стига да покажем в коя посока се върти. Това тук, тези 10π радиана в секунда – ще наречем това ъгловата скорост. И това обикновено се отбелязва с омега, с малката буква омега. Голямата буква омега изглежда ето така. Малката буква омега се използва за ъглова скорост. Има два начина да помислиш за това. Можеш да кажеш, че ъгловата скорост е равна на промяната в ъгъла върху промяната във времето. Например това ни дава 10π радиана в секунда. Или ако искаш да го направиш с висша математика и вземеш моментната ъглова скорост, това ще е производната на ъгъла ти по отношение на времето, как се променя ъгълът по отношение на времето. Като изяснихме това, искам да видя как това се свързва с големината на скоростта. Как това се свързва с реалната големина на скоростта на обекта? За да получим големината на скоростта на обекта, просто трябва да помислим колко надалеч отива обектът с всяка измината обиколка. И тук можем – да кажем, че този радиус е r. С всяка обиколка той изминава 2πr. Да кажем, че това е r метра, да си дадем мерни единици. Тоест обиколката тук ще е 2πr метра. Да кажем, че ъгловата скорост е равна на омега радиани в секунда. Колко обиколки е това в секунда? Можем да се върнем назад от това, което направихме тук. Една обиколка е равна на 2π радиана. Да поясним, понякога ъгловата скорост се измерва в обиколки в секунда, но SI мерната единица е в радиани в секунда. Тук искам да преобразувам омега от радиани в секунда на обиколки в секунда. Радианите се съкращават и ни остава – имаме омега върху 2π обиколки в секунда. Знаем колко метра имаме за една обиколка. Имаме 2πr метра за обиколка. Копираме и поставяме това. Ъгловата ни скорост, ако искаме обиколки в секунда, ще е омега върху 2π обиколки в секунда. Омега е в радиани в секунда, ако го поставим в обиколки в секунда, омега, делено на 2π обиколки в секунда. И после умножаваме по – искаме да преобразуваме това в метри в секунда. Колко метра имаме на обиколка? Ще изминем цялата обиколка, тоест 2πr метра на обиколка. Тези двете се съкращават. 2π се съкращава с това 2π. Получаваш омега по r метра в секунда. Ето така имаме големината на скоростта на обекта, докато се движи в кръг. Можем да кажем, че големината на скоростта – ще уточня това с v – това не е векторна величина, това не е скоростта, а големината на скоростта. Това е големината на скоростта и ще е равна на омега по r Големината на скоростта е равна на ъгловата скорост по r. Предполагам можем да кажем големината на ъгловата скорост по радиуса. Не искам да се объркваш, не казвам, че това е векторна величина. Ако това беше вектор, щях да поставя една стрелка ето тук. И ако това беше вектор, щях да поставя една стрелка тук, тогава щях да имам предвид нещото, което изскача от страницата, но тук говоря за големината на ъгловата скорост. Големината на скоростта е равна на ъгловата скорост – ако искаш да уточниш, това е големината на ъгловата скорост – по радиуса на окръжността, около която обикаляш. И ако искаш да намериш ъгловата скорост, делиш двете страни на радиуса и получаваш ъгловата скорост, омега, е равна на големината на скоростта, за която използваме v, делена на радиуса. Можем да използваме тази информация, за да правим други интересни неща по-късно. Но се надявам, че това ти дава представа как са свързани тези неща.