Намиране на определени интеграли като се използват формули за площ

От нас се иска да намерим следните интеграли. Дадена е графиката на функцията f ето тук. Първият израз е определен интеграл от минус 6 до минус 2, от f от x, dx. Спри видеото и виж дали можеш да го изчислиш самостоятелно от графиката. Добре, границите са от х равно на минус 6 до х равно на минус 2, а определеният интеграл ще бъде лицето под графиката и над оста х. Следователно ще бъде ето тази площ тук. А как ще го изчислим? Това е полуокръжност, а ние знаем как да намерим лицето на окръжност, ако радиусът е известен. Тази окръжност има радиус 2. Радиус, равен на 2. Без значение в каква посока се отдалечаваме от центъра, радиусът на окръжността е 2. Лицето на окръжност е равно на π по r на квадрат. Тогава ще имаме π по радиуса, който е равен на 2, на квадрат. Това обаче е полуокръжност, така че ще разделя лицето на две. Има лице само 1/2 от лицето на цялата окръжност. Следователно ще получим 4π/2, което е равно на 2π. Добре, нека да решим следващия. Имаме определен интеграл от минус 2 до 1 от f от x, dx. Спри видеото и провери дали можеш да го изчислиш самостоятелно. Добре, нека го направим заедно. Намираме се от минус от 2 до 1, така че следва да бъдем внимателни тук. Един определен интеграл може да се разглежда като лицето под функцията и над оста х. Тук обаче функцията се намира под оста х. Тогава това, което ще направим, е да изчислим тази площ. Ще използваме познанията си по геометрия и разбираме, че това ще бъде отрицателна стойност за определения интеграл. Защото функцията е под оста х. На какво е равна площта тук? Има няколко начина да я разглеждаме. Може да я разделим на няколко фигури. А може да я разглеждаме и като трапец. Или да я разделим на правоъгълник и два триъгълника. Ако я разделиш по този начин, този триъгълник тук има лице от 1 по 2, по 1/2. Следователно има лице, равно на 1. Този правоъгълник тук има лице от 2 по 1, т.е. лицето му е равно на 2. След това този триъгълник тук има същото лице като първия. Има основа 1, височина 2, т.е. лицето му е 1 по 2, по 1/2. Лицето на триъгълник е равно на 1/2 по основата, по височината. Следователно тук е 1. Ако събереш тези площи, 1 плюс 2, плюс 1 е равно на 4. Може би се изкушаваш да кажеш, че ще бъде равно на 4. Спомни си обаче, че функцията е под оста х и следователно стойността на лицето ще бъде минус 4. Дорбре, нека решим следващия. Границите тук са от 1 до 4 от f от x, dx. Спри видеото и провери дали можеш да го изчислиш самостоятелно. Искаме да стигнем от тук до тук. Тоест търсим ето това лице. А как ще го изчислим? Като просто използваме формулата за лице на триъгълник – основа по височина, по 1/2. Или може да кажем, че е 1/2 по основата, която има следната дължина. Виждаме, че основата е 3 ето тук, или от 1 до 4. Следователно 1/2 по 3, по височината, която е равна на 1, 2, 3, 4, т.е. по 4. Резултатът тук ще бъде равен на 6. Добре, последният пример, но не по важност. Интеграл с граници от 4 до 6, f от x, dx. Това ще бъде тази площ ето тук, но следва да бъдем внимателни. Там функцията се намира под оста х, така че ще изчислим лицето, но ще бъде отрицателно. Това е полуокръжност с радиус 1. Лицето на окръжност е равно на π по r на квадрат. Тогава имаме π по 1 на квадрат. Това ще бъде лицето, ако имахме пълна окръжност, но в случая е само полуокръжност, така че ще разделя на 2. Понеже тази площ е над функцията и под оста х, то тя ще бъде отрицателна. Следователно ще бъде равна на минус π/2. И сме готови.