Решени примери: Намиране на определени интеграли с помощта на алгебрични свойства

Искаш ли да изчислиш определения интеграл от 3 до 3, от f от х, dx? Дадена е графиката на f от х, или на у равно на f от х, както и лицето между f от х и оста х в различните интервали. Когато разглеждаш израза, дори не се налага да поглеждаш графиката ето тук. Защото всъщност ако имам определения интеграл на коя да е функция f от x, dx, например от число а до същото това число... Тоест от една стойност до друга стойност, то резултатът от този интеграл винаги ще бъде равен на 0. Тук границите са от 3 до 3. Може да са например от минус π до минус π. Винаги ще бъде равно на 0. Един от начините да го разглеждаш, е сякаш започваме и свършваме в 3. Следователно не обхващаме никаква площ. Нека да решим още един. Тук искаме да изчислим определения интеграл от 7 до 4, от f от х, dx. Искаме да стигнем от 7 до 4. Искаме да стигнем от 7 до 4. Може би се изкушаваш да кажеш, че площта между f от х и оста х, е равна на 2. Тогава може би този интеграл е равен на 2. Основното нещо да разбереш обаче е, че тази площ е верният отговор само когато по-малкото число е долна граница, а по-голямото число е горна граница. Тоест, ако интегралът е от 4 до 7 от f от x, dx. Това нещо е равно на 2. Това нещо показва тази площ ето тук. А този интеграл на какво е равен, т.е. когато границите са разменени? Вместо да са от 4 до 7, тръгваме от 7 и стигаме до 4. Основното нещо да разбереш, когато размениш границите – а това е ключово свойство на определения интеграл – това е, че тук ще имаме тази стойност с отрицателен знак. Следователно това ще бъде равно на минус определения интеграл от 4 до 7, от f от x, dx. Следователно това ще бъде равно на минус от това, което току-що намерихме за интеграла от 4 до 7, от f от x, dx. Или това е ето тази площ. f от x е над оста х. Това е положителна площ. Тогава това нещо, т.е. този израз тук, е равен на плюс 2, но имаме знак минус отпред. Следователно първоначалният израз ще бъде равен на минус 2.