Кинематика на въртеливо движение

В предишните няколко видеа дефинирахме всички тези нови променливи за кръгово движение и ги дефинирахме по същия начин, по който дефинирахме тези променливи за линейно движение. Например това ъглово преместване беше дефинирано по същия начин, по който дефинирахме нормалното преместване, то е просто – това е ъгловата позиция, вместо нормалната позиция. Подобно, тази ъглова скорост беше ъгловото преместване върху времето, точно както скоростта беше нормалното преместване върху времето. И ъгловото ускорение беше промяната в ъгловата скорост върху времето, точно както нормалното ускорение беше промяната в нормалната скорост върху времето. И понеже тези дефиниции са еднакви, с изключение на факта, че променливата за линейното движение е заменена от съответната си ъглова променлива, всички уравнения, резултати и принципи, които намерихме за променливите за линейно движение, също ще са верни за променливите за кръгово движение, стига да заместиш променливата за линейно движение в това уравнение с нейната съответна променлива за кръгово движение. Това работи дори при графиките. Да кажем, че имаш графика на скоростта и времето и тя изглежда така. След като вече знаем от едномерното движение, че наклонът на тази графика на скоростта и времето е равен на ускорението, това означава, че на една графика на ъгловата скорост и времето наклонът ще представлява ъгловото ускорение, понеже зависимостта между омега и алфа е същата като зависимостта между v и а. Подобно, площта под кривата на една графика на скоростта и времето представляваше преместването. Това означава, че площта под кривата на една графика на омега и времето, ъгловата скорост и времето, ще представлява ъгловото преместване. И ако помниш от едномерното движение, начинът за намиране на голяма част от тези едномерни кинематични формули, които свързват тези променливи на линейното движение, беше като гледаме площта под графиката на скоростта. Можем да направим същото нещо за променливите на кръговото движение. Можем да намерим тази площ, да я свържем с омега и алфа и ще получим киннематичните формули при кръгово движение, но вече знаем, че след като всички тези са дефинирани по същия начин по който са дефинирани променливите на линейното движение, ще получим точно същите уравнения, просто променливата на линейното движение ще бъде заменена от съответната променлива за кръгово движение. Нека запишем това. Първо ще запишем кинематичните формули за линейно движение. Ако помниш, те изглеждаха така. Те са ето тези. Това са четирите кинематични формули, които свързват променливите за линейно движение. Но помни, тези уравнения вършат работа, само ако ускорението е постоянно. Но ако ускорението е постоянно, тези четири кинематични формули са удобен начин да свържем всички тези кинематични променливи за линейно движение. Ако искаш кинематичните формули за кръгово движение, можеш да направиш нещата, които направихме преди, за да ги намерим, чрез използване на площта под кривите. Но след като знаем, че зависимостта между всички тези променливи на кръговото движение е същата като зависимостта между тези променливи на линейното движение, мога да създам кинематичните формули на кръговото движение, просто като заменя всички тези линейни променливи със съответните им променливи за кръгово движение. Нека направим това. С други думи, вместо v, скоростта, крайната скорост, ще имаме омега, крайната ъглова скорост. Вместо начална v, начална скорост, ще имам началната ъглова скорост. Вместо ускорението, ще имам ъгловото ускорение. И времето си е просто време. Няма такова нещо като ъглово време или линейно време. Доколкото знаем, има само едно време и това е t и то върши работа във всяко уравнение. Вероятно можеш да предположиш кога тези кинематични формули за ротационно движение ще са верни. Това ще е, когато алфа, ъгловото ускорение, е константа (постоянно). И можеш да продължиш, където имаше х, това беше нормалната позиция, ще го замениш с тита, ъгловата позиция. Ще заменя всички тези х с тита. Ще заменим всички ускорения с ъглови ускорения. И после ще оправя тези начални и крайни v. И ги получихме – това са формулите за кръгово движение. Те са верни, само ако ъгловото ускорение е константа, но ако е константа, те са удобен начин да свържем всички тези променливи на кръгово движение и можеш да решиш много задачи, като използваш тези кинематични формули за кръгово движение. Всъщност ги използваш по точно същия начин, по който използваше тези стандартни кинематични формули. Определяш променливите, които знаеш. Определяш променливата, която искаш да намериш, и използваш една от формулите, която ти позволява да намериш тази неизвестна променлива. Нека ти покажа няколко примера. Нека направим няколко примера с използването на тези формули, понеже е нужно време, за да им свикнеш. Нека копирам тези, след малко ще ги използваме. И нека се справим с няколко примера за задачи с кинематични формули за кръгово движение. Нека се отърва от това и да се заемем с тази задача. Да кажем, че имаш 4-метров лост – ето затова имах този лост тук през цялото време, за да ти покажа, че може да се върти. Започва от покой и се върти 5 обиколки с постоянно ъглово ускорение от 30 радиана в секунда на квадрат. И въпросът е колко време е било нужно на този лост, за да направи петте обиколки. Какво правим? Как решаваме тези задачи? Първо определяш всички променливи, които знаеш. Казват ни, че се е въртял 5 обиколки – това е ъгълът, който е преминал, но е в тези странни мерни единици. Това са мерните единици обиколки. Знаем колко е делта тита – пет обиколки. Но искаме делта тита винаги да е в радиани, понеже, погледни, ускорението ни е дадено в радиани в секунда на квадрат. Трябва да се увериш, че сравняваш две еднакви неща. Не мога да имам обиколки за делта тита и радиани за ускорение. Трябва да избереш една мерна единица, която да използваш, и обикновено избираме радиани. Колко радиана ще са 5 обиколки? Една обиколка е 2π радиана, понеже едно завъртане около цялата окръжност е 2π радиана. Това означава, че 5 обиколки ще са 5 по 2π радиана, което ни дава 10π радиана. Имаме ъгловото си преместване и какво друго знаем? Дават ни тези 30 радиана в секунда на квадрат. Това е ъгловото ускорение. Знаем, че алфа е 30 радиана в секунда на квадрат. Можеш да запишеш "радиана", можеш да не го запишеш. Понякога хората пишат "радиана", понякога не го пишат. Ако искаш, можеш да запишеш 1 върху секунда на квадрат. Ето затова оставих това празно място тук, но можем да запишем "радиани", ако искаме. И положителна или отрицателна трябва да е алфа? След като обектът увеличава скоростта си – започна от покой – това означава, че се ускорява. Посоката на ъгловото преместване трябва да е същата като посоката на ъгловото ускорение. С други думи, ако нещо увеличава скоростта си, трябва да се увериш, че ъгловото ускорение има същия знак като ъгловата скорост и ъгловата скорост ще има същия знак като ъгловото преместване. След като нарекохме това 10π радиана и обектът увеличава скоростта си, ще наречем това 30 радиана в секунда на квадрат. Ако този лост беше забавил, щеше да трябва да се уверим, че това алфа има обратния на ъгловата скорост знак. Но това са единствените две кинематични променливи за кръгово движение. Винаги ти трябват три, за да намериш четвъртата. Каква е третата ни кинематична променлива за кръгово движение? Тя е това. Това ни казва, че обектът е започнал от покой. Това е кодова дума. Това е кодова дума, че началната омега е 0. Началната ъглова скорост е 0, понеже това започва от покой. Това можем да кажем тук долу. Това е третата ни известна променлива. И сега можем да решаваме. Имаме три променливи, можем да намерим четвъртата. Коя е променливата, която искаме да намерим. Питат ни "колко време", така че това е времето. Искаме да знаем необходимото време. Добре, това са включените променливи. Искаме да знаем времето. Знаем горните три. Начинът да намеря коя кинематична формула да използвам е просто да се запитам коя от тези променливи e изпусната. Имам три известни и еднo неизвестнo, което искам да намеря. Коя променлива не е включена? Това е крайната омега. Крайната омега не е включена тук. Ще използвам кинематична формула, която не включва крайната омега. Ще поставя тези тук. Ще ги разгледам. Първата има крайната омега. Не искам да я използвам, понеже не знам какво да поставя тук и не искам да намеря това. Не искам втората. Третата не съдържа крайната омега, така че ще използвам тази. Нека взема това, ще го поставим тук. Знаем делта тита. Делта тита беше 10π радиана. Знаем, че началната омега беше 0. Целият този член е 0. 0 по t е 0, така че всичко това е 0. И имаме 1/2. Ъгловото ускорение беше 30 и искаме да знаем времето. Не може да забравяш, че това е на квадрат. Сега просто алгебрично намираме времето. Умножаваме двете страни по 2. Това ще ни даде 20π. После делим на 30. И това ще ни даде 20π – технически, това е 20π радиана – делено на 30 радиана в секунда на квадрат и после трябва да намериш корен квадратен, понеже това е t на квадрат. И ако решиш това за t, получаваме, че времето е било около 1,45 секунди. И мерните ни единици се съкратиха точно както трябваше. Радианите се съкратиха с радианите. Отгоре ти остават секунди на квадрат. Намираш квадратен корен от тях. Това ти дава секунди. Втората част, чест b, ни пита: "Каква е била ъгловата скорост след изминаването на 5-те обиколки?" Има два начина да решим това. Понеже намерихме времето, знаем всяка променлива, освен крайната ъглова скорост. Сега мога да използвам всяка от тези. За мен първата е най-проста. Няма включени квадрати. Това дори не е отношение или нещо такова, така че нека го използваме. Можем да кажем, че крайната омега ще е равна на началната омега, това беше просто 0, плюс ъгловото ускорение – то беше 30 – и сега, когато знаем времето, можем да кажем, че това време беше 1,45 секунди. И това ми дава крайна ъглова скорост от 43,5 радиана в секунда. Толкова бързо това нещо се е въртяло в окръжност в момента, в който е направило 5 обиколки. Това беше един пример. Нека направим друг. Нека вземем нашите кинематични формули с нас. Можем да използваме тези. Отърваваме се от всичко това. Нека видим тази задача. Казват ни, че този 4-метров лост ще започне – този път не започва от покой. Този път започва с ъглова скорост. О, няма да въртим това. Това ще е много по-трудна задача, ще въртим това. Този 4-метров лост започва с ъглова скорост от 40 радиана в секунда, но намалява скоростта си до покой, след като се върти 20 обиколки. Първият въпрос е: "Колко бързо ръбът на лоста се движи в началото в метри в секунда?" С други думи, тази точка на лоста тук ще има някаква скорост насам. Искаме да знаем каква е тази скорост в началото в метри в секунда. Това не е толкова трудно. Имаме формула, която свързва големината на скоростта с големината на ъгловата скорост. Просто взимаш разстоянието от оста до точката, на която искаш да определиш големината на скоростта, а после го умножаваш по ъгловата скорост и това ти дава големината на скоростта на този точка. Нека внимаваме, това r винаги е от оста. И в този случай това тук е оста. Разстоянието от оста до точката, която искаме да намерим, всъщност е цялата дължина на този лост, така че това ще е 4 метра. За да намерим големината на скоростта, можем просто да кажем, че това е равно на 4 метра, тъй като искаш да знаеш големината на скоростта на една точка тук, това е 4 метра от оста, и умножаваме по ъгловата скорост, която в началото е била 40 радиана в секунда. И получаваме, че големината на скоростта на тази точка на лоста, отдалечена на 4 метра от оста, е 160 метра в секунда. Това е много бързо. И това е най-бързата точка на този лост. Ако ще питаш каква е големината на скоростта на половината на лоста, това ще е наполовина толкова. Понеже това r тук ще е само 2 метра от оста до тази точка, това е само 2 метра. Колкото по-близо отиваш, толкова по-малко ще е r и толкова по-малка ще е големината на скоростта. Тези точки на лоста тук долу не се движат много бързо, понеже тяхното r е много малко. Всички тези точки имат една и съща ъглова скорост. Те се въртят с еднакъв брой радиани в секунда, но реалното разстояние от окръжността, което изминават, е различно, което прави големината на скоростта им различна. Това отговаря на част а, получихме скоростта в метри в секунда. Това се е движило със 160 метра в секунда. И следващата част ни пита: "Какво е било ъгловото ускорение на лоста?" За това ще трябва да използваме една кинематична формула. Ще свалим тези, ще ги поставим тук. Отново, за да използваш тези, определяш какво знаеш. Знаем, че началната ъглова скорост е била 40. Този път знаем, че началната омега е 40 радиана в секунда. Това се е въртяло 20 обиколки. Това е делта тита, но отново, не можем просто да запишем 20. Трябва да запишем това в радиани, ако ще използваме тези радиани в секунди. Всичко трябва да е в едни и същи мерни единици. Това ще са 20 обиколки по 2π радиана на обиколка. Това са 40π радиана. Каква е третата ни известна променлива? Винаги ти трябва трета известна променлива, за да използваш кинематична формула. Тя е ето това. Казват ни, че намалява скоростта си до покой, което означава, че спира. Това означава, че крайната омега, крайната ъглова скорост, е 0. И искаме ъгловото ускорение, което е алфа. Това искаме да знаем. Искаме да знаем алфа. Знаем останалите от тези променливи. Отново, за да намеря кое уравнение да използвам, намирам излишното. И това е времето. Нито ми дават времето, нито искат да намеря времето. След като то е излишно, ще търся формула, която не използва времето. Това не е първата формула. Това не е втората или третата формула, а всъщност е четвъртата формула. Ще използвам това четвърто уравнение. Какво знаем? Знаем, че крайната омега беше 0. Ще въведа 0^2. Но 0^2 пак е 0. Това е равно на началната омега на квадрат. Това са 40 радиана в секунда на квадрат. И после това ще е плюс 2 по алфа. Не знаем алфа, но това искаме да намерим, така че ще оставя това като променлива. И после знаем делта тита. Делта тита беше 40π радиана, след като това бяха 20 обиколки. И ако намериш алфа алгебрично, местиш това 40 от другата страна. Тоест ще го извадиш. Получаваш -40 радиана в секунда на квадрат. И после ще делиш на това 2, както и на 40π радиана, което ми дава -6,37 радиана в секунда на квадрат. Защо това е отрицателно? Това нещо намали скоростта си до покой. Тоест ъгловото ускорение трябва да има противоположния на началната ъглова скорост знак. Нарекохме това +40, което означава, че алфа ще е отрицателна. Да обобщим, това са кинематичните формули за кръгово движение, които свързват кинематичните променливи за променливо движение. Те са верни, само ако ъгловото ускорение е константа (постоянно). Но когато е константа, можеш да определиш трите известни променливи и едната променлива, която опитваш да намериш, и после да използваш променливата, която е била пропусната, за да определиш коя кинематична формула да използваш, след като ще използваш формулата, която не включва тази променлива, която не ни е била дадена и не търсим.