Решен пример: Сливане на определени интеграли на съседни интервали

Тук имаме дадена графика на функцията у = f(х). А тези числа са площите на оцветените участъци. Тези участъци между кривата и оста х. В настоящия урок ще разгледаме няколко примера за изчисление на определени интеграли, като използваме дадената информация и знанията си за свойствата на определените интеграли. Нека започнем с един пример. Да кажем, че искаме да изчислим определения интеграл от –4 до –2 от f(х)dx, плюс определен интеграл от –2 до 0 от f(х)dx. Спри видеото и провери дали можеш да изчислиш целия този израз. Ето тази първа част от израза, е определеният интеграл от –4 до –2, f от х, dx. Тръгваме от х равно на –4 до х равно на –2. Това ще бъде равно на тази площ между кривата и оста х. Това обаче ще бъде отрицателната стойност на тази площ, защото кривата се намира под оста х. Може да се опитаме да я изчислим чрез информацията, която са ни дали, но не са ни дали конкретно тази стойност. Искаме обаче да намерим на какво е равен този интеграл тук. Ето тук сме в интервала от х = –2 до 0, f от x, dx. Така че това ще бъде ето тази площ. Ако разглеждаш сумата на тези два определени интеграла, забележи, че горната граница тук е долната граница ето тук. Това действително ще бъде същото нещо като следното. Това е равно на определен интеграл, който е в интервала от х равно на минус 4 през цялото разстояние до х равно на 0, f от x, dx. Това действително е едно от свойствата на интегрирането. Ако горната граница тук е същата като долната граница, и интегрираме същото нещо, то може да обединим тези два определени интеграла по този начин. Това просто ще ни даде цялата тази площ. Поради това обаче, че се намираме под оста х и над кривата тук, то това ще бъде равно на тази площ със знак минус. Следователно ще бъде равно на –7. Нека разгледаме още един пример. Да кажем, че някой те попита нещо, както се разхождаш по улицата: "Бързо, тук имам една графика! На какво е равна стойността на този израз, който ще запиша сега?". Определен интеграл от 0 до 4, f от x, dx, плюс определен интеграл от 4 до 6, f от x, dx? Спри видеото и провери дали можеш да го изчислиш самостоятелно. И отново, тази първа част ето тук е от 0 до 4. Тоест това ще бъде ето тази площ или ето това число 5 тук. Тогава обаче се налага да извадим ето тази площ, защото тя е под оста х и над кривата. Не знам обаче на какво точно е равна. За щастие обаче следва да намерим сумата от това, което току-що показах, но плюс ето този интеграл тук. А тук границите са от 4 до 6. Следователно това ще бъде ето тази площ. Когато го разглеждаш по този начин, може да видиш, че този израз ще бъде еквивалентен на това да намериш определен интеграл за целия интервал от 0 до 6. От 0 до 6, f от x, dx. И отново, дори и ако не наблюдаваш тази графика, ще знаеш това, защото и в двата случая получаваш определения интеграл f от х, dx. А нашата горна граница тук е долната граница тук. И можем да обединим интегралите. Тогава на какво ще бъде равен този интеграл? Имаме тази площ, която е равна на 5. След това имаме тази площ, която е 6. Това ни е дадено в условието. След като е под оста х обаче и над кривата, когато изчисляваме определения интеграл, то ще заместим тази стойност с минус 6. Следователно като резултат ще се получи 5 плюс –6, което е равно на –1. И сме готови!