Намиране на производна като се използва фундаменталната теорема на математическия анализ: x присъства в двете граници

Да видим дали можем да намерим производната на този израз ето тук, т.е. да намерим голямо F' от х. Изглежда, че отново можем да използваме фундаменталната теорема на анализа. Голямото удобство тук е, че търсиш производната на определен интеграл, който е дефиниран като функция на х. Тук обаче имам х и в горната, и в долната граница. А фундаменталната теорема на анализа е валидна – или поне от това, което сме виждали – когато имаме х само в горната граница. Горната граница е х на квадрат, но сме виждали вече подобни примери, където сме прилагали верижното правило, за да ги решим. Как обаче може да разделим това и да го представим по начин, който е по-близък до това, което ни е познато, когато прилагаме фундаменталната теорема на анализа? За да се досетим, просто трябва да изобразим това, което ни е дадено. Нека да кажем, че това е функцията малко f от x, или по-точно трябва да кажа f от t. Нека наречем това малко f от t. Нека да я начертаем в интервала между х и х квадрат. Нека това да е оста у, а това е оста t. И нека да кажем, че това тук, че у равно е на f от t. Изобразявам го в общ вид. Не знам в действителност как изглежда. Ще разгледаме интервала между х и х квадрат. Така че ще разглеждаме интервала от х, което е ето тук и е долна граница, и х квадрат. Това е долната граница. Поне за този определен интеграл. Не знаем със сигурност. Зависи от това каква стойност за х ще изберем или коя граница действително е по-малка. Но за целта на онагледяването ще избера х да е ето тук, а х квадрат да се намира ето тук. Тогава целият този израз, този определен интеграл, действително представлява цялата тази площ. Цялата площ под кривата. Това обаче, което ще направим, е да въведем константа, която се намира между х и х квадрат. Нека да кажем, че тази константа е 'c' и да разделим тази площ на две различни части, като 'c' е границата между тях. Сега цялата тази площ може да представим като два отделни интеграла. Единият интеграл представлява тази площ ето тук, а другият интеграл представлява тази площ ето тук. Избираме числото с да бъде просто произволна константа между х и х квадрат. Е, как може да представим тази площ в лилаво? Е, това нещо ще бъде...Този израз ще бъде равен на сумата от тези две площи. Лилавата площ може да запишем като определен интеграл от х до с, от нашата функция от t, косинус от t върху t, dt. След това ще прибавим зелената площ. Така ще получим първоначалната площ. Тогава за зелената площ долната граница на интегриране сега е избраната константа с, а горната граница на интегриране е х квадрат, и ще имаме косинус от t върху t, dt. Това вече е вид, при който, ако знаем как да приложим верижното правило, то може да приложим и фундаменталната теорема на анализа. Почти е изразено в такъв вид. Свикнали сме да решаваме задачи, където х е горната граница. Вече знаем какво се случва. Може да разменим тези две граници, но това просто ще ни даде отрицателната стойност от този интеграл. Следователно това ще бъде равно на следното. Нека го запиша. Минус определения интеграл от с до х, косинус от t върху t, dt. След това имаме плюс определен интеграл от c до х квадрат, от косинус t върху t, dt. Това, което направихме, е да представим този израз по начин, при който може да приложим фундаменталната теорема на анализа. Ако искаме да намерим F' от х, записваме оператора за производна тук, а пред него ще имаме знак минус. Ще бъде равно на минус косинус от х върху х. Косинус от х върху х. Отново казвам, това е просто фундаменталната теорема на анализа. След това имаме плюс... Първо ще намерим производната от този израз спрямо х квадрат, а това ще ти даде косинус от х квадрат върху х квадрат. Там, където има t, го заместваме с х^2. След това ще умножим това по производната на х квадрат спрямо х. Което ще бъде просто производна от х квадрат спрямо х, или само 2х. И сме готови! Просто следва да опростим този израз. Всичко това ще бъде равно на минус косинус от х върху х – като ето това ще се съкрати с едно от тези – плюс 2 по косинус от х квадрат върху х. Предполагам, че може да се опрости дори повече. Може дори да разменим тези два члена. Всичко е върху х, а отгоре е 2 по косинус от х квадрат минус косинус от х. И сме готови.